談馬氏過程在經(jīng)濟生活中的應用

王康康

（江蘇科技大學理學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

人們在實際的日常生活中常常會遇到有著以下特征的隨機過程：在已知某個事物當下所處狀態(tài)的情況下，它將來發(fā)生的未知的變化不依賴于它之前所發(fā)生過的變化[1]。像這種已知“現(xiàn)在”的情況下，“將來”和“過去”是相互獨立的特性被稱為是馬爾科夫性，而具有這種特殊性質的隨機過程就叫做馬爾科夫過程[2]。在液體中微粒的布朗運動，被傳染病所感染的人數(shù)變化，原子核中任一自由電子在電子層中的變化以及我們最熟悉的人口增長過程等都可以被視為是馬爾科夫過程[3-5]。馬爾科夫過程的初始模型是馬爾科夫鏈，它是由俄國的數(shù)學家安德雷·馬爾可夫所提出的。正因為馬爾可夫在1906-1907這兩年之間發(fā)表的研究中構造了一個按照條件概率而彼此之間相互依賴的隨機過程，并有力地證明了該過程在一定的條件下是收斂于一組向量的[6-9]，所以該隨機過程后得名“馬爾科夫鏈”。下面我們給出它們在經(jīng)濟生活應用中的一個實例。

一、馬氏過程在商品銷售中的應用

例1：現(xiàn)有某一上市三年的商品，其在市場的銷售狀態(tài)一共有三種，分別是“暢銷”“平銷”和“滯銷”，這三年的銷售狀態(tài)如下表1所示，其中數(shù)字“1”表示的是“暢銷”狀態(tài)，數(shù)字“2”表示的是“平銷”狀態(tài)，數(shù)字“3”則表示的是“滯銷”狀態(tài)。

表1 各月份市場銷售狀態(tài)

步驟1:計算初始狀態(tài)概率

由題意可知，在給出的這32條銷售記錄中，在銷售狀態(tài)“1”的有11個，在銷售狀態(tài)“2”的有12個，在銷售狀態(tài)“3”的有9個，用數(shù)學語言表達就是N=32，n1=11，n2=12，n3=9，從中我們可以計算出初始概率。

步驟2：計算狀態(tài)轉移概率

從上面已知的表格記錄中，我們可以了解到這32條銷售記錄中狀態(tài)轉移的情況，如下面列出的狀態(tài)轉移表所示：

表2 狀態(tài)轉移表

由上面得到的狀態(tài)轉移表我們可知一步狀態(tài)轉移矩陣是：

二步轉移概率矩陣是：

步驟3:對后3-8個月商品銷售狀態(tài)進行預測

運用這個公式，我們可以計算出該商品在將來第一個月份的銷售狀態(tài)向量

換句話說該商品在第33個月被銷售的情況下，有50%的可能性會在“暢銷”的狀態(tài)，有20%的可能性會在“平銷”的狀態(tài)，有30%的可能性會在“滯銷”的狀態(tài)。

同理可得該商品在將來第二個月份的銷售狀態(tài)向量

換句話說該商品在第34個月被銷售的情況下，有37%的可能性會在“暢銷”的狀態(tài)，有37%的可能性會在“平銷”的狀態(tài)，有26%的可能性會在“滯銷”的狀態(tài)。

我們將其他幾個月按照上述的方法代入公式，就可以計算出后來3-8個月中可能會發(fā)生的各種銷售狀態(tài)的概率，結果詳見下面的銷售狀態(tài)概率預測表：

?

步驟4：最終銷售狀態(tài)的概率預測

寫成等式的話就是

二、馬氏過程在股票收盤中的應用

例2：研究對象是寧波港2014.8.1-11.30期間80個交易日的收盤價格的變化情況，我們把每日的收盤價格分成“上升”、“持平”和“下降”這三種狀態(tài)，并分別記作，且狀態(tài)空間。

狀態(tài)概率表示的是每個狀態(tài)可能會出現(xiàn)的概率的大小，我們用狀態(tài)向量來表示，且，其中是該系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣，是狀態(tài)發(fā)生的概率，。

已知數(shù)據(jù)顯示，在80個交易日中，“上升”狀態(tài)有x1=47，“持平”狀態(tài)有x2=6，“下降”狀態(tài)有x3=27，我們可以從中得到。我們將叫作該系統(tǒng)的初始狀態(tài)向量。

由已知數(shù)據(jù)我們可以知道，處于“上升”狀態(tài)的一共有47次，其中由“上升”狀態(tài)變化到“上升”狀態(tài)的有27次，所以，由“上升”狀態(tài)變化到“持平”狀態(tài)的有5次，所以，由“上升”狀態(tài)變化到“下降”狀態(tài)的有15次，所以，同理我們就能得到下面的狀態(tài)轉移概率表：

?

由上表我們知道了股價的狀態(tài)轉移矩陣：

其中每一行的元素表示的是在某一個特定狀態(tài)下每一種可能變化情況的概率，所以有。

由于已知11.30的時候股價處于“下降”狀態(tài)，而之后的歷史數(shù)據(jù)無從得知，所以我們可以暫時取。有了這個已知的向量和矩陣我們就可以預測之后幾天的收盤日股價所處狀態(tài)的概率了。

12.1的狀態(tài)轉移概率向量：

這說明12.1寧波港股價處于“上升”狀態(tài)的可能性為61.5%，處于“持平”狀態(tài)的可能性為3.85%，處于“下降”狀態(tài)的可能性為34.62%。

同理可得，12.2的狀態(tài)轉移概率向量：

往后的各個交易日也可以此類推求得。

所以我們得知在多個交易日之后股價最后處于“上升”狀態(tài)的可能性為59.49%，處于“持平”狀態(tài)的可能性為7.59%，處于“下降”狀態(tài)的可能性為32.91%。