數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

郝敬軍

【摘要】作為初中數(shù)學(xué)最基本最重要的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)學(xué)結(jié)合思想有著自身鮮明的特征和優(yōu)勢，在解題中有著重要的應(yīng)用，一線教師應(yīng)給予其足夠的重視，并在教學(xué)實(shí)踐中積極探索和總結(jié)其應(yīng)用規(guī)律。本文結(jié)合典型題例簡要探討了數(shù)形結(jié)合思想分別在“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”中的應(yīng)用，冀對相關(guān)教學(xué)工作者有所助益。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);解題應(yīng)用;教學(xué)心得

我國大數(shù)學(xué)家華羅庚曾一針見血地指出：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！弊鳛閿?shù)學(xué)兩個最基礎(chǔ)的概念，“數(shù)”和“形”對立而又統(tǒng)一。所謂數(shù)形結(jié)合，概括地說即為按照數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來達(dá)到問題的順利解決，其作用和優(yōu)勢主要表現(xiàn)在通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”來簡化思維量和運(yùn)算量較大的問題，從而大大提高解題效率和正確率。新課改將義務(wù)教育階段各學(xué)段的課程內(nèi)容分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個基本部分[1]，除綜合與實(shí)踐活動外，數(shù)學(xué)結(jié)合思想在其他三個部分中均有重要的應(yīng)用，以下擬結(jié)合題例對此展開較為系統(tǒng)的探討，冀對相關(guān)教學(xué)工作者有所助益。

一、數(shù)形結(jié)合在“數(shù)與代數(shù)”中的應(yīng)用

大體而言，初中學(xué)段涉及數(shù)形結(jié)合的“數(shù)與代數(shù)”問題，可以分為數(shù)軸問題與函數(shù)問題兩個基本范疇。前者常見的情況有借助數(shù)軸處理相反數(shù)和絕對值問題，有理數(shù)的分類、大小比較、加法運(yùn)算問題，不等式解集問題等，該類問題一般都較簡單，關(guān)鍵是抓住實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，借助數(shù)軸彰顯數(shù)學(xué)關(guān)系。而后者相對來說則遠(yuǎn)為復(fù)雜，這主要是因?yàn)楹瘮?shù)本身即為初中階段的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，且其往往與方程、不等式甚至幾何知識綜合在一起命題，變化復(fù)雜而多樣，對數(shù)學(xué)結(jié)合能力要求較高。解答這類問題的關(guān)鍵是將抽象的代數(shù)問題圖形化，挖掘隱含信息，理清條件關(guān)系，并和坐標(biāo)系圖形進(jìn)行正確對應(yīng)。例如，在圖1所示的坐標(biāo)系中，直線x=1是與x軸交于A、B兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c的對稱軸，線段AB=4，P是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，直線AP與y軸交于點(diǎn)D，與對稱軸交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是t，試求：①點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線的表達(dá)式;②當(dāng)AE與EP的長度之比為1比2時，點(diǎn)E的坐標(biāo);③若M為拋物線頂點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)為C，t為多少時四邊形CDEM是等腰梯形？

該題第一問很簡單，根據(jù)已知易求得拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x+3，第二問和第三問涉及幾何知識，有一定難度，需要結(jié)合圖形認(rèn)真分析，并通過作輔助線（如圖2所示）彰顯和利用隱含信息。第二問的解答過程大體為：由EG平行于PF，AE與EP的長度之比為1比2可知AG/AF=EG/PF=，又因AG長度為2，故有AF長度為6，點(diǎn)F坐標(biāo)為（5，0），當(dāng)x=5時，y=12，所以EG=4，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）。第三問的解答過程為：由CD平行于EM可知∠ADO=∠AEM，又因四邊形CDEM是等腰梯形，所以有∠ADO=∠CME，則∠ADO∠CME。易知C（0，-3），M（1，-4），則有tan∠DAO=tan∠CME=1，所以O(shè)A=OD=1，所以直線AP的解析式為y=x+1，將其代入拋物線解析式得到x+1=y=x2+2x+3，解得x=4或x=-1（舍去），最終得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即t的值為4.

二、數(shù)形結(jié)合在“空間與圖形”中的應(yīng)用

如果說“數(shù)與代數(shù)”中運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的關(guān)鍵在于代數(shù)關(guān)系圖形化，那么“空間與圖形”中的數(shù)學(xué)結(jié)合則與之相對應(yīng)，即利用圖形彰顯代數(shù)關(guān)系或幾何數(shù)量關(guān)系。進(jìn)一步而言，需要在吃透題意的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)學(xué)關(guān)系或通過構(gòu)造圖形彰顯數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而合理利用最終使問題得到解決。在空間與圖形知識部分，不論是計(jì)算題還是證明題，都不會脫離這一基本思路。毫無疑問，自主構(gòu)造圖形的情況難度更大，對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想的能力要求更高。我們來看一道簡單而較為典型的題例。

我國古人曾利用弦圖法成功證明勾股定理，即利用四個完全相同的直角三角形拼湊成一個正方形加以證明，你能想到證明過程嗎？

該題雖然簡單，但如果數(shù)形結(jié)合的敏感度不夠往往會感到無從下手，雖然題目已給了明確的提示，即利用四個完全相同的直角三角形拼湊成一個正方形，但解題者不僅需要確定如何拼湊，更要能發(fā)現(xiàn)和利用圖形中的相應(yīng)數(shù)量關(guān)系來加以證明，這屬于典型的通過構(gòu)造圖形彰顯數(shù)學(xué)關(guān)系的情況，考查的是深層次的數(shù)形結(jié)合能力。第一步，首先設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c，然后畫出四個直角三角形拼成一個正方形的示意圖，見圖3。

接下來就需要以圖形為載體，尋找等量關(guān)系列出代數(shù)式，通過變形來得到a2+b2=c2，思路是較為明確的，同時也不難想到，可以利用正方形的面積等于四個直角三角形之和來計(jì)算：一方面S正方形ABCD=c2;另一方面S正方形ABCD=4S三角形ABH+S正方形EFGH= 4×ab+（a-b）2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2，故a2+b2=c2。

三、數(shù)形結(jié)合在“統(tǒng)計(jì)與概率”中的應(yīng)用

初中階段的統(tǒng)計(jì)與概率屬于基本層面，主要是為高中階段的深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，但其固有的抽象性和邏輯性對于正從形象性思維向經(jīng)驗(yàn)型抽象思維過渡的初中生來說仍具一定難度。這種情況下，數(shù)形結(jié)合的直觀性優(yōu)勢便得以彰顯。通常來說，當(dāng)問題事件中的元素大于或等于3時，通過畫樹狀圖的方式可以達(dá)到化抽象為形象，大大減少思維量從而提升解題效率和正確率。如下題。

某家庭有三個孩子，求：（1）3個孩子均為男孩的概率;（2）三個孩子中2個男孩1個女孩的概率;（3）3個孩子中至少一個為男孩的概率。

根據(jù)題意畫出樹狀圖如圖4。

基于該圖可以很容易看出每種情況的概率：P（3男）=;P（2男1女）=;P（至少1男）=。

綜上所述，本文結(jié)合題例簡要探討了數(shù)形結(jié)合思想分別在“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”中的應(yīng)用。作為初中數(shù)學(xué)最基本最重要的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)學(xué)結(jié)合思想有著自身鮮明的特征和優(yōu)勢，在解題中有著重要的應(yīng)用，一線教師應(yīng)給予其足夠重視，并在教學(xué)實(shí)踐中積極探索和總結(jié)其應(yīng)用規(guī)律。本文拋磚引玉，尚盼同仁指教。

【參考文獻(xiàn)】

[1]義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].中華人民共和國教育部，2017.