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    觀念引領(lǐng),視角多維,巧解三角形

    2019-10-23 02:30:44謝俊宇
    關(guān)鍵詞:正弦定理解三角形余弦定理

    謝俊宇

    [摘 ?要] 2018年全國(guó)1卷第17題解三角形試題,題目簡(jiǎn)潔頗具親和力,但解答視角多樣,平凡中不失對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查. 由此也引發(fā)了高中解三角形的常見(jiàn)處理策略的思考. 文章從解三角形常見(jiàn)問(wèn)題(邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、角度、面積、最值)出發(fā),通過(guò)實(shí)例闡述正弦定理、余弦定理、幾何法(構(gòu)造直角三角形)及坐標(biāo)法,試圖多角度反思,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈動(dòng)性,最后提出核心素養(yǎng)背景下解三角形教學(xué)的幾點(diǎn)思考.

    [關(guān)鍵詞] 解三角形;正弦定理;余弦定理;構(gòu)造直角

    解三角形問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,更是全國(guó)卷高考試題中不可或缺的命題考查點(diǎn),通常都是借助正弦定理或余弦定理處理問(wèn)題. 正弦定理、余弦定理如何運(yùn)用?對(duì)于非直角三角形通過(guò)恰如其分地作垂線可以構(gòu)造出直角三角形,可以將解三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形問(wèn)題處理. 如何構(gòu)造直角,巧妙在哪里?解三角形的常見(jiàn)策略又有哪些?筆者通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)行闡述.

    邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)問(wèn)題

    例1:(2018屆廣東二模理科數(shù)學(xué)第17題節(jié)選(1))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=60°,c=8. 若點(diǎn)M,N是線段BC的兩個(gè)三等分點(diǎn),BM= BC, =2 ,求AM的值.

    解析:如圖1,設(shè)BM=x,則MN=x,AN=2 x,在△ABN中由余弦定理可得cos60°= = ,化簡(jiǎn)整理可得x2+2x-8=0,故x=2,故BN=4,AN=4 ,所以BN2+AN2=AB2,因此∠ANB=90°,AM= =2 .

    點(diǎn)評(píng):三邊關(guān)系已知,通常采用余弦定理處理,但關(guān)注到勾股定理會(huì)讓運(yùn)算更簡(jiǎn)潔.

    例2:(2017全國(guó)1卷理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為 .

    (1)求sinBsinC;

    (2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng).

    解析:(1)由題意可得S△ABC= acsinB= ,即 csinB= ,由正弦定理可知a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC,故 sinCsinB= ,所以sinBsinC= .

    (2)因?yàn)閟inBsinC= ,cosBcosC= ,所以cosBcosC-sinBsinC=- ,于是cos(B+C)=- . 又△ABC中π-A=B+C,故cos(π-A)=cos(B+C)=-cosA,所以cosA= . 因?yàn)锳∈(0,π),所以A= . 由余弦定理可得cosA= = ,即b2+c2-bc=9. 又S△ABC= bcsinA= ,所以bc=8,于是(b+c)2-3bc=9,所以b+c= ,故△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=3+ .

    點(diǎn)評(píng):本題靈活考查三角形面積公式和兩角和的余弦公式,尤其是第2問(wèn)給出的已知需要及時(shí)聯(lián)想到余弦公式才能破解. 從這里,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)死記硬背公式是不行的,公式需要理解,更要靈活運(yùn)用,但百變不離公式本質(zhì).

    三角形的面積問(wèn)題

    例3:(2018屆佛山二模理科數(shù)學(xué)第17題(1))如圖2,平面四邊形ABCD中,∠ABC= ,AB⊥AD,AB=1.若AC= ,求△ABC的面積.

    解析:方法1:借助已知角,余弦定理求邊長(zhǎng).

    設(shè)BC=x(x>0),在△ABC中由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即x2+ x-4=0,解得x= 或x=-2 (舍去),所以△ABC的面積為S△ABC= AB·BC·sin∠ABC= ×1× × = .

    方法2:利用三角形兩邊,正弦定理求夾角.

    設(shè)∠ACB=θ,在△ABC中由正弦定理可得 = ,即 = ,所以sinθ= . 又θ∈0, ,所以cosθ= ,在△ABC中,sin∠BAC=sin(∠ABC+θ)=sin +θ= ·(cosθ-sinθ)= ,因此S△ABC= AB·AC·sin∠BAC= ×1× × = .

    方法3:作垂線,構(gòu)造直角三角形.

    如圖3,過(guò)點(diǎn)C作AB延長(zhǎng)線的垂線,垂足為E,假設(shè)BE=x(x>0),由題意∠ABC= ,則∠CBE= . 在Rt△BEC中,EC=BE=x. 在Rt△AEC中,∠AEC= ,AE=1+x,EC=x,AC= ,根據(jù)勾股定理可得(1+x)2+x2=5,解得x=1,x=-2(舍去),因此x=1,S△ABC= AB·EC= ×1×1= .

    例4:(2017年全國(guó)3卷理科數(shù)學(xué)第17題節(jié)選(2))已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c. 已知sinA+ cosA=0,a=2 ,b=2. 設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積.

    解析:方法1:借助已知角,余弦定理求邊長(zhǎng).

    在△ABC中,由sinA+ cosA=0得cosA=- ,A= . 由余弦定理可得cosA= =- ,解得c=4. 由余弦定理可得cosC= = = . 又AD⊥AC,所以在Rt△ACD中, = = ,所以CD= ,AD= = ,故S△ABD= AB·ADsin∠BAD= ×4× ×sin = .

    方法2:作垂線,構(gòu)造直角三角形.

    如圖4,過(guò)點(diǎn)B作CA延長(zhǎng)線的垂線,垂足為E,由方法1知A= ,所以∠BAE= ,∠ABE= . 在Rt△ABE中,AE=AB·sin =2,BE=2 . 又AD⊥AC,故△ACD~△ECB, = = ,故AD= ,S△ABD= AB·ADsin∠BAD= .

    方法3:關(guān)注幾何關(guān)系,巧妙轉(zhuǎn)化.

    因?yàn)镾△ABD= AB·ADsin ,S△ACD= AC·AD,所以 = ,即 = =1,所以S△ABD=S△ACD= S△ABC. 又S△ABC= AC·AB·sin =2 ,因此S△ABD= .

    點(diǎn)評(píng):常見(jiàn)的三角形面積公式有S△= ah= absinC,抓住計(jì)算公式中的基本量方能求解. 學(xué)生在解題中潛意識(shí)地默認(rèn)使用高中面積公式S△= absinC,然后專心挖掘正弦定理或者余弦定理(如上述兩個(gè)例題方法1和方法2),而對(duì)于初中常用的面積公式S△= ah有所忽視. 通過(guò)上述兩個(gè)例題的多種解法不難發(fā)現(xiàn)善于作垂線,將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形處理這一思路可以簡(jiǎn)化計(jì)算流程,更呈現(xiàn)思維的靈動(dòng). 特別地,例題4方法3充分利用幾何關(guān)系,巧妙轉(zhuǎn)化也是解三角形的一種新穎思路.

    三角形的角度問(wèn)題

    例5:(2018屆佛山二模理科數(shù)學(xué)第17題)平面四邊形ABCD中,∠ABC= ,AB⊥AD,AB=1. 若∠ADC= ,CD=4,求sin∠CAD.

    解析:方法1:正弦定理,利用方程組思想.

    設(shè)∠CAD=α,則∠ACD= -α,∠ACB=α- ,在△ABC中,由正弦定理可得 = ,即 = (1);在△ACD中,由正弦定理可得 = ,即 = (2).由(2)÷(1)式可得 = ,化簡(jiǎn)整理可得sinα=2cosα,又α∈0, ,sin2α+cos2α=1,解得sin2α= . 因?yàn)閟inα>0,所以sinα= .

    方法2:作垂線,構(gòu)造直角三角形.

    如圖5,過(guò)點(diǎn)C作AB延長(zhǎng)線的垂線,垂足為E,過(guò)點(diǎn)C作直線AD的垂線,垂足為F. 假設(shè)BE=x(x>0),由題意∠ABC= ,則∠CBE= . 在Rt△BEC中,EC=BE=x.在Rt△AEC中,∠AEC= ,AE=1+x,EC=x,AC= ,根據(jù)勾股定理可得(1+x)2+x2=5,解得x=1,x=-2(舍去),因此x=1. 又四邊形AECF為矩形,所以AF=CE=1.在Rt△DCF中,∠ADC= ,CD=4,故CF=2.在Rt△ACF中由勾股定理可得AC= = = ,所以sinα= = .

    點(diǎn)評(píng):正弦定理或者余弦定理是解決角度問(wèn)題的首選,而充分借助圖形中的已知角(邊)作垂線,構(gòu)造直角三角形也不失為一種訓(xùn)練思維,培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)的方式.

    三角形中的最值問(wèn)題

    例6:(2014全國(guó)1卷理16)已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______.

    解析:方法1:余弦定理,將面積轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng),用重要不等式求最值.

    依題意,根據(jù)正弦定理可得(2+b)·(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc. 由余弦定理可得cosA= = ,又A∈(0,π),所以A= ,于是S△ABC= bc·sinA= bc. 又b2+c2=bc+4≥2bc(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立),所以bc≤4,S△ABC= bc≤ ,此時(shí)a=b=c=2,△ABC面積的最大值為 .

    方法2:正弦定理,將面積轉(zhuǎn)化為角,根據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.

    根據(jù)方法1可知A= ,由正弦定理可得 = = = ,因此b= sinB,c= sinC,S△ABC= bc·sinA= sinBsinC. 又B+C= ,故0

    例7:(2018年福建省質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)第16題)在平面四邊形ABCD中,AB=1,AC= ,BD⊥BC,BD=2BC,則AD的最小值為_(kāi)_______.

    解析:方法1:正弦定理和余弦定理,將邊化為角,利用三角函數(shù)有界性求最值.

    如圖6,設(shè)∠BAC=θ,∠ABD=α,則∠ABC=α+ . 在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,

    即BC2=6-2 cosθ;由正弦定理可得 = ,即 = ,所以BCcosα= sinθ. 在△ABD中,由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosα,又BD2=4BC2=24-8 cosθ,且BD·cosα=2BCcosα=2 sinθ,因此AD2=25-8 cosθ-4 sinθ=25-20sin(θ+φ0),其中cosφ0= ,sinφ0= ,所以當(dāng)sin(θ+φ0)=1時(shí),即sinθ= ,cosθ= 時(shí),AD2取得最小值5,因此AD的最小值為 .

    方法2:建立平面直角坐標(biāo)系,代數(shù)化處理.

    如圖7,以B為原點(diǎn),以 為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(-1,0),又CA= ,故可設(shè)C( cosθ-1, sinθ),BC=r,則C(rcosθ,rsinθ). 因BD⊥BC,BD=2BC,所以D2rcosθ+ ,2rsinθ+ ,即D(-2rsinθ,2rcosθ),于是xD=-2yC,yD=2xC,所以xD=-2 sinθ,yD=2 cosθ-2,因此AD2=(-2 sinθ+1)2+(2 cosθ-2)2=25-20sin(θ+φ0),其中cosφ0= ,sinφ0= ,所以當(dāng)sin(θ+φ0)=1時(shí),即sinθ= ,cosθ= 時(shí),故點(diǎn)C(1,1),D(-2,2),AD的最小值為 .

    點(diǎn)評(píng):上述兩個(gè)例題的解法表明,解三角形中的取值范圍問(wèn)題,首先需要通過(guò)正弦定理或者余弦定理將所求量(邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積等)表示成為某個(gè)角的三角函數(shù)或者某邊長(zhǎng)問(wèn)題,然后借助三角函數(shù)的有界性或者不等式、導(dǎo)數(shù)進(jìn)行范圍求解.

    教學(xué)啟示

    1. 觀念引領(lǐng),善于作垂線,構(gòu)造直角三角形,巧妙處理三角形問(wèn)題. 解三角形問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)階段通常習(xí)慣于運(yùn)用正弦定理或者余弦定理作為處理問(wèn)題的工具,忽視了構(gòu)造直角三角形的作用.通過(guò)文中的闡述不難發(fā)現(xiàn),作垂線構(gòu)造直角三角形有著簡(jiǎn)化計(jì)算的效果,給人一種“山重水復(fù)疑無(wú)路,柳暗花明又一村”的感覺(jué). 因此,在解三角形時(shí)需要特別關(guān)注圖形,善于作垂線,構(gòu)造直角三角形,強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想.

    2. 視角多維,多角度反思,讓學(xué)生思維真正實(shí)現(xiàn)靈動(dòng). 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題需要一定的解題經(jīng)驗(yàn),數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)從何而來(lái)?這就需要平時(shí)解題中的逐漸反思和多角度思考問(wèn)題. 反思可以優(yōu)化解題思路,簡(jiǎn)化解題過(guò)程,同時(shí)也需要勤于動(dòng)腦經(jīng)和舍得花時(shí)間訓(xùn)練. 如文中所述例題解答方法多樣,但過(guò)程的繁簡(jiǎn)卻又差別不一,有的解法確實(shí)是讓人感受到思維的靈動(dòng)感.思維的靈動(dòng)不可強(qiáng)求,但可以通過(guò)不斷多解反思逐漸積累.

    3. 掌握通性通法,培養(yǎng)幾何直觀想象、數(shù)學(xué)建模及運(yùn)算素養(yǎng). 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答途徑可能多種多樣,可有時(shí)卻因選擇太多而不知路在何方. 因此,在培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力的時(shí)候更應(yīng)該關(guān)注題目涉及的數(shù)學(xué)模型以及解決該模型的通性通法. 正弦定理和余弦定理是高中解三角形的常見(jiàn)工具,構(gòu)造直角三角形可以為解三角形增添活力,不應(yīng)刻意追求. 當(dāng)然,無(wú)論選擇哪種途徑,數(shù)學(xué)最后都在運(yùn)算中得到落實(shí),因此必須加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升.

    4. 思考有深度,才可以使得分析問(wèn)題有著明確的思路,不同于死搬硬套. 觀察表象,思考本質(zhì),“多考一點(diǎn)想法,少考一點(diǎn)算數(shù)”,正是核心素養(yǎng)導(dǎo)向的命題特色. 我們知道,思考的深度很大程度上取決于思維的習(xí)慣、觀念的引領(lǐng),所以教學(xué)中要加強(qiáng)概念的理解,重視體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成的過(guò)程,組織學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)、實(shí)踐操作和動(dòng)手實(shí)驗(yàn),鼓勵(lì)學(xué)生多視角思考,發(fā)揮學(xué)生自身的主觀能動(dòng)性,自己能通過(guò)思考、分析、展示、實(shí)踐、構(gòu)建、創(chuàng)造等方式,從而體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感和幸福感.

    成熟的方法思路固然重要,但是讓學(xué)生能有所思考,能將實(shí)際問(wèn)題和所學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái),這種觀察聯(lián)想的能力也是我們急需的東西,不能因?yàn)榻鉀Q過(guò)程煩瑣或者沒(méi)有將問(wèn)題解決而就去否定它,而是看到它長(zhǎng)遠(yuǎn)的作用:觀念的引領(lǐng)和深度的思考能讓他們對(duì)問(wèn)題有自己的認(rèn)識(shí),觀察聯(lián)想和多視角分析的思維習(xí)慣能讓他們變得更加睿智. 在核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)該用觀念引領(lǐng),多視角思維,注重學(xué)生活動(dòng),讓素養(yǎng)在實(shí)踐中開(kāi)花結(jié)果.

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