基于提升直觀想象素養(yǎng)的“函數(shù)的零點”問題初探

何開應(yīng)

摘 要：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。主要包括：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

關(guān)鍵詞：直觀想象；函數(shù)的零點；分段函數(shù)

“函數(shù)的零點”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)A必修一 第三章第一節(jié)“函數(shù)與方程”中的內(nèi)容。教科書是這樣定義函數(shù)的零點：對于函數(shù) ，把使 的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點。因此，函數(shù)零點的定義中充分體現(xiàn)出直觀想象能力的要求。那么直觀想象素養(yǎng)的提升在“函數(shù)的零點”問題中有哪些體現(xiàn)呢？

一、初等函數(shù)下的“函數(shù)的零點” 問題

在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，基本初等函數(shù)有以下六個：常量函數(shù) （ 是常數(shù)）；冪函數(shù) （ 是常數(shù)）；指數(shù)函數(shù) ；對數(shù)函數(shù) ；三角函數(shù) 。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復(fù)合運算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)。那么，初等函數(shù)下的“函數(shù)的零點”是如何體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的？

（一）可求出“函數(shù)的零點”問題

例1【12湖北理-9】函數(shù) 在區(qū)間 上的零點個數(shù)為（ ）

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

【解析】令 得 ，則 或 ，

即 或 .

又 ， ，共有6個零點.故選C.

【初探一】對于可求出“函數(shù)的零點”的問題，常有兩種題型：第一，根據(jù)函數(shù)的解析式，求出方程的根與函數(shù)的零點或零點個數(shù)；第二，已知函數(shù)的零點個數(shù)，求函數(shù)解析式中的參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍。

這一問題下的直觀想象要求是：會畫基本初等函數(shù)的圖象，會根據(jù)圖象找到其與x軸交點的橫坐標(biāo)。

（二）不可求出“方程的根與函數(shù)的零點”問題

例2【13天津理-7】函數(shù) 的零點個數(shù)為（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【解析】令 得 ，

即 ，

所以函數(shù) 的零點個數(shù)

即為函數(shù) 與 圖像的交點個數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù) 與

的圖像如圖所示，易知有2個交點，

即函數(shù) 有2個零點，故選B.

【初探二】對于不可求出“函數(shù)的零點”的問題，三種題型：第一，根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷方程的根或函數(shù)的零點所在的區(qū)間；第二，根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷方程的根或函數(shù)的零點個數(shù)；第三，已知函數(shù)的零點個數(shù)，求函數(shù)解析式中的參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍。

這一問題下的直觀想象要求是：會將零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，會用變換法畫函數(shù)的圖象，會根據(jù)圖象找到交點個數(shù)。

二、分段函數(shù)下的“函數(shù)的零點” 問題

例3【12遼寧理-11】設(shè)函數(shù) 滿足 ，且當(dāng) 時， .又函數(shù) ，則函數(shù) 在 上的零點個數(shù)為（ ）

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

【解析】令 得 ，即 ，

則 在 上的零點個數(shù)等價于函數(shù) 與 的圖像在區(qū)間 上的交點個數(shù).

根據(jù)已知條件，函數(shù) 是偶函數(shù)，

且周期是2，在同一直角坐標(biāo)系中

畫出函數(shù) 與 的圖像如圖所示，

由圖可知函數(shù) 與 的圖像在區(qū)間 上的交點個數(shù)有6個，

故函數(shù) 在 上的零點個數(shù)為6個.故選B.

總之，數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，需要抽象和概括，也需要直觀和想象。通過直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成利用圖形思考問題的習(xí)慣，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺，理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律。

參考文獻(xiàn)：

[1]李霞，黃凱.以函數(shù)零點的問題為例——談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)[J].中國農(nóng)村教育，2019（20）：192.