例談解析幾何中與圓有關(guān)的參數(shù)范圍問題

唐杰

【摘要】縱觀近幾年高考對圓的考查，重點放在與圓相關(guān)的最值問題上，主要考查與圓相關(guān)的參數(shù)范圍問題和圓相關(guān)的長度或面積的最值問題.它要求學(xué)生有較強的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化與化歸意識和準確的計算能力，才能順利解答.本文通過一道與圓有關(guān)的題目的解析，探究了所給問題中不等關(guān)系的主要途徑與策略.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);解析幾何;參數(shù)范圍;途徑與策略

解析幾何中的參數(shù)范圍問題是高考中的?？純?nèi)容，也是備考復(fù)習(xí)的重點問題，這類題目綜合性較強，需要較強的圖形認知能力和代數(shù)運算能力.在求解過程中要注意思維的嚴密性，同時還要注意數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.對此，一般情況下的解題思路，是首先尋覓出（或直接利用）不等關(guān)系，包含幾何與代數(shù)的不等關(guān)系，進而通過這個不等關(guān)系的演變解出有關(guān)參數(shù)的取值范圍.

一、經(jīng)典題目再現(xiàn)

已知圓O：x2+y2=2，設(shè)點D（x0，y0）在直線l：x+y-2=0上，若圓O上存在點M、N滿足DM=MN，求x0的取值范圍.

二、“四基四能”解析

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、圓的性質(zhì)、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程的思想、特殊與一般的思想.

三、解題思路解析

涉及直線與圓的位置關(guān)系的題目，首先應(yīng)判定直線與圓的位置關(guān)系.圓心O到直線l的距離d=2=r，則該直線與圓相切.其次，由DM=MN得M為DN的中點，故本題即為由存在M為DN的中點，求D點橫坐標x0的范圍，需要構(gòu)造一個不等關(guān)系來求范圍.因此，如何構(gòu)造一個不等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

四、構(gòu)造策略分析

解析幾何的思想就是用代數(shù)的方法研究幾何，因此，在解題的過程中，一定要關(guān)注圖形的特征及代數(shù)屬性，在構(gòu)建關(guān)系中就需要從幾何的角度和代數(shù)的角度探求不等關(guān)系.幾何角度，就是要利用相關(guān)的曲線的性質(zhì)及平面幾何知識得到不等關(guān)系;代數(shù)角度，就是構(gòu)造“目標函數(shù)”，然后再去求“目標函數(shù)”的最值，從而得到不等關(guān)系.

1.幾何角度一：利用圓中的幾何特征構(gòu)造不等關(guān)系：① 在圓中，直徑為最長的弦.② 圓外一點與圓上一點的最短距離為改點到圓心的距離減去半徑.

解 如圖所示，連接DO交圓于F，并延長交圓于E.圓的半徑r=2.

由圓的性質(zhì)知：DF為D到圓上任意一點距離的最小值，

故DF≤DM.

∵DM=MN，∴DM=MN.

∵EF為直徑，∴MN≤EF，∴DF≤EF，∴OD-OF≤EF，

即OD≤OF+EF=3r=32，∴x20+y20≤32.

又x0+y0-2=0，

∴x20+（2-x0）2≤32，

解得1-2≤x0≤1+2.

2.幾何角度二：利用軌跡的位置關(guān)系構(gòu)造不等關(guān)系：利用直線與圓的三種位置關(guān)系及圓與圓的五種位置關(guān)系構(gòu)造不等關(guān)系.

解 ∵DM=MN，∴M為DN中點.

設(shè)N（x1，y1），則Mx1+x02，y1+y02，由于M，N在圓上，則

x1+x022+y1+y022=2，x21+y21=2，

即（x1+x0）2+（y1+y0）2=8，x21+y21=2，

∴（x1，y1）是（x+x0）2+（y+y0）2=8，x2+y2=2 的解，

∴圓（x+x0）2+（y+y0）2=8與圓x2+y2=2有公共點，即為相交或者相切（內(nèi)切與外切），

∴2≤x20+y20≤32，即2≤x20+（2-x0）2≤32，

解得1-2≤x0≤1+2.

3.代數(shù)角度：利用函數(shù)構(gòu)造不等關(guān)系：直線與圓相交，一定要抓住弦心距這個關(guān)鍵量，抓住特征三角形這個特殊圖形，探尋弦長、半徑及弦心距之間的關(guān)系.

解 連接DO，過O作OG⊥MN于G，則G為MN中點，且DG=3ON，設(shè)OG=d，

則ON=2-d2.

在Rt△DOG中，

DO2=OG2+DG2=OG2+（3ON）2

=d2+9（2-d2）=-8d2+18.

∵0≤d<2，∴0≤d2<2，∴0

∴0

解得1-2≤x0≤1+2.

本題較好地闡述了在解析幾何中如何去探求不等關(guān)系，要從圖形的結(jié)合屬性，直線與曲線的位置關(guān)系，曲線與曲線的位置關(guān)系，函數(shù)等角度去構(gòu)造不等關(guān)系，這些問題的解決考查了學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題及解決問題的要求比較高，需要在平時的教學(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生去思考，去實踐.