萬志龍,王剛,李恒梅,黃紅云,王震
(常州工學(xué)院理學(xué)院,江蘇常州213032)
厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式是量子物理學(xué)中的兩個(gè)非常重要的特殊函數(shù),在量子光學(xué)、數(shù)理方程中也有廣泛應(yīng)用[1-3]。例如厄米多項(xiàng)式與量子諧振子的波函數(shù)、坐標(biāo)本征態(tài)等有關(guān)[4],拉蓋爾多項(xiàng)式與氫原子、類氫原子和堿金屬原子體系的能級和徑向波函數(shù)有關(guān)[5],在量子光學(xué)中,厄米多項(xiàng)式態(tài)的非經(jīng)典性質(zhì)一直是熱門的研究課題[6]。文獻(xiàn)[7]通過厄米方程和拉蓋爾方程之間的聯(lián)系,得到了厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系,但推導(dǎo)方法過于抽象,并未給出拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系,對量子力學(xué)初學(xué)者有一定難度。本文利用算符正規(guī)乘積的性質(zhì),從算符厄米多項(xiàng)式的定義出發(fā),推導(dǎo)出拉蓋爾多項(xiàng)式和其母函數(shù)形成、厄米多項(xiàng)式之間的關(guān)系,并且給出了拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系。此方法簡捷明了,有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí)加深對厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式的理解,幫助學(xué)生拓寬學(xué)習(xí)思路。
在數(shù)學(xué)上將e2λx-λ2按λ的冪級數(shù)展開,即可得到厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)
(1)
將式(1)中的自變量x用坐標(biāo)算符X來代替,就可以得算符厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)
(2)
利用正規(guī)乘積的性質(zhì)和Baker-Hausdorff算符公式[8],不難得到兩個(gè)有關(guān)算符厄米多項(xiàng)式的恒等式[9]
Hn(X)=∶(2X)n∶
(3)
和
Xn=(2i)-n∶Hn(iX)∶
(4)
根據(jù)數(shù)理方程泰勒級數(shù)展開理論和式(3),容易得到
(5)
(6)
(7)
(8)
為了得到拉蓋爾多項(xiàng)式的具體形式,我們不妨采用待定系數(shù)法,將式(8)冪級數(shù)展開
(9)
其中Ln(X)為待定算符多項(xiàng)式,比較式(8)和式(9)中的tn系數(shù),可得
(10)
再利用式(3),得到
(11)
再將式(11)中的動(dòng)量算符X用經(jīng)典數(shù)x代替,恰好就是拉蓋爾多項(xiàng)式的原始定義式
(12)
(13)
上述推導(dǎo)過程是以厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)為出發(fā)點(diǎn),由此可見厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式之間必然存在某種聯(lián)系,接下來我們將利用量子力學(xué)中坐標(biāo)表象完備性關(guān)系推導(dǎo)兩者之間的關(guān)系。
進(jìn)一步將式(13)推廣為伴隨拉蓋爾多項(xiàng)式的母函數(shù)(推導(dǎo)過程見附錄)
(14)
(15)
t=λ,得到
(16)
(17)
(18)
比較式(18),可得新的算符恒等式
(19)
再借助式(4),可得
(20)
最后將式(20)中的算符iX替換成經(jīng)典數(shù)x,即可得到厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系
(21)
可以看出,這樣可以非常方便快捷地推導(dǎo)出厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系。
利用算符恒等式H2n(X)=22n∶X2n∶,將其代入式(21)即可得到式(19)的反演形式
(22)
再次利用坐標(biāo)表象完備性和有序算符內(nèi)的積分技術(shù)可得
(23)
另一方面,利用式(14)可得
(24)
聯(lián)立式(23)和式(24)可得
(25)
再將式(25)左邊進(jìn)行冪級數(shù)展開得到
(26)
比較式(26)中兩邊tn的系數(shù)得到
(27)
將式(27)與式(22)結(jié)合,可得算符拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系
(28)
最后將算符用經(jīng)典數(shù)取代,即可得到拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系
(29)
由此可見,利用算符多項(xiàng)式方法,可以方便地討論厄米多項(xiàng)式函數(shù)和拉蓋爾多項(xiàng)式函數(shù)的性質(zhì)。
本文從厄米多項(xiàng)式的原始定義出發(fā),利用算符正規(guī)乘積的性質(zhì),借助坐標(biāo)表象完備性和有序算符內(nèi)的積分技術(shù),簡潔明了地推導(dǎo)出了拉蓋爾多項(xiàng)式,在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步導(dǎo)出了厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系和拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系。另外,利用量子力學(xué)中的表象完備性,也可以將一些特殊的算符表達(dá)式展開成厄米多項(xiàng)式或拉蓋爾多項(xiàng)式,從而得到一些新的公式。
附錄:推導(dǎo)伴隨拉蓋爾多項(xiàng)式
利用式(3)得
(30)
(31)
(32)
再將式(32)左邊以zn展開,可得
(33)
比較式(32)和式(33)中zn的系數(shù),可得
(34)
再利用算符厄米多項(xiàng)式恒等式(3),得到
(35)
即可得到伴隨拉蓋爾多項(xiàng)式的定義式
(36)