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    分式通分策略精講

    2008-08-26 11:26:16吳行民
    關(guān)鍵詞:通分公因式同理

    吳行民

    有些分式計算題,若按照課本上介紹的方法來進行通分,往往計算量很大.這時如果能根據(jù)分式的特征,運用一定的解題技巧,??墒盏绞掳牍Ρ兜男Ч旅婢拖蛲瑢W們介紹幾種有用的通分策略.

    一、分組通分

    例1 計算:-+-.

    精講:直接通分非常繁瑣.因為(x+2)(x+3)和x(x+5)的運算結(jié)果有兩項相同,故可將第一個和第四個分式分在一組,其余分在另一組,最后通分時會給分子運算帶來較大方便.

    解:原式=[ ][-]=-

    =-.

    二、逐步通分

    例2 計算:+++.

    精講:這里的幾個分式的分母很有特點:(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x2)(1+x2)=1-x4,(1-x4)(1+x4)=1-x8.顯然,可將前兩個分式運算的結(jié)果與第三個分式再運算,再將結(jié)果與第四個分式運算.這種逐步通分的方法比統(tǒng)一通分的方法要好.

    解:原式=++=+=.

    三、拆項通分

    例3 計算:+++.

    精講:請觀察下面的運算,從中可找出應用于本題的規(guī)律來!

    +++=+++=+++=1-=.

    解:原式=+++

    =-=.

    四、整體處理再通分

    例4 計算:-a-1.

    精講:分式部分的分母與整式部分有著特殊的關(guān)系,即(a-1)(a+1)=a2-1.由此可將-a-1看作是分母為1的式子進行通分,這是捷徑.

    解:原式=-=-=.

    五、約分后再通分

    例5 計算:-+-.

    精講:先約去各個分式中分子與分母的公因式,然后再通分(注意合理分組),這樣處理比較方便.

    解:原式=-+-=-

    =-=.

    六、提取“公因式”后再通分

    例6 計算:++.

    精講:給出的三個分式均含有,因此可先提取“公因式”,然后再通分,這是妙法.

    解:原式=+-=

    =·=.

    七、和差化積后再通分

    例7 已知a+b+c=0,abc≠0,化簡++.

    精講:待化簡的式子是關(guān)于a、b、c的輪換對稱式(即用a代替b、b代替c、c代替a后,式子不變),因此對一個分式進行的化簡可類似地應用到另外的分式中.由a+b+c=0,得a=-(b+c).于是b2+c2-a2=b2+c2-(b+c)2=-2bc.同理,可得c2+a2-b2=-2ac,a2+b2-c2=-2ab.代入待化簡的式子,結(jié)果馬上得出.

    解: ∵ a+b+c=0, ∴ a=-(b+c).

    ∴ b2+c2-a2=b2+c2-(b+c)2=-2bc.

    同理,有c2+a2-b2=-2ac,a2+b2-c2=-2ab.

    ∴ 原式=++=-=0.

    總之,每道分式運算的題目都有其自身的特殊性,因而,計算時應先琢磨一下,以便發(fā)現(xiàn)最簡捷的方法.

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