基于算符正規(guī)乘積的拉蓋爾多項(xiàng)式與厄米多項(xiàng)式關(guān)系推導(dǎo)

萬志龍，王剛，李恒梅，黃紅云，王震

(常州工學(xué)院理學(xué)院，江蘇常州213032)

0 引言

厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式是量子物理學(xué)中的兩個(gè)非常重要的特殊函數(shù)，在量子光學(xué)、數(shù)理方程中也有廣泛應(yīng)用[1-3]。例如厄米多項(xiàng)式與量子諧振子的波函數(shù)、坐標(biāo)本征態(tài)等有關(guān)[4]，拉蓋爾多項(xiàng)式與氫原子、類氫原子和堿金屬原子體系的能級和徑向波函數(shù)有關(guān)[5]，在量子光學(xué)中，厄米多項(xiàng)式態(tài)的非經(jīng)典性質(zhì)一直是熱門的研究課題[6]。文獻(xiàn)[7]通過厄米方程和拉蓋爾方程之間的聯(lián)系，得到了厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系，但推導(dǎo)方法過于抽象，并未給出拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系，對量子力學(xué)初學(xué)者有一定難度。本文利用算符正規(guī)乘積的性質(zhì)，從算符厄米多項(xiàng)式的定義出發(fā)，推導(dǎo)出拉蓋爾多項(xiàng)式和其母函數(shù)形成、厄米多項(xiàng)式之間的關(guān)系，并且給出了拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系。此方法簡捷明了，有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí)加深對厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式的理解，幫助學(xué)生拓寬學(xué)習(xí)思路。

1 算符正規(guī)乘積性質(zhì)簡介

2 推導(dǎo)拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系式

在數(shù)學(xué)上將e2λx-λ2按λ的冪級數(shù)展開，即可得到厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)

(1)

將式(1)中的自變量x用坐標(biāo)算符X來代替，就可以得算符厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)

(2)

利用正規(guī)乘積的性質(zhì)和Baker-Hausdorff算符公式[8]，不難得到兩個(gè)有關(guān)算符厄米多項(xiàng)式的恒等式[9]

Hn(X)=∶(2X)n∶

(3)

和

Xn=(2i)-n∶Hn(iX)∶

(4)

根據(jù)數(shù)理方程泰勒級數(shù)展開理論和式(3)，容易得到

(5)

(6)

(7)

(8)

為了得到拉蓋爾多項(xiàng)式的具體形式，我們不妨采用待定系數(shù)法，將式(8)冪級數(shù)展開

(9)

其中Ln(X)為待定算符多項(xiàng)式，比較式(8)和式(9)中的tn系數(shù)，可得

(10)

再利用式(3)，得到

(11)

再將式(11)中的動(dòng)量算符X用經(jīng)典數(shù)x代替，恰好就是拉蓋爾多項(xiàng)式的原始定義式

(12)

(13)

上述推導(dǎo)過程是以厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，由此可見厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式之間必然存在某種聯(lián)系，接下來我們將利用量子力學(xué)中坐標(biāo)表象完備性關(guān)系推導(dǎo)兩者之間的關(guān)系。

3 推導(dǎo)厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系

進(jìn)一步將式(13)推廣為伴隨拉蓋爾多項(xiàng)式的母函數(shù)(推導(dǎo)過程見附錄)

(14)

(15)

t=λ，得到

(16)

(17)

(18)

比較式(18)，可得新的算符恒等式

(19)

再借助式(4)，可得

(20)

最后將式(20)中的算符iX替換成經(jīng)典數(shù)x，即可得到厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系

(21)

可以看出，這樣可以非常方便快捷地推導(dǎo)出厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系。

4 推導(dǎo)拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系

利用算符恒等式H2n(X)=22n∶X2n∶，將其代入式(21)即可得到式(19)的反演形式

(22)

再次利用坐標(biāo)表象完備性和有序算符內(nèi)的積分技術(shù)可得

(23)

另一方面，利用式(14)可得

(24)

聯(lián)立式(23)和式(24)可得

(25)

再將式(25)左邊進(jìn)行冪級數(shù)展開得到

(26)

比較式(26)中兩邊tn的系數(shù)得到

(27)

將式(27)與式(22)結(jié)合，可得算符拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系

(28)

最后將算符用經(jīng)典數(shù)取代，即可得到拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系

(29)

由此可見，利用算符多項(xiàng)式方法，可以方便地討論厄米多項(xiàng)式函數(shù)和拉蓋爾多項(xiàng)式函數(shù)的性質(zhì)。

5 結(jié)論

本文從厄米多項(xiàng)式的原始定義出發(fā)，利用算符正規(guī)乘積的性質(zhì)，借助坐標(biāo)表象完備性和有序算符內(nèi)的積分技術(shù)，簡潔明了地推導(dǎo)出了拉蓋爾多項(xiàng)式，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步導(dǎo)出了厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系和拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系。另外，利用量子力學(xué)中的表象完備性，也可以將一些特殊的算符表達(dá)式展開成厄米多項(xiàng)式或拉蓋爾多項(xiàng)式，從而得到一些新的公式。

附錄：推導(dǎo)伴隨拉蓋爾多項(xiàng)式

利用式(3)得

(30)

(31)

(32)

再將式(32)左邊以zn展開，可得

(33)

比較式(32)和式(33)中zn的系數(shù)，可得

(34)

再利用算符厄米多項(xiàng)式恒等式(3)，得到

(35)

即可得到伴隨拉蓋爾多項(xiàng)式的定義式

(36)