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    建構(gòu)“糖水濃度”模型速解一類題

    2019-12-19 02:44:54鐘建新
    數(shù)理化解題研究 2019年34期
    關(guān)鍵詞:黃球個球紅球

    鐘建新

    (浙江省紹興市春暉中學(xué) 312300)

    題目1 (2018年5月諸暨高考模擬試題9) 甲盒子裝有3個紅球,1個黃球,乙盒中裝有1個紅球,3個黃球,同時從甲、乙兩盒子中取出i(i=1,2,3)個球交換,分別記甲、乙兩個盒子中紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E1(i),E2(i),則以下結(jié)論錯誤的是( ).

    A.E1(1)>E2(1) B.E1(2)=E2(2)

    C.E1(1)+E2(1)=4 D.E1(3)

    分析當(dāng)i=1時,

    ξ甲234PC13C14×C13C14C13C14×C11C14+C11C14×C13C14C11C14×C11C14

    ξ乙210PC13C14×C13C14C13C14×C11C14+C11C14×C13C14C11C14×C11C14

    又當(dāng)i=2時,

    ξ甲123 PC23C24×C23C24C13C11C24×C23C24+C23C24×C13C11C24C13C11C24×C13C11C24

    ξ乙321PC23C24×C23C24C13C11C24×C23C24+C23C24×C13C11C24C13C11C24×C13C11C24

    ∴E1(2)=2,E2(2)=2,∴E1(2)=E2(2).∴選D.

    上述解法雖可用,但對于求解此題過程略顯繁雜,下面提供一種簡單分析思路.

    可建構(gòu)“糖水濃度”的模型解釋,把紅球?qū)?yīng)看成糖,黃球?qū)?yīng)看成水,則甲盒子原先的糖水濃度為75%,乙盒子原先的糖水濃度為25%,可見交換球的次數(shù)越多,甲盒子的糖水濃度會越來越淡,相反乙盒子的糖水濃度會越來越濃.在交換各自總質(zhì)量(此題中甲、乙兩盒的總質(zhì)量相等)的一半時,即交換2個球,甲、乙兩盒的糖水濃度相等,均為50%;交換1個球,糖水濃度仍是甲盒的高;交換3個球,糖水濃度則是乙盒的高;交換4個球,甲盒子的糖水濃度為25%,乙盒子的糖水濃度為75%.但無論是交換1個球,2個球,3個球,還是4個球,甲、乙兩盒中的紅球的總個數(shù)是一樣的,即4個.

    題目2 (2018年5月杭州二中高三仿真考題9)已知甲盒子中有m個紅球,n個藍(lán)球,乙盒子中有m-1個紅球,n+1個藍(lán)球(m≥3,n≥3),同時從甲、乙兩個盒子中取出i(i=1,2)個球進行交換,(a)交換后,從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為pi(i=1,2).(b)交換后,乙盒子中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i=1,2).則( ).

    A.p1>p2,E(ξ1)

    B.p1E(ξ2)

    C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)

    D.p1

    感悟建構(gòu)“糖水濃度”模型求解取球并交換涉及到的概率、期望大小判定等有關(guān)問題,可以由表及里,抓住事物的本質(zhì),快速找到事物間內(nèi)在的聯(lián)系,其中所蘊含著的數(shù)學(xué)思想和方法可謂精彩紛呈,妙趣橫生!

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