均勻正方薄板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

摘 要：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體力學(xué)中的一個(gè)十分重要的概念。本文將用微元法與標(biāo)度變換法計(jì)算均勻正方薄板過(guò)質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，類似可以拓展到一般的立方體的計(jì)算中。期望此文方法能夠給學(xué)習(xí)大學(xué)物理的讀者以有益的啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;微元法;標(biāo)度變換法

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是大學(xué)物理剛體力學(xué)部分的重要概念，對(duì)于其計(jì)算也是必須掌握的重要內(nèi)容。一般的大學(xué)物理教材中對(duì)均勻直棒、圓柱、圓盤（環(huán)）、球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算較多，而對(duì)均勻正方薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算很少。本文將主要運(yùn)用微元法、標(biāo)度變換法計(jì)算其繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，包括質(zhì)心軸垂直薄板位置與質(zhì)心軸平行薄板位置。

一、 質(zhì)心軸垂直位置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

方法一：微元法

圖1如圖1所示為一均勻正方薄板，設(shè)質(zhì)量為m，邊長(zhǎng)為l，計(jì)算過(guò)質(zhì)心O點(diǎn)垂直于薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小。薄板的面密度表示為σ=ml2，建立坐標(biāo)軸Ox，在x處取微元dx，對(duì)應(yīng)的陰影部分直棒的質(zhì)量為dm=σldx，利用平行軸定理，相對(duì)于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以表示為dJ=112l2dm+x2dm，對(duì)x從-l2到l2積分可得整個(gè)薄板相對(duì)于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=∫112l2+x2dm=∫l2-l2σll212+x2dx=16ml2。

方法二：標(biāo)度變換法

圖2

如圖2所示，將正方薄板均分成四等份，每一份仍為正方薄板，其中一個(gè)質(zhì)心為O′，可知與整個(gè)薄板相對(duì)于各自通過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸具有相同的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量形式，設(shè)整個(gè)薄板的相對(duì)通過(guò)O點(diǎn)垂直轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=kml2，則一小份薄板相對(duì)于O′的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J′=km4l22，由平行軸定理，相對(duì)于O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J′+m42l42，整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)為四個(gè)等大的小薄板相對(duì)于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，即J=4J′+m42l42，帶入J、J′，表達(dá)式為kml2=14k+18ml2，得k=16，則整個(gè)薄板相對(duì)過(guò)質(zhì)心O垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為16ml2。

以上兩種方法計(jì)算結(jié)果一致。微元法很好地利用了微積分的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)，很好地鍛煉了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力;標(biāo)度變換法則是從物理量量綱的角度出發(fā)，利用圖形自相似的特點(diǎn)，求解待定系數(shù)，從而求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，方法新穎、獨(dú)特。

二、 質(zhì)心軸平行位置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

方法一：微元法

圖3

如圖3所示，MN為一條平行于板邊穿過(guò)質(zhì)心O的轉(zhuǎn)軸，計(jì)算正方薄板相對(duì)于MN的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小。建立坐標(biāo)軸Ox，在x處取微元dx，對(duì)應(yīng)的陰影部分直棒的質(zhì)量為dm=σldx，相對(duì)于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以表示為dJ=x2dm，對(duì)x從-l2到l2積分可以得到正方薄板相對(duì)MN軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小為J=∫x2dm=∫l2-l2σlx2dx=112ml2。

方法二：標(biāo)度變換法

圖4

如圖4所示，將均勻正方薄板用兩條平行于板邊穿過(guò)質(zhì)心O的直線MN、PQ四等分，每小份仍為正方薄板，因此與整個(gè)薄板相對(duì)于通過(guò)質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量形式相同。設(shè)整個(gè)薄板的相對(duì)通過(guò)MN轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=kml2，則一小份薄板相對(duì)于過(guò)O′點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J′=km4l22，由平行軸定理，相對(duì)于O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J′+m4l42，整個(gè)薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)為四個(gè)等大的小薄板相對(duì)于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，即J=4J′+m4l42，帶入J、J′，表達(dá)式為kml2=14k+116ml2，得k=112，則整個(gè)薄板相對(duì)過(guò)質(zhì)心O垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為112ml2。

三、 總結(jié)

利用微元法與標(biāo)度變換法求解均勻正方薄板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，結(jié)合平行軸定理與垂直軸定理得出了相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式。推導(dǎo)過(guò)程思路清晰，方法靈活。加強(qiáng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量部分的計(jì)算，有助于學(xué)生對(duì)大學(xué)物理學(xué)習(xí)的深入理解。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

狄學(xué)春，山東省高密市，青島科技大學(xué)高密校區(qū)。