幫你梳理“分解因式”

呂朋東

分解因式是分式約分和通分的基礎(chǔ)．復(fù)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，同學(xué)們應(yīng)注意從以下幾點(diǎn)把握．

一、分解因式的概念

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．分解因式時(shí)要注意以下三點(diǎn)．

1． 分解因式的對(duì)象是多項(xiàng)式，即等式左邊必須是多項(xiàng)式．

2． 分解因式的結(jié)果，必須是幾個(gè)整式的積的形式．例如，2x＋2y＝2x1＋

就不是分解因式．

3． 分解因式與整式乘法是互逆過(guò)程．

例1 下面從左到右的變形中是分解因式的是（）．

A． a（a2－b＋2）＝a3－ab＋2aB． a2－a－3＝a（a－1）－3

C． a2－4b2＝（a－2b）（a＋2b）D． a2－4a－7＝（a－2）2－11

解析：分解因式的結(jié)果應(yīng)是幾個(gè)整式的積的形式，由此可排除A、B、D，故應(yīng)選C．

二、提公因式法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成整式乘積的形式．這種分解因式的方法叫做提公因式法．

1． 公因式的確定

在多項(xiàng)式中，如果每一項(xiàng)都含有相同的因式，就把這個(gè)因式稱為公因式．多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式的確定應(yīng)該根據(jù)以下兩點(diǎn)．

（1） 各項(xiàng)系數(shù)為整數(shù)時(shí)，取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；（2） 對(duì)于字母，取各項(xiàng)都含有的相同字母，字母的指數(shù)取其次數(shù)最低的．

2． 提公因式的步驟

確定公因式的方法前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，提取公因式時(shí)可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一個(gè)因式．

在用提公因式法分解因式時(shí)，當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“－”號(hào)．提出“－”號(hào)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)．如果多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)與公因式相同，提公因式后，括號(hào)內(nèi)的這一項(xiàng)變?yōu)?．

例2 （2007年·太原）分解因式：a3＋a2＝ ．

解析：多項(xiàng)式原來(lái)有幾項(xiàng)，提公因式后第二個(gè)因式就應(yīng)該有幾項(xiàng)．當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)正好是該多項(xiàng)式的公因式時(shí)，提出后要用1來(lái)補(bǔ)項(xiàng)．在這里，a2是多項(xiàng)式a3＋a2的公因式，所以a3＋a2＝a2（a＋1）．

例3 （2007年·上海）分解因式：2a2－2ab＝ ．

解析：系數(shù)的最大公約數(shù)為2，對(duì)于字母，取各項(xiàng)都含有的字母a，字母的指數(shù)取其次數(shù)最低的， 所以公因式為2a．所以2a2－2ab＝2a（a－b）．

三、運(yùn)用公式法

運(yùn)用公式法分解因式，是利用某些數(shù)學(xué)公式將多項(xiàng)式分解因式．主要用到的公式有平方差公式（a2－b2＝（a＋b）（a－b））和完全平方公式（a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2）．

例4 （2007年·福州）分解因式：x2－6x＋9＝

解析：經(jīng)過(guò)觀察知，這個(gè)多項(xiàng)式可以寫成完全平方式的形式，所以可以直接用公式法分解因式．所以x2－6x＋9＝（x－3）2．

例5 （2007年·寧夏）分解因式：4x2－y2＝ ．

解析：由于4可以寫成22，所以可以先將4x2變換成（2x）2，然后再利用公式法分解因式．所以4x2－y2＝（2x）2－y2＝（2x＋y）（2x－y）．

四、選擇合適的方法分解因式

由于多項(xiàng)式的形式多種多樣，所以分解因式時(shí)要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ话憧勺裱铝胁襟E進(jìn)行．

1． 先看各項(xiàng)有無(wú)公因式，有公因式的先提取公因式．

2． 再看多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：（1） 當(dāng)多項(xiàng)式為兩項(xiàng)時(shí)，可以考慮用平方差公式分解因式；（2） 當(dāng)多項(xiàng)式為三項(xiàng)時(shí)，可以考慮用完全平方公式分解因式．

3． 要分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．

例6 （2007年·北京）把代數(shù)式ax2－4ax＋4a分解因式，正確的是（）．

A． a（x－2）2 B． a（x＋2）2 C． a（x－4）2 D． a（x＋2）（x－2）

解析：這個(gè)多項(xiàng)式有公因式a，可以先提公因式，再利用完全平方公式分解因式．所以，ax2－4ax＋4a＝a（x2－4x＋4）＝a（x－2）2，故選A．