確立數(shù)學(xué)解題策略的原則

鄭建華

[摘 ?要] 確立完善的解題策略能更為準(zhǔn)確地解題并減少失誤，運(yùn)用好這些相互聯(lián)系的策略原則能從不同角度和側(cè)面指導(dǎo)解題，解題效率大大提升的同時(shí)也能更加簡(jiǎn)捷、自然地獲得正確的解題結(jié)果.

[關(guān)鍵詞] 解題策略;原則;思路;思維

數(shù)學(xué)解題策略這一具有原則性的思想方法和規(guī)則是學(xué)習(xí)主體面對(duì)問(wèn)題或目標(biāo)后所進(jìn)行的思維決策選擇，這種發(fā)現(xiàn)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采取的總體思路往往能將數(shù)學(xué)解題的精神實(shí)質(zhì)很好地體現(xiàn)出來(lái)，完善的解題策略的確立能將解題方向更為準(zhǔn)確地把握并有效減少失誤或錯(cuò)誤，解題效率大大提升的同時(shí)也能更加簡(jiǎn)捷地獲得解題的結(jié)果. 為實(shí)現(xiàn)解題而確立的數(shù)學(xué)解題策略具有一定的內(nèi)在規(guī)律，這正是解題策略遵循策略原則的具體體現(xiàn).一般來(lái)講，數(shù)學(xué)解題策略需遵循以下原則.

明確的目的性

明確的目的是解題首先應(yīng)該遵循的，解題策略思想的核心正是怎樣實(shí)現(xiàn)解題要求這一核心問(wèn)題. 解題策略的制定始終不能離此核心. 比如“據(jù)果變形”在證明等式、不等式中的應(yīng)用，比如“設(shè)而不求”在解析幾何問(wèn)題中的時(shí)常應(yīng)用等等，都很好地體現(xiàn)了這一原則.

例1：已知橢圓4x2+9y2=36，某直線與之相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是M（1，1），則直線AB的方程如何？

分析：點(diǎn)M在直線AB上，因此考慮求直線的斜率即可. “設(shè)而不求”在此處若可以運(yùn)用，很多繁難計(jì)算將得到避免，解題顯然更為簡(jiǎn)捷.

解：設(shè)A（x1，x2），B（x2，y2），中點(diǎn)為M（1，1），則x1+x2=2，y1+y2=2.

因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B在橢圓上，

所以4x +9y =36， ? ? ? ①

4x +9y =36， ? ? ? ②

①-②可得4（x -x ）+9（y -y ）=0，

所以8（x1-x2）+18（y1-y2）=0，

所以 =- .

所以直線AB的斜率是- ，所以直線AB的方程為y-1=- （x-1），即4x+9y-13=0.

在復(fù)雜問(wèn)題面前首先要做的就是明確目的并找出解題關(guān)鍵，這對(duì)于確立正確的解題策略來(lái)講是首要任務(wù).

思維的廣闊性

思維的廣闊性是極為關(guān)鍵的解題環(huán)節(jié)，抓住問(wèn)題的廣闊范圍并全面考慮問(wèn)題以弄清事物的特點(diǎn)與聯(lián)系，能使解題者從多方面進(jìn)行解題的探索并設(shè)計(jì)出多種解決辦法.

例2：已知：a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1.

從平方和關(guān)系入手進(jìn)行乘積和的不等關(guān)系的探求所涉及的領(lǐng)域是比較廣闊的，這對(duì)于解題者思維的廣闊度來(lái)說(shuō)也是一種挑戰(zhàn).

比較法、綜合法以及分析法是大部分學(xué)生在證明時(shí)采用的方法，教師在此基礎(chǔ)上可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行適時(shí)點(diǎn)撥，使學(xué)生在觀察式子的整體結(jié)構(gòu)、發(fā)掘隱含條件的過(guò)程中獲得分散思維的鍛煉并因此尋得其他證明方法. 學(xué)生在一定的觀察、分析與聯(lián)想之后給出以下三角函數(shù)證明方法：

解：由a2+b2=1，c2+d2=1，可設(shè)a=sinα，b=cosα，c=cosβ，d=sinβ.

所以ac+bd=sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）.

因?yàn)閟in（α+β）≤1，所以ac+bd≤1.

學(xué)生的思路在這樣的訓(xùn)練中一定會(huì)得到拓展，學(xué)生也會(huì)因此對(duì)鉆研數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣.

分析問(wèn)題的全面性

解題策略思想正確確立的基礎(chǔ)就是對(duì)問(wèn)題展開(kāi)全面的分析，數(shù)學(xué)題的構(gòu)造不管如何變化，多角度、多側(cè)面地進(jìn)行觀察和分析都是解題中最為基礎(chǔ)的一個(gè)環(huán)節(jié)，只有這樣，解題者才會(huì)對(duì)問(wèn)題內(nèi)部聯(lián)系的實(shí)質(zhì)建立深刻的認(rèn)知并因此獲得更多的解題方案.

例3：設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2+（y-1）2=1，則 的取值范圍如何？

分析：運(yùn)用變二元為一元的一般辦法來(lái)解決此道二元函數(shù)取值范圍的問(wèn)題，會(huì)因?yàn)殚_(kāi)方問(wèn)題而難以解決，但將此題所求看成過(guò)點(diǎn)（-1，-2）和點(diǎn)（x，y）的直線斜率，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化成：求過(guò)定點(diǎn)（-1，-2）和圓x2+（y-1）2=1上一動(dòng)點(diǎn)（x，y）的直線的斜率的取值范圍，問(wèn)題顯然簡(jiǎn)單了很多.

熟悉化

熟悉化原則這一最為根本的解題原則就是要求解題者能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的相關(guān)問(wèn)題，運(yùn)用熟悉的知識(shí)、方法對(duì)其進(jìn)行探究和解答.

例4：求函數(shù)y= 的值域.

判別式法是解決此題時(shí)常用的方法，但教師若能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其形式進(jìn)行觀察和聯(lián)想，則會(huì)有學(xué)生能聯(lián)想萬(wàn)能公式中的sinθ并獲得問(wèn)題的解決.

令x=tan ，則y= =sinθ.

由正弦定理的有界性sinθ≤1即可順利解決問(wèn)題.

簡(jiǎn)單化

將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的解題實(shí)施途徑是多方面的，一般來(lái)講，尋求中間環(huán)節(jié)、分類考察討論、簡(jiǎn)化已知條件、恰當(dāng)分解結(jié)論是落實(shí)簡(jiǎn)單化原則時(shí)最為常用的幾種方法.

例5：已知cos（α+β）= ，cos（α-β）= ，求tanαtanβ的值.

分析 很多學(xué)生初讀此題時(shí)往往感覺(jué)無(wú)從下手，但若是能把條件和題目所求相關(guān)聯(lián)并對(duì)中間環(huán)節(jié)進(jìn)行探尋，很多學(xué)生就會(huì)想到弦切互化，把tanαtanβ化成 ，在cos（α+β），cos（α-β）的展開(kāi)式中也正好有sinαsinβ，cosαcosβ.因此，聯(lián)立cos（α+β）= ，cos（α-β）= ，即可解得sinαsinβ，cosαcosβ，并最終求得tanαtanβ的值為- .

具體化

具體化原則的運(yùn)用就是將問(wèn)題中的概念、概念間的關(guān)系進(jìn)行明確，這一具體化的解題行為能將一般原理和規(guī)律更好地應(yīng)用于問(wèn)題的解決中，使抽象的形式與內(nèi)容得以用具體的形式表達(dá). 事實(shí)上，確實(shí)有很多看似抽象且不易解決的問(wèn)題，在解題者聯(lián)系相關(guān)知識(shí)、具體教學(xué)情境并建立模型之后得到順利解決，這是探尋解題思路與解題突破環(huán)節(jié)中特別重要的一環(huán).

例6：已知x∈R，a是常數(shù)，且f（x+a）= ，則f（x）是周期函數(shù)嗎？如果是周期函數(shù)，請(qǐng)求出其周期;如果不是，理由何在？

分析：由f（x+a）= 聯(lián)想到tanx+ = ，找出一個(gè)具體函數(shù)，f（x）=tanx及a= . 而函數(shù)y=tanx的周期T=π=4a，猜想f（x）為周期函數(shù)，周期是4a.如此解題思路清晰，方向明確.

證明：因?yàn)閒（x+a）= ，

所以f[（x+a）+a]= =-

所以f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]= - =f（x）.

所以f（x）的周期T=4a.

和諧化

和諧化原則在解題策略確立中的運(yùn)用就是利用問(wèn)題內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特點(diǎn)進(jìn)行各種必要聯(lián)系的建立，數(shù)與形、正與反、內(nèi)與外、分與合、固與變等各種關(guān)系的運(yùn)用能使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和解決更加順利. 數(shù)與形在解題中的運(yùn)用是最為突出的，數(shù)學(xué)這門(mén)研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)總是圍繞數(shù)與形進(jìn)行研究. “數(shù)”包含了方程、函數(shù)、不等式等代數(shù)中的一切內(nèi)容;“形”包含了圖形、圖像、曲線等形式. 數(shù)量關(guān)系決定幾何圖形的性質(zhì)、幾何圖形的性質(zhì)反映數(shù)量關(guān)系這兩者之間的相互關(guān)系正是數(shù)形結(jié)合的本質(zhì). 抓住數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系并以“形”直觀表達(dá)數(shù)或以“數(shù)”精確研究形就是數(shù)形結(jié)合. 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行細(xì)致入微的觀察并展開(kāi)聯(lián)想，能使學(xué)生更好地利用圖形的直觀誘發(fā)直覺(jué)，由形思數(shù)，由數(shù)想形，并因此將數(shù)與形的和諧統(tǒng)一更好地展現(xiàn)出來(lái).

例7：方程x+lgx=3的根是x1，x+10x=3的根是x2，則x1+x2等于（ ?）.

A. 6 ? ?B. 3 ? ?C. 2 ? ?D. 1

分析：構(gòu)造函數(shù)y=lgx，y=10x，y=3-x，因?yàn)閥=lgx和y=10x互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，直線y=3-x和y=x相互垂直，因此y=3-x與y=lgx和y=3-x與y=10x的交點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是關(guān)于直線y=3-x與y=x的交點(diǎn)M（x0，x0）對(duì)稱的，故x1+x2=2x0=3，故選B. （圖略）

逆向思維

逆向思維原則在解題策略確立中的運(yùn)用其實(shí)就是做和習(xí)慣性思維相反的探究，在順推不能解決問(wèn)題時(shí)進(jìn)行逆推的思考，在直接解決不能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決時(shí)進(jìn)行間接解決，在探討可能性不順利之時(shí)進(jìn)行不可能性的探討等等都是逆向思維的運(yùn)用. 事實(shí)上，逆向思維在解題進(jìn)入僵局時(shí)的運(yùn)用確實(shí)往往能令人茅塞頓開(kāi)并獲得解題的突破. 分析法、反證法這些體現(xiàn)逆向思維原則的方法是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)證明方法.

例8：已知方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

分析：對(duì)“三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”這一已知條件進(jìn)行分析，可得七種情形，對(duì)各種情形分別求解是相當(dāng)煩瑣的過(guò)程. 但若是能夠在解題中運(yùn)用逆向思維并從對(duì)立面進(jìn)行解題思考，則只要考慮三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根這一種情形.

解：若三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根，

由題意可得16a2-4（3-4a）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2+8a<0，解得-

令A(yù)=a-

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為aa≤- 或a≥-1 .

根據(jù)題目特點(diǎn)分別采取的策略原則往往能從不同角度與側(cè)面指導(dǎo)解題，運(yùn)用好這些相互聯(lián)系的策略原則能夠更加簡(jiǎn)捷、順暢地實(shí)現(xiàn)正確解題.