時好運(yùn)
【摘要】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決一些數(shù)學(xué)問題之前,需要了解導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),然后再結(jié)合數(shù)學(xué)中的一些具體技巧方法來綜合處理.本文提出幾點(diǎn)高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)題的有效解題策略和一些教學(xué)方法,僅供參考.
【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)的解題策略;教學(xué)方法;有效措施
首先需要熟練掌握幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù),比如,求兩個函數(shù)的和、差以及熟記基本導(dǎo)數(shù)公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值.教師在引導(dǎo)學(xué)生提高解答技巧的時候也要注意考慮班級學(xué)生的具體情況,然后再安排教學(xué)計(jì)劃.
一、教師在教學(xué)中的建議
(一)提供有針對性的教學(xué)措施
作為教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從最基本的教材知識入手,認(rèn)真閱讀和分析書上的例題,達(dá)到舉一反三的效果.其次,教師選取一些比較有典型意義的高考例題來給學(xué)生練習(xí),再講解一些通用的解題步驟和解題思路,讓學(xué)生達(dá)到融會貫通的效果,從而提高考生在導(dǎo)數(shù)這一壓軸題型上的分?jǐn)?shù)成績.
(二)注意將相通的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行融合
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì),其研究的過程和方法具有普適性、一般性和有效性,可以遷移到其他函數(shù)的研究中.在導(dǎo)數(shù)題中,不論是對某個命題進(jìn)行討論還是證明,其解題特點(diǎn)一是強(qiáng)調(diào)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性,二需要化歸與轉(zhuǎn)化,而且常常以基本初等函數(shù)為載體,利用方程、不等式、數(shù)學(xué)建模與導(dǎo)數(shù)、代數(shù)推理等知識點(diǎn)交匯,考查函數(shù)五大性質(zhì)的應(yīng)用、不等式問題和函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.
二、幾種有效的解題策略
在進(jìn)行高中導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的過程中,教師通常會教給學(xué)生很多的方法,但是在課堂中的教學(xué)并不能夠讓學(xué)生對這些方法融會貫通,所以他們需要在課下對教師傳授的方法進(jìn)行總結(jié)和升華,使這些方法能夠真正成為自己做題中的有力武器.根據(jù)相關(guān)的調(diào)查和總結(jié)發(fā)現(xiàn),按照題型特點(diǎn)進(jìn)行方法總結(jié)是非常有效的.所以學(xué)生在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的過程中一般會按照考試中遇到的各種題型進(jìn)行方法總結(jié).在高中的教學(xué)過程中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的主要題型大概有以下幾種:
1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線問題
首先我們要討論的便是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線問題,這種問題是考試中較為簡單的,也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中最為基礎(chǔ)的,并且求切線問題主要有四種常見的類型.類型一:已知切點(diǎn),求曲線的切線方程,此類題較為簡單,只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f′(x),并代入點(diǎn)斜式方程即可;類型二:已知斜率,求曲線的切線方程,此類題可利用斜率求出切點(diǎn),再用點(diǎn)斜式方程加以解決;類型三:已知過曲線上一點(diǎn),求切線方程,解這種題首先要明確,過曲線上一點(diǎn)的切線,該點(diǎn)未必是切點(diǎn),故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn),再求切點(diǎn),即用待定切點(diǎn)法進(jìn)行求解.
2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題
其次是利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的問題,在利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性時,我們首先應(yīng)該確定函數(shù)的定義域,再求導(dǎo)數(shù),通過判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號,來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性.當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時,分類討論難于避免,不同的化歸方法和運(yùn)算程序往往使分類方法不同,應(yīng)注意分類討論的準(zhǔn)確性.另一種類型的題目是利用函數(shù)的單調(diào)性來求解該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,這種問題在解決的過程中與上邊的單調(diào)性幾乎相似,但是我們一般要注意一些問題,也就是再找到單調(diào)區(qū)間之后的寫法,相互獨(dú)立的單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用“和”來連接而不應(yīng)該用∪的符號連接.
3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值問題
這種題目的困難之處并不在極值和最值的求解,而是前邊的問題無法解決導(dǎo)致后續(xù)問題無法入手.解決極值、最值問題的步驟較為固定,首先我們要對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,如果函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào),那么最值就是端點(diǎn)函數(shù)值,并且在該區(qū)間上沒有極值;如果函數(shù)在該區(qū)間上不單調(diào),那么有極值存在,而最值可能是端點(diǎn)值也可能是極值點(diǎn)處的函數(shù)值,所以要進(jìn)行比較.
我們現(xiàn)在通過一個往年的高考壓軸題來進(jìn)行講解.
題目:已知a∈R,函數(shù)f(x)=-13x3+12ax2+2ax(x∈R).
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)函數(shù)f(x)是否在R上單調(diào)遞減,若是,求出a的取值范圍;若不是,請說明理由.
(3)若函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
(1)通過分析我們發(fā)現(xiàn)這個問題屬于利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間的問題,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集,所以利用給出的參數(shù)值我們可以直接求解.
當(dāng)a=1時,f(x)=-13x3+12x2+2x,∴f′(x)=-x2+x+2.令f′(x)>0,即-x2+x+2>0,即x2-x-2<0,解得-1 (2)該題目也是我們前邊分析的求解單調(diào)性的問題,但是里面含有未知參數(shù),而本題也是為了討論參數(shù)取值范圍,所以該題要根據(jù)b2-4ac與0的關(guān)系來確定參數(shù)的取值范圍. 若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,則f′(x)≤0對x∈R都成立,即-x2+ax+2a≤0對x∈R都成立,即x2-ax-2a≥0對x∈R都成立,∴Δ=a2+8a≤0,解得-8≤a≤0,∴當(dāng)-8≤a≤0時,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減. (3)該題規(guī)定了函數(shù)中x的取值范圍,所以我們要根據(jù)x的取值范圍來判定參數(shù)的范圍. ∵函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,∴f′(x)≥0對x∈[-1,1]恒成立,∴-x2+ax+2a≥0對x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2a≤0對x∈[-1,1]恒成立.令g(x)=x2-ax-2a,則g(1)=1-a-2a≤0,g(-1)=1+a-2a≤0, 解得a≥13,a≥1, ∴a≥1. 三、結(jié) 語 綜上所述,在高考題中導(dǎo)數(shù)題作為壓軸大題,其難度還是比較大的,所以對其解答時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì),其研究的過程和方法具有普遍特性,可以融會貫通地運(yùn)用到其他任何函數(shù)的研究中. 【參考文獻(xiàn)】 [1]陳慶洪.淺析高考數(shù)學(xué)中的最值問題[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2012(1):44-46. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001. [3]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.數(shù)學(xué)[M].北京:人民教出版社,2004. [5]高群安.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)巧解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2005(3):22-23. [6]徐智愚.用導(dǎo)數(shù)解初等數(shù)學(xué)題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2000(10):35.