高考模擬題中的“廣義組合數(shù)”

上海市七寶中學(xué)(201101) 李佳偉

1 試題呈現(xiàn)

試題(2016年上海市普陀區(qū)高三數(shù)學(xué)理科二模卷第14題)已知n∈??，從集合{1,2,3,···,n}中選出k(k∈N,k≥2)個(gè)數(shù)j1,j2,···,jk，使之同時(shí)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：

①1≤j1＜j2＜···＜jk≤n;

②ji+1-ji≥m(i=1,2,···,k-1)，則稱(chēng)數(shù)組(j1,j2,···,jk)為從n個(gè)元素中選出k個(gè)元素且限距為m的組合，其組合數(shù)記為例如根據(jù)集合{1,2,3}可得給定集合{1,2,3,4,5,6,7}，可得=____.

本題是一道創(chuàng)新題，考查的是對(duì)于新定義的理解.我們從組合數(shù)的定義看到，其含義是在n個(gè)元素中任意選取k個(gè)元素，并且任意兩個(gè)元素之差大于等于m.如果m=1，即ji+1-ji≥1(i=1,2,···,k-1)，則就是通常意義下的組合數(shù)也就是說(shuō)因此我們不妨把組合數(shù)稱(chēng)為“廣義組合數(shù)”.那么，我們?nèi)绾稳ニ伎歼@個(gè)問(wèn)題呢?筆者經(jīng)過(guò)一番研究，得出了幾種解法，下面分享給大家.

2 試題的解法探究

解法一(枚舉法)這里m=2，因此任意兩個(gè)元素之差不小于2，易得如下組合：(1,3,5)，(1,3,6)，(1,3,7)，(1,4,6)，(1,4,7)，(1,5,7)，(2,4,6)，(2,4,7)，(2,5,7)，(3,5,7)總共10種組合，因此

枚舉法的優(yōu)點(diǎn)就在于思維量小，操作簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)在于容易重復(fù)和遺漏.那我們?cè)囍鴮で笃渌夥?

解法二由于任意兩個(gè)元素之差不小于2，因此C(3,2)7就是相當(dāng)于在1,2,3,4,5,6,7這7個(gè)數(shù)中選取3個(gè)不相鄰的數(shù)的方法數(shù).由于1≤j1＜j2＜j3≤7取自1,2,3,4,5,6,7，若j1,j2,j3互不相鄰，則1≤j1＜j2-1＜j3-2≤5，由此可知從1,2,3,4,5,6,7中取3個(gè)互不相鄰的數(shù)的選法與從1,2,3,4,5中選取3個(gè)不同的數(shù)的選法相同，即種.

解法三令j1=x1，j2-j1=x2，j3-j2=x3，則x1≥1，x2,x3≥2，x1+x2+x3=j3≤7，因此，原題可以轉(zhuǎn)化為如下問(wèn)題：

求x1+x2+x3=5，x1+x2+x3=6，x1+x2+x3=7這三個(gè)不定方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)之和，其中x1≥1，x2,x3≥2.為此，我們運(yùn)用下列定理：

定理1不定方程x1+x2+···+xn=r的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

定理的證明見(jiàn)[1].

由于x1≥1，x2,x3≥2，我們作變量替換：y1=x1-1，y2=x2-2，y3=x3-2，則原問(wèn)題又可以轉(zhuǎn)化為求y1+y2+y3=0，y1+y2+y3=1，y1+y2+y3=2這三個(gè)不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)之和.根據(jù)定理1易得

3 結(jié)論推廣

其中x1≥1，x2,x3,···，xk≥m，m(k-1)+1≤n，再令y1=x1-1，y2=x2-m，y3=x3-m，···，yk=xk-m，則計(jì)算的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求不定方程y1+y2+···+yk=0，y1+y2+···+yk=1，···，y1+y2+···+yk=n-mk+m-1的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)之和.根據(jù)定理1以及Pascal恒等式得：

結(jié)論總結(jié)：當(dāng)m∈??，且m(k-1)+1≤n，則

4 進(jìn)一步探究

我們知道，通常意義下的組合數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，筆者想，廣義組合數(shù)是否也有類(lèi)似的性質(zhì)呢?也就是說(shuō)，通常意義下的組合數(shù)性質(zhì)哪些是可以推廣到廣義組合數(shù)的呢?下面我們一起來(lái)探究.

性質(zhì)1其中m∈??，且m(k-1)+1≤n.

證明由得：

性質(zhì)2

證明左邊==右邊.

性質(zhì)3若n≥3，當(dāng)n為奇數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)，

證明當(dāng)n為奇數(shù)，

廣義組合數(shù)還有許多其他的性質(zhì)，有興趣的讀者不妨做進(jìn)一步探究.