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    例談圓錐曲線中兩組過定點的基本模型

    2019-10-23 02:30:44張志華周珊杉
    關(guān)鍵詞:圓錐曲線

    張志華 周珊杉

    [摘 ?要] 解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識,而直線與橢圓的位置關(guān)系更是高考考查的重中之重.如何有效地掌握好解析幾何的相關(guān)知識?如何在這一部分高效得分?文章認(rèn)為一些基本的二級結(jié)論還是有必要了解,因為這樣可以有效延伸我們思考問題的“跨越度”,快速找到已知條件與所求結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而讓我們對問題的本質(zhì)理解更加透徹,甚至對命題者的命題角度、意圖、途徑都得窺門徑.

    [關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;過定點;基本模型

    解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識,而直線與橢圓的位置關(guān)系更是高考考查的重中之重,歷來是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的夢魘,也是教師數(shù)學(xué)教學(xué)的痛點. 如何有效地掌握好解析幾何的相關(guān)知識?如何在這一部分高效得分?始終是每一位教師和學(xué)生思考的問題. 除了大家耳熟能詳?shù)慕馕鰩缀蔚姆g與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算能力(尤其是字符化簡能力)有較高要求之外,筆者覺得一些基本的二級結(jié)論或基本的模型性質(zhì)還是有必要了解并熟悉,當(dāng)然能夠達(dá)到理解并記憶的水平自然更佳. 因為這樣可以有效延伸我們思考問題的“跨越度”,快速找到已知條件與所求結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而讓我們對問題的本質(zhì)理解更加透徹,甚至可以對命題者的命題角度、意圖、途徑都得窺門徑.

    以下就以兩道具體的解析幾何問題為例,探索其背后所蘊(yùn)含的基本模型,進(jìn)而探索這種模型有哪些基本性質(zhì)或二級結(jié)論,最終得以窺視命題者命題的數(shù)學(xué)來源與本質(zhì).

    例題展示與評析

    例1:(重慶市高2018級二診理數(shù)20(2))

    已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓 + =1的左、右焦點.

    (2)過F2作兩條互相垂直的直線l1與l2(均不與x軸重合),分別與橢圓交于A,B,C,D四點,線段AB,CD的中點分別是M,N,求證:直線MN過定點,并求出該定點坐標(biāo).

    解析:設(shè)直線AB:y=k(x-1),聯(lián)立橢圓方程3x2+4y2=12得:

    (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,則xA+xB= ,故

    xM= · = ,yM= · = . 將k用- 代替得

    xN= = ,yN= .

    由題意,若直線AB關(guān)于x軸對稱后得到直線A′B′,則得到的直線M′N′與MN關(guān)于x軸對稱,所以若直線MN經(jīng)過定點,則該定點一定是直線M′N′與MN的交點,該點必在x軸上.

    設(shè)該定點坐標(biāo)P(s,0), =(s-xM,-yM), =(xM-xN,yM-yN),由 = 得:s= ,代入M,N坐標(biāo)化簡得s= .所以直線MN過定點 ,0.

    評注:此題屬于解析幾何中的定點問題,按照通常的“由特殊到一般”的思路先猜后證,從思維要求上說應(yīng)該不太難. 但是,從實際考場上的得分結(jié)果反饋,除去一部分學(xué)生的心理因素和時間因素之外,此題對運(yùn)算能力特別是字符化簡能力的要求提出了較高的挑戰(zhàn),因此得分率并不太理想. 所以,我們有必要深入研究問題的背景和本質(zhì),使得學(xué)生能夠做到對此問題心中有數(shù)、高屋建瓴、統(tǒng)攬全局,最后再從容不迫計算,甚至只是驗證心中所想的基本結(jié)論而已.

    其實,此題的本質(zhì)就屬于橢圓中互相垂直的弦中點過定點的基本模型. 以下就給出一些基本的結(jié)論與證明.

    基本結(jié)論與證明

    結(jié)論1:過橢圓 + =1的右焦點F(c,0)作兩條互相垂直的弦AB,CD. 若弦AB,CD的中點分別為M,N,那么直線MN恒過定點 ,0.

    結(jié)論2:過橢圓 + =1的長軸上任意一點S(s,0)(-a

    證明:設(shè)AB的直線為x=my+s,則CD的直線方程為x=- y+s,

    x=my+s,b2x2+a2y2-a2b2=0,(m2b2+a2)y2+2b2msy+b2(s2-a2)=0,

    Δ=4a2b2(m2b2+a2-s2)>0,y1+y2= ,y1·y2= ,

    由中點公式得M , ,

    將m用 代換,得到N的坐標(biāo) ,

    MN的直線方程為y+ = x- ,

    令y=0,得x= . 所以直線MN恒過定點 ,0.

    結(jié)論3:過橢圓 + =1的短軸上任意一點T(0,t)(-b

    結(jié)論4:過橢圓 + =1內(nèi)的任意一點Q(s,t) + <1作兩條互相垂直的弦AB,CD. 若弦AB,CD的中點分別為M,N,那么直線MN恒過定點 , .

    注:回到開頭的例題,其實此問題的本質(zhì)就屬于橢圓中互相垂直的弦中點過定點的基本模型,若套用我們前面的結(jié)論1:直線MN恒過定點 ,0,即 ,0,問題瞬間秒殺.正所謂“問渠那得清如許,為有源頭活水來”.

    相關(guān)結(jié)論與拓展

    拓展結(jié)論(1):其實,雙曲線中互相垂直的弦中點過定點也有類似的結(jié)論.

    結(jié)論5:過雙曲線 - =1的右焦點F(c,0)作兩條互相垂直的弦AB,CD.若弦AB,CD的中點分別為M,N,那么直線MN恒過定點 ,0.

    結(jié)論6:過雙曲線 - =1的實軸上任意一點S(s,0)(s<-a或s>a)作兩條互相垂直的弦AB,CD. 若弦AB,CD的中點分別為M,N,那么直線MN恒過定點 ,0.

    結(jié)論7:過雙曲線- + =1的虛軸上任意一點T(0,t)(t<-b或t>b)作兩條互相垂直的弦AB,CD.若弦AB,CD的中點分別為M,N,那么直線MN恒過定點 ,0.

    結(jié)論8:過雙曲線 - =1外的任意一點Q(s,t) - >1作兩條互相垂直的弦AB,CD.若弦AB,CD的中點分別為M,N,那么直線MN恒過定點 , .

    其證明讀者可以類比橢圓的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行,略.

    拓展結(jié)論(2):與之相關(guān)的圓錐曲線上的直角弦過定點的結(jié)論.

    結(jié)論9:橢圓 + =1上一點P(x0,y0),橢圓上存在不同于點P的兩點A,B,且滿足PA⊥PB,那么直線AB恒過定點 x0,- y0.

    等價說法:以(x0,y0)為直角頂點的橢圓 - =1內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 x0,- y0.

    結(jié)論10(1):雙曲線 + =1上一點P(x0,y0),雙曲線上存在不同于點P的兩點A,B,且滿足PA⊥PB,那么直線AB恒過定點 x0,- y0.

    等價說法:以(x0,y0)為直角頂點的雙曲線 - =1內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 x0,- y0.

    結(jié)論10(2):雙曲線- + =1上一點P(x0,y0),雙曲線上存在不同于點P的兩點A,B,且滿足PA⊥PB,那么直線AB恒過定點 x0, y0.

    結(jié)論11:拋物線y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0),拋物線上存在不同于點P的兩點A,B,且滿足PA⊥PB,那么直線AB恒過定點(x0+2p,-y0).

    等價說法:以(x0,y0)為直角頂點的拋物線y2=2px內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(x0+2p,-y0).

    注:其證明讀者可以類比橢圓的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行,略.

    例題運(yùn)用與評析

    例2:(重慶市高2018級文科二診20(2))

    已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓 + =1的左、右焦點,B為橢圓的上頂點.

    (2)過點B作兩條互相垂直的直線與橢圓交于S,T兩點(異于點B),證明:直線ST過定點,并求該定點的坐標(biāo).

    解析:設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2),直線BS:y=kx+ ,聯(lián)立橢圓方程得:

    (4k2+3)x2+8 kx=0,x1= ,x = = ,

    由題意,若直線BS關(guān)于y軸對稱后得到直線B′S′,直線BT關(guān)于y軸對稱后得到直線B′T′,則得到的直線S′T′與ST關(guān)于y軸對稱,所以若直線ST經(jīng)過定點,則該定點一定是直線S′T′與ST的交點,該點必在y軸上.

    設(shè)該定點坐標(biāo)(0,t),

    = ?圯t= = ,

    代入x1,x2化簡得t=- ,所以過定點0,- .

    評析:其實此問題的本質(zhì)就屬于圓錐曲線上的直角弦過定點的基本模型,若套用我們前面的結(jié)論9:直線AB恒過定點 x0,- y0(其中a2=4,b2=3,x =0,y = ),即直線AB恒過定點 ×0,- × =0,- . 問題被瞬間秒殺,這種感覺真叫人拍案叫絕,正所謂“會當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”.

    教學(xué)反思與啟示

    通過這兩道典型問題的分析,給了我們很多有益的啟示. 要徹底洞察解析問題的本質(zhì),必須要有“清澈的源頭”,才能做到高屋建瓴,一語中的. 只有掌握好了一些基本的模型、套路、方法,解析幾何問題才會變得溫馴且可控.因此,我們在日常教學(xué)中,應(yīng)堅持“學(xué)生的精彩才是教師的出彩”的原則,啟發(fā)學(xué)生的思維,提升學(xué)生的探究能力,培養(yǎng)學(xué)生對復(fù)雜問題的鉆研精神,使學(xué)生在問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決、反思過程中,不斷發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一些套路模型與二級結(jié)論,進(jìn)而不斷提升數(shù)學(xué)思維能力與核心素養(yǎng).

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