函數(shù)不等式解題探究

葛立金

【摘要】函數(shù)是我們高中生數(shù)學(xué)知識體系中的重要組成部分，函數(shù)思維的學(xué)習(xí)也在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中占據(jù)極大的比重，其和不等式、分類討論、方程轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合等方面知識的聯(lián)合考查和綜合應(yīng)用較為常見，是高考數(shù)學(xué)考核中的重要考點和突破難點.因此，本文在討論函數(shù)思想的基礎(chǔ)上，借助有關(guān)典型例題對函數(shù)大小比較、不等式求解、不等式證明和不等式恒成立等一系列問題的解答做出了更進(jìn)一步地討論，旨在為我們高中生學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式等有關(guān)知識點帶來更多的思考和啟迪.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);不等式;應(yīng)用

眾所周知，函數(shù)思維即有效地利用運動變化的原理進(jìn)一步分析和探討具體題目中數(shù)量間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上建立一定的函數(shù)關(guān)系模型從而將實際問題有效轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)解題思維.在此過程中，更注重對我們高中生把握實際問題中數(shù)量依存關(guān)系思維的培養(yǎng)，重在從題中變量關(guān)系的研究中進(jìn)一步拓寬解題思路，是整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要部分.在函數(shù)不等式的求解過程中，我們可以進(jìn)一步利用初等函數(shù)的基本性質(zhì)、特殊函數(shù)性質(zhì)和構(gòu)建中間函數(shù)等多樣化的方式進(jìn)一步將不等式的問題進(jìn)行一定的簡化，為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

一、比較大小

在比較大小的函數(shù)不等式問題求解過程中，更常見的方法為利用商值或差值的具體大小等進(jìn)行判斷.在此過程中，往往需要我們對較難的不等式進(jìn)行一定的縮放或者進(jìn)一步利用函數(shù)圖像等方式進(jìn)行對比.例如，已知a，b，c滿足下列式子：2a=log12a，12b=log2b，12c=log12c，請比較a，b，c三者間的大小.

圖1

由此題可知，我們不可能根據(jù)上述三個等式在較短的考核時間內(nèi)求出a，b，c三個數(shù)的具體大小，那么，我們可進(jìn)一步轉(zhuǎn)變思維，試想能否通過構(gòu)造指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)等大致比較三者的大小.由此，我們可畫出y1=2x，y2=12x，y3=log2x，y4=log12x的函數(shù)圖像，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步作圖如圖1所示.由圖1可知a，b，c三個數(shù)在坐標(biāo)軸中的大致位置，我們便可根據(jù)此圖快速地做出相應(yīng)的判斷，極大程度上簡化了較難不等式的大小判斷問題.

二、解不等式

在利用函數(shù)求解不等式問題的過程中，我們可充分利用函數(shù)圖像或初等函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等一系列所學(xué)的函數(shù)性質(zhì)將不等式求解的相關(guān)問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)的極值或最值分析等問題，從而簡化不等式求解的具體計算步驟，為數(shù)學(xué)考試節(jié)約一定的時間.例如，y=f（x）為其定義域上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）=x-1，試求f（x-1）<0的解集.

圖2

在此題中，由于函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）=x-1，于是我們可在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步將函數(shù)y=f（x-1）的圖像畫出，如圖2所示.那么，滿足f（x-1）<0的解集即為0

三、證明不等式

目前，不等式證明仍舊是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要部分，也是數(shù)學(xué)知識框架中的重點和難點.在證明不等式成立或者恒等式成立等數(shù)學(xué)問題時，往往會碰到直接運用不等式性質(zhì)難以求解的問題.此時便要求我們能在認(rèn)真仔細(xì)觀察題目有關(guān)條件設(shè)置的基礎(chǔ)上，靈活多變地引入相應(yīng)的變量或函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)思維將題目中的難點進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例如，已知a2+ab+ac<0，試證明：b2-4ac≥0.

在此題中，我們很容易在看到b2-4ac時想到二次函數(shù)或根的判別式，進(jìn)而想到構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，但根據(jù)此函數(shù)確定相應(yīng)的a值存在極大的困難.因此，我們應(yīng)盡快調(diào)整做題思維，進(jìn)一步嘗試構(gòu)造函數(shù)f（x）=cx2+bx+a，保證根的判別式大于0的同時確定f（0）=a，進(jìn)而求出函數(shù)在（0，1）之間存在零點，并進(jìn)一步通過討論參數(shù)c=0的情況，求證式子的成立.

三、結(jié) 語

總之，函數(shù)不等式是我們高中生數(shù)學(xué)知識體系中重要且?？嫉慕?jīng)典題型，且其考核題型往往和不等式、分類討論、方程轉(zhuǎn)化等較難、較新穎的知識融合，靈活多變的同時伴隨著較大的計算量.因此，我們應(yīng)在盡可能牢固地學(xué)習(xí)和系統(tǒng)地掌握函數(shù)不等式有關(guān)知識和思維的基礎(chǔ)上，將解題技巧和基礎(chǔ)知識進(jìn)一步融合和內(nèi)化，為順利解決高難度函數(shù)不等式題型打下堅實的基礎(chǔ).

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