高考解析幾何最值問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐與思考

王會(huì)芳

【摘 要】隨著社會(huì)的進(jìn)步教育也在不斷的發(fā)展，高中生的綜合能力以及核心素養(yǎng)的培養(yǎng)受到了廣泛關(guān)注。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師必須深度挖掘教材，加深對(duì)新課標(biāo)的理解與認(rèn)識(shí)，為高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。然而，根據(jù)我國(guó)現(xiàn)狀分析，部分教師的教學(xué)理念還是比較傳統(tǒng)的，對(duì)學(xué)生的綜合能力以及核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不夠重視。因此，本文基于核心素養(yǎng)背景下針對(duì)近10年高考全國(guó)卷中的圓錐曲線(xiàn)試題，以及求解最值問(wèn)題做出了深入研究。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);幾何;最值

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）22-0095-02

1? ?定義法

在解決難題之際，也要適當(dāng)?shù)鼗貞浧鹣嚓P(guān)理論知識(shí)。以下題為例對(duì)“定義法”進(jìn)行分析總結(jié)。

如已知某一拋物線(xiàn)為y2=4x，上有一定點(diǎn)A，且為（3，1），該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F。試問(wèn)：在該拋物線(xiàn)上求得一點(diǎn)P，從而使得|AP|+|PF|取最小值，并且，求出最小值。

拿到題目之后，不要著急答題，而是要在詳細(xì)閱讀完題干信息以后。可以作一條自A點(diǎn)引出的垂線(xiàn)，如圖（1）所示，此時(shí)，便設(shè)置垂足Q。然后，得出|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|的結(jié)論，繼而求解最小值。利用作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)是解決此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)常用方法。

如圖（1），因?yàn)閥2=4x，所以可以推算出P=2，即焦點(diǎn)為F（1，0）。由點(diǎn)A引準(zhǔn)線(xiàn)x=-1的垂線(xiàn)，垂足是Q，則可以得到|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|，此時(shí)為最小值，最小值為（|AP|+|PF|）min=4。

結(jié)合可以得到點(diǎn)P（，1）就是要求的點(diǎn)。

如果另取一點(diǎn)P′，很容易得出|AP′|+|P′F|=

|AP′|+|P′Q′|>|AP|+|PF|。

本題從一個(gè)簡(jiǎn)單的題型入手，能清晰的建立利用定義法求高考解析幾何最值問(wèn)題的基本方法，本題雖簡(jiǎn)單卻是利用定義法求最值問(wèn)題的典型例題，利用圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)來(lái)求解最值問(wèn)題，不失為“錦囊妙計(jì)”。

2? ?函數(shù)法

函數(shù)法就是在高考的解析幾何中，不直接展示待求的最值目標(biāo)，而是將其轉(zhuǎn)化為某變量的相關(guān)函數(shù)。（關(guān)鍵：注意變量的定義域）。以下題為例對(duì)“二次函數(shù)法”進(jìn)行分析總結(jié)。

如在過(guò)動(dòng)直線(xiàn)x+2y=p與定直線(xiàn)2x-y=a的交點(diǎn)，其中p∈（0，3a]的等軸雙曲線(xiàn)系x2-y2=λ中，當(dāng)p為何值時(shí)，λ達(dá)到最大值與最小值？

本道例題是典型的利用二次函數(shù)的方法來(lái)求解析幾何的最值，解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法是：首先求出交點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)，可得λ的二次函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)方法求解。

根據(jù)“過(guò)動(dòng)直線(xiàn)x+2y=p與定直線(xiàn)2x-y=a的交點(diǎn)”，

先將聯(lián)立，很容易可以得出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），將交點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)x2-y2=λ中，可以得到λ=x2-y2=（）2-（）2=（-3p2+8ap+

3a2）=[-3（p-）2+]，在這里p的范圍是

p∈（0，3a]。當(dāng)p=時(shí)，λmax=a2，又因?yàn)?

本題在解決求最值的過(guò)程中是利用二次函數(shù)的方法進(jìn)行求解的，在遇到此類(lèi)題目時(shí)，要將最值先轉(zhuǎn)化為函數(shù)，繼而求解函數(shù)在所給區(qū)間上的最值即可。

3? ?幾何法

如：已知F為拋物線(xiàn)y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線(xiàn)上且位于x軸的兩側(cè)，=2（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是多少？

在仔細(xì)審題以后，經(jīng)過(guò)分析可以先設(shè)直線(xiàn)方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程得到一個(gè)一元一次方程，再利用韋達(dá)定理及=2消元，最后將面積和表示出來(lái)，探求最值問(wèn)題。根據(jù)題意作出如下圖（2）所示的示意圖。

在這里，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：x=ty+m，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)AB與x軸的交點(diǎn)為M（m，0），由y2-ty-m=0，根據(jù)韋達(dá)定理有y1·y2=-m;因?yàn)?2，所以x1·x2+y1·y2=2，結(jié)合y12=x1及y22=x2，得（y1·y2）2+y1·y2-2=0;因?yàn)辄c(diǎn)A，B位于x軸兩側(cè)，所以y1·y2=-2，故m=-2。此時(shí)不妨令點(diǎn)A在x軸上方，則y1>0，又F（，0），所以S△ABO+S△AFO=×2·（y1-y2）+·y1=y1=y1+≥=3，當(dāng)且僅當(dāng)y1=，即y1=時(shí)，取等號(hào)，所以△ABO與△AFO面積之和最小值是3。

本題考查解析幾何中的面積最值問(wèn)題，用到了借助圖像，列出函數(shù)，進(jìn)而求函數(shù)最值的方法等知識(shí)，這道題不僅考查了學(xué)生建立模型和解決模型的能力，還考察了學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

4? ?不等式法

“不等式法”，在高考幾何題目中的出現(xiàn)頻率也是極高的。這種方法是求圓錐曲線(xiàn)中最值問(wèn)題應(yīng)用最為廣泛的一種方法。以下題為例對(duì)“不等式法”進(jìn)行分析總結(jié)。

如設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其上有兩個(gè)頂點(diǎn)，分別為A（2，0），B（0，1）。此時(shí)，直線(xiàn)y=kx（k>0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，試求：四邊形AEBF面積的最大值。

由于橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，可以得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1，寫(xiě)出直線(xiàn)AB、EF的方程為x+2y=0，y=kx（k>

0）。通過(guò)橢圓方程的聯(lián)立，消去y，從而列出關(guān)于x的一元二次方程。接下來(lái)，再依托于根與系數(shù)的關(guān)系，便能夠完美地攻克難題。

因?yàn)樵摍E圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，則得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

為+y2=1。由A（2，0），B（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)y=kx（k>0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，可以得出直線(xiàn)AB、EF的方程為x+2y=2，y=kx（k>0），此時(shí)設(shè)E（x1，kx1），F(xiàn)（x2，kx2）（x1

h1=

h2=

又因?yàn)锳B=，所以四邊形AFBE的面積為S=

AB（h1+h2）=2≤2。

當(dāng)且僅當(dāng)2k=1時(shí)即k=0.5時(shí)等號(hào)成立。

5? ?結(jié)束語(yǔ)

總而言之，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，核心素養(yǎng)的應(yīng)用與發(fā)展是學(xué)生發(fā)展的重要途徑之一。因此，教師在數(shù)學(xué)課堂中，必須圍繞核心素養(yǎng)來(lái)展開(kāi)教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)多設(shè)置情境教學(xué)來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，多設(shè)置操作環(huán)節(jié)訓(xùn)練學(xué)生的動(dòng)手能力等?？傊?，一切目的都是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力以及綜合發(fā)展能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉必廣.私有構(gòu)造函數(shù)在設(shè)計(jì)模式中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009（06）.

[2]劉燕.用角參數(shù)解（或證明）最值問(wèn)題[C]//教研擷華——青海師大附中建校45周年論文集.1999.

[3]尹紹剛.解析幾何最值問(wèn)題探究[C]//教研擷華——青海師大附中建校45周年.1999.

[4]胡學(xué)峰.初中數(shù)學(xué)幾何的入門(mén)教學(xué)策略[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師通訊），2015（8）.