教學(xué)中怎樣讓學(xué)生熟練掌握因式分解

蔡元英

因式分解是整式的一種重要的恒等變形，它和整式乘法運(yùn)算有著密切的聯(lián)系，是后續(xù)學(xué)習(xí)分式化簡(jiǎn)與運(yùn)算、解一元二次方程的重要基礎(chǔ)。學(xué)生已有的因數(shù)分解、整式乘法運(yùn)算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

在知識(shí)與技能方面主要解決兩個(gè)問題：什么是因式分解？怎樣進(jìn)行因式分解？

對(duì)于第一個(gè)問題，對(duì)因式分解的定義并不嚴(yán)格，意在淡化概念。學(xué)生能理解以下幾點(diǎn)：①分解的結(jié)果要以積的形式表示;②每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù);③必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式不能再分解為止。

對(duì)于第二個(gè)問題，只學(xué)習(xí)提公因式法與公式法（平方差公式與完全平方公式）這兩種方法。盡可能幫助學(xué)生從幾何角度理解代數(shù)的含義;發(fā)展學(xué)生的類比思想，以及從特殊到一般地思考問題的方法;幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

學(xué)習(xí)“因式分解”利用993-99的例子突出與因數(shù)分解的類比，體會(huì)因式分解的必要性。類比因數(shù)分解理解因式分解、通過類比數(shù)式993-99的分解過程，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)多項(xiàng)式a3-a的分解，在這一活動(dòng)過程中，學(xué)生可以進(jìn)一步體會(huì)字母表示數(shù)，教師要注意給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行觀察、思考，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法進(jìn)行思考。

用幾何圖形的拼圖解釋因式分解，在了解因式分解概念的基礎(chǔ)上，體會(huì)因式分解與整式乘法的關(guān)系。以拼圖前后面積不變的方式，形象地解釋多項(xiàng)式x2+2x+1變形為（x+1）2的合理性，說(shuō)明因式分解是整式的恒等變形，有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展具有實(shí)際價(jià)值.教師要引導(dǎo)學(xué)生用自已的語(yǔ)言說(shuō)明變形過程。

學(xué)習(xí)“提公因式法”，它的依據(jù)是乘法分配律或者單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，難點(diǎn)是怎樣在多項(xiàng)式的各項(xiàng)中發(fā)現(xiàn)公因式。為此，教科書讓學(xué)生從簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式ab+bc中發(fā)現(xiàn)相同因式入手，由淺人深地體會(huì)如何尋找公因式，并以例題示范的形式學(xué)習(xí)用提公因式法進(jìn)行因式分解及其注意事項(xiàng)，形成基本技能。教師要啟發(fā)學(xué)生比較不同形式的因式分解，在學(xué)生充分討論交流的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)有些因式分解結(jié)果中的因式的各項(xiàng)還含有公因式，如3x+6x2，x+2x2，3+6x中分別含有公因式3x，x，3.這說(shuō)明因式分解沒有完成，要繼續(xù)提出公因式。這樣，可幫助學(xué)生主動(dòng)積累確定公因式的初步經(jīng)驗(yàn)：提出的公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)，相同字母的指數(shù)取最低次。

學(xué)習(xí)“公式法”，其關(guān)鍵是熟平方差公式，完全平方公式的式子及其特點(diǎn)。學(xué)生初學(xué)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)是如何根據(jù)一個(gè)多項(xiàng)式的形式與特點(diǎn)選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)墓健?duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，如何根據(jù)一個(gè)多項(xiàng)式的形式和特點(diǎn)靈活地選擇一個(gè)公式，往往并不容易。先從觀察多項(xiàng)式x2-25，9x2-y2入手，體驗(yàn)這些多項(xiàng)式所具有的平方差的特征，再對(duì)比乘法公式，得到因式分解的平方差公式，在這一過程中讓學(xué)生再次感受因式分解與正式乘法的關(guān)系。這是對(duì)平方差公式的再認(rèn)識(shí)，通過整式乘法的逆向變形得到進(jìn)行因式分解的方法，讓學(xué)生進(jìn)一步感受整式乘法與因式分解是互為逆變形的關(guān)系。確定多項(xiàng)式是否具備完全平方式的特征是運(yùn)用完全平方公式因式分解的關(guān)鍵，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)完全平方式的特征：兩數(shù)的平方和，加上或減去這兩數(shù)積的2倍。當(dāng)然，這里的數(shù)可以是以數(shù)、字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。為此，可以適當(dāng)增加一些與完全平方式有關(guān)的練習(xí)。

要堅(jiān)持用整式乘法幫助學(xué)生理解因式分解，培養(yǎng)學(xué)生逆向思考問題的習(xí)慣。因式分解與整式乘法之間具有互為逆過程的關(guān)系。在因式分解概念教學(xué)時(shí)，要重視運(yùn)用這種關(guān)系進(jìn)一步加深對(duì)因式分解的理解。在探索因式分解的方法的活動(dòng)中，教師要堅(jiān)持運(yùn)用這種關(guān)系更好地促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)會(huì)提公因式法因式分解與乘法分配律或單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式之間的聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)因式分解的公式法與乘法公式之間的聯(lián)系，進(jìn)一步鞏固因式分解的結(jié)論是否正確可用整式乘法或乘法公式來(lái)檢驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生逆向思考問題的習(xí)慣。

保證基本的運(yùn)算技能，避免復(fù)雜的題型訓(xùn)練。運(yùn)用提公因式法和公式法因式分解是學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的一個(gè)重要目標(biāo)。由于因式分解在后面學(xué)習(xí)分式、解一元二次方程等內(nèi)容中，還可以繼續(xù)鞏固，因此教學(xué)中要依據(jù)教科書的要求，適當(dāng)?shù)胤蛛A段進(jìn)行必要的訓(xùn)練，使學(xué)生在具備基本運(yùn)算技能的同時(shí)，能夠明白每一步的算理本章只要求在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，教學(xué)要遵循《標(biāo)準(zhǔn)》和教科書的要求教學(xué)中要避免過于煩瑣的運(yùn)算，不要過分追求題目的數(shù)量和難度。

教師教學(xué)過程中關(guān)注對(duì)因式分解理解程度的評(píng)價(jià)。對(duì)于因式分解的理解，從因式分解概念本身來(lái)看，要關(guān)注因式分解的結(jié)果是否以積的式表示，每個(gè)因式是否為整式，每個(gè)多項(xiàng)式是否在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解了;從知識(shí)的聯(lián)系來(lái)看，要關(guān)注學(xué)生是否理解因式分解與整式乘法的關(guān)系;從因式分解的價(jià)值來(lái)看，要關(guān)注能否用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，要理解因式分解是代數(shù)式恒等變形的重要手段，他的價(jià)值在后續(xù)學(xué)習(xí)中會(huì)逐步體會(huì)到。

教師教學(xué)過程中要積極評(píng)價(jià)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的思路及方法。學(xué)生要經(jīng)歷探索因式分解方法的過程，學(xué)生已有的有關(guān)因數(shù)分解和整式乘法等知識(shí)構(gòu)成了他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。評(píng)價(jià)時(shí)要考查學(xué)生能否積極主動(dòng)地從事各項(xiàng)活動(dòng)，能否運(yùn)用已有的知識(shí)方法提出新的問題并與同伴交流自己的想法、聽取他人的建議和意見等。另外，還要考查學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)的各個(gè)環(huán)節(jié)中能否有條理地進(jìn)行思考，能否準(zhǔn)確地表達(dá)整式乘法與因式分解的關(guān)系，能否根據(jù)整式乘法公式的特點(diǎn)描述因式分解所用公式的特點(diǎn)等。教師對(duì)學(xué)生想到的有效方法都應(yīng)及時(shí)予以充分的肯定。