化歸思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的四種策略探析

姬梁飛

摘 ? 要：知識(shí)是思想的載體，思想是知識(shí)的精髓?；瘹w思想是知識(shí)轉(zhuǎn)為能力的橋梁，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論內(nèi)部固有的規(guī)律，反映了人類對(duì)其本質(zhì)認(rèn)識(shí)的一般觀點(diǎn)。從函數(shù)微分、幾何代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、建模探究等四大領(lǐng)域探析化歸思想的應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);化歸思想方法;解題策略

中圖分類號(hào)：G633.6 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1009-010X（2019）35-0020-04

化歸思想方法是數(shù)學(xué)基本思想方法之一，是數(shù)學(xué)思想文化中的精髓部分。函數(shù)微分中的變量運(yùn)動(dòng)變化，代數(shù)幾何中的數(shù)形互化，概率統(tǒng)計(jì)中的現(xiàn)象與本質(zhì)、隨機(jī)性與可知性、偶然性與必然性的矛盾運(yùn)動(dòng)，建模探究中的現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化歸結(jié)等，這些無不體現(xiàn)了化歸思想。《九章算術(shù)》將現(xiàn)實(shí)問題化歸為數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了生活情境問題的數(shù)學(xué)化，并建立一種模型來解決同一類的問題;《文心雕龍》中言道，事類者，蓋文章之外;據(jù)事以類義，援古以證今者也。人們常常需要借用已經(jīng)解決的事情來說明新的事情或道理，即援古證今。因此，化歸是人類思考問題、解決問題的一種基本方法，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到了普遍性的應(yīng)用，更是在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，本文就從高中數(shù)學(xué)五大知識(shí)領(lǐng)域來探討化歸思想方法的應(yīng)用情形與策略。

一、化歸在函數(shù)微分中的應(yīng)用策略：援古證今

化歸思想在函數(shù)與微分領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。現(xiàn)實(shí)世界有許多運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象，是通過函數(shù)來刻畫其運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。例如，在三角函數(shù)領(lǐng)域，為了研究自然界周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的自然規(guī)律，借助角度量的兩種不同單位制間的轉(zhuǎn)換，將角度制向弧度制轉(zhuǎn)化，建立了角度跟實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。借助單位圓和有向線段的媒介，將角度與坐標(biāo)系建立了緊密聯(lián)系，從而有了三角函數(shù)圖象。這些轉(zhuǎn)換意識(shí)也是人類在數(shù)學(xué)史上的偉大創(chuàng)舉。此外，三角函數(shù)的弦與切互化，積化和差、和差化積的恒等變換，倍角公式、半角公式的結(jié)構(gòu)形式的變換，這些均為異角之間的弦切關(guān)系建立了紐帶。通過對(duì)三角函數(shù)中某個(gè)圖象的翻折、平移、對(duì)稱等變換操作，可為它們的圖象之間建立某種關(guān)聯(lián)。在初等微分領(lǐng)域中，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，可將復(fù)雜繁瑣的高次方程、不等式等轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，實(shí)現(xiàn)援古證今的推理過程。

例1.已知函數(shù)f（x）=■x3-x2+3x+1.若函數(shù)y=3f（x）的圖象與函數(shù)y=f′（x）+7x+a的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：f′（x）=x2-2x+3則y=f′（x）+7x+a=x2+5x+3+a.令3f（x）=f′（x）+7x+a即x3-3x2+9x+3=x2+5x+3+a.構(gòu)造新函數(shù)F（x）=x3-4x2+4x-a.則F′（x）=4x2+3x2-8x+4=（x-2）（3x-2）.令F′（x）=0，得x=2或x=■.

命極大值F（■）=■-a>0，極小值F（2）=-a<0.故a∈（0，■）.

在研究函數(shù)性質(zhì)的過程中，可運(yùn)用的具體化歸策略，包括特殊化策略、等價(jià)轉(zhuǎn)化策略、局部與整體策略、反客為主策略、逆向思維策略、正難則反策略、以退為進(jìn)策略等。具體的化歸方法有換元法、拼湊法、消元法、配方法、反證法、反例法、構(gòu)造法、比較法、窮舉法、判別式法、變量代換法、分離參數(shù)法、待定系數(shù)法等。

例2.已知f（■）=x+2■+9求函數(shù)f（x）的最小值。解析：含有根式的函數(shù)，可以借助化歸方法將其轉(zhuǎn)換為比較熟悉的二次函數(shù)。令■=t，則x=t2+1，t≥0得f（t）=t2+2t+10≥0.所以函數(shù)f（x）=（x+1）2+9，最小值為f（0）=10.拼湊法：f（■）=（■）2+2■+10）.

二、在幾何代數(shù)中的應(yīng)用策略：映射反演

在幾何領(lǐng)域，演繹推理是研究幾何學(xué)的常規(guī)方法，而演繹推理又離不開化歸方法?；瘹w思想方法普遍應(yīng)用于立體幾何和解析幾何。在立體幾何中，通過化歸方法可以對(duì)立體幾何中的點(diǎn)、線、面等研究對(duì)象的位置關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化。面面平行和面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面平行和線面垂直問題，線面平行和線面垂直問題可轉(zhuǎn)化為線線平行和線線垂直問題。在解析幾何中，采用化歸方法可將圖形與數(shù)量建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，并使之相互轉(zhuǎn)化。徐利治教授曾提出了經(jīng)典的RMI法，利用映射反演的原則，建立映射關(guān)系，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換容易問題。在解析幾何中，利用坐標(biāo)媒介，把幾何問題映射為代數(shù)問題，再用代數(shù)結(jié)論反演幾何問題。采用數(shù)量精確性的優(yōu)勢(shì)研究幾何問題，用幾何直觀性的優(yōu)勢(shì)研究代數(shù)問題。比如，二元一次方程組的解與直線的交點(diǎn)問題，圓錐曲線與二元二次方程問題，普通方程與極坐標(biāo)方程的互化問題，解析幾何中的動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)最值問題等。

例3.已知橢圓■+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右焦點(diǎn)，過F2的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N，是否存在△MNF1，使得其內(nèi)切圓面積最大，若存在，求其最大內(nèi)切圓半徑。解析：由題意，F(xiàn)2（1，0），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線l斜率不為零，設(shè)直線l的方程為x=ky+1.聯(lián)立橢圓方程與直線方程，消元得（k2+2）y2+2ky-1=0，△=4（k2+2）>0.由方程根與系數(shù)關(guān)系，y1+y2=■，y1y2=■.S△MNF2=■F1F2y1-y2=y1-y2=■.令u=■，u≥1，所以S△MNF2=■=■.設(shè)g（u）=u+■，u≥1.則g（u）=1-■=■≥0，即g（u）在（u，+∞）是增函數(shù)，g（u）≥g（1）=2.故S△MNF2≤■若u=1，即k=0時(shí)，Smax=■設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，又因?yàn)镾△MNF1=■r（MF1+MF2+NF1+NF2）=2■r.令2■r=■，則r=■.故存在這樣的直線，即r=1時(shí)，使得△MNF2的內(nèi)切圓半徑最大，此時(shí) r=■.本例就采用了代數(shù)方法解決解析幾何中的最值問題。

在代數(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等思維活動(dòng)都離不開化歸方法。在數(shù)學(xué)抽象方面，將現(xiàn)實(shí)情境中的實(shí)物概念抽象為數(shù)學(xué)概念，把具體問題高度概括為數(shù)學(xué)問題，沒有化歸思想的應(yīng)用簡直不可想象。化歸思想通過高度抽象，抓住事物的本質(zhì)特征，實(shí)現(xiàn)以簡馭繁、以質(zhì)代象的過渡功能。在邏輯推理方面，不論是從一般到特殊的推理，還是從特殊到一般的推理，都要有化歸方法作為媒介。在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面，公式的化簡、方程的降冪、不等式的求解，算式之間的恒等變形等都要依賴于化歸方法。例如，等差數(shù)列的累加法，等比數(shù)列的累乘法、迭代法，數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、分解組合、倒序相加等。特別地，向量是近代數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)偉大發(fā)明，集幾何與代數(shù)于一身，是打通幾何、代數(shù)與函數(shù)的一個(gè)重要工具，也是化歸思想在形與數(shù)之間轉(zhuǎn)換的重要體現(xiàn)。所以，在一定條件下，幾何與代數(shù)、數(shù)與形可以進(jìn)行互化，幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化，其中互化的工具就是化歸方法。

三、在概率與統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用策略：化隱為顯

在人類和大自然的相處中，面對(duì)自然界的風(fēng)云變幻，人類積累了許多關(guān)于天文星相、地理氣候的知識(shí)，這些知識(shí)蘊(yùn)藏了概率與統(tǒng)計(jì)理論的雛形。隨著人類對(duì)天文地理研究的深入，自覺地以概率為基礎(chǔ)，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并利用統(tǒng)計(jì)分析對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象作出符合規(guī)律的解釋，并作出預(yù)測(cè)。

例4.已知某加工廠至多安裝三臺(tái)機(jī)器，在過去若干年間，該加工廠的進(jìn)貨量都在40萬件以上，超過120萬件的月份有5個(gè)，不超過120萬件且不少于80萬件的月份有35個(gè)，少于80萬件的月份有10個(gè)。加工廠安裝的機(jī)器最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受進(jìn)貨量n限制，當(dāng)40120時(shí)，機(jī)器運(yùn)行3臺(tái)。若某臺(tái)機(jī)器正常運(yùn)行，那么這臺(tái)機(jī)器月利潤為5000萬元，若某臺(tái)機(jī)器未運(yùn)行，那么這臺(tái)機(jī)器會(huì)折舊虧損800萬元，問欲使加工廠月利潤均值達(dá)到最大，則應(yīng)安裝機(jī)器幾臺(tái)？

解析：將上述月進(jìn)貨量在三段的頻率作為對(duì)應(yīng)段的概率，假設(shè)每月進(jìn)貨量相互獨(dú)立。那么欲求這個(gè)加工廠總利潤均值的最大值，需要將現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)情境，將隱性條件轉(zhuǎn)化顯性條件，并進(jìn)行簡化討論才行，記年總利潤為W，按照加工廠安裝機(jī)器的臺(tái)數(shù)進(jìn)行逐一轉(zhuǎn)化：①當(dāng)加工廠安裝一臺(tái)機(jī)器時(shí)，因?yàn)閚恒大于40，這臺(tái)機(jī)器正常運(yùn)行概率為1，對(duì)應(yīng)的W=5000故均值利潤為E（W）=1×5000=5000.②當(dāng)加工廠安裝兩臺(tái)機(jī)器時(shí)，若月進(jìn)貨量在n≥80時(shí)，此時(shí)有兩臺(tái)機(jī)器運(yùn)行，對(duì)應(yīng)的W=5000×2=10000，概率P（W=10000）=■=0.8;若進(jìn)貨量在40120時(shí)，此時(shí)有三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，對(duì)應(yīng)的W=15000，概率P（W=15000）=■=0.1;若月進(jìn)貨量在80≤n≤120時(shí)，此時(shí)有兩臺(tái)運(yùn)行，對(duì)應(yīng)的W=9200，概率P（W=9200）=0.7;若月進(jìn)貨量在40

早期的概率通過游戲、試驗(yàn)以及觀察等方式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以此來估算隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。根據(jù)試驗(yàn)出現(xiàn)的有限與無限，概率分為古典概型和幾何概型。古典概型將概率的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理、排列與組合等方式的運(yùn)算。幾何概型將概率的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何度量（長度、面積、體積等）的運(yùn)算。在統(tǒng)計(jì)分析中，隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，利用列聯(lián)表、散點(diǎn)圖、微積分、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象。

四、建模探究中的應(yīng)用策略：以數(shù)明理

現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)就在于生活情境與數(shù)學(xué)原理具有相通性，借助同義轉(zhuǎn)換、意義建構(gòu)、表征規(guī)范等手段可將情境問題數(shù)學(xué)化，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題之間的相互轉(zhuǎn)化。化歸的實(shí)施依賴于數(shù)學(xué)問題的等價(jià)性、數(shù)學(xué)形式的可變性、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的規(guī)范性以及數(shù)學(xué)要素的關(guān)聯(lián)性。在情境問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題的過程中，需要引入某些合理的輔助元素，適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)，需要具備系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，靈活的數(shù)學(xué)思維。建模探究需要關(guān)注方案與思路的獲得。波利亞認(rèn)為，教師能為學(xué)生所做的最好的事情就是通過不顯眼的幫助，引導(dǎo)學(xué)生獲得一個(gè)好的思路，一個(gè)好的解決問題的方案。首先，需要將情境問題化歸為規(guī)范的、熟悉的數(shù)學(xué)問題，建構(gòu)具有一般意義的化歸目標(biāo)。其次，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換、嫁接、遷移、變更等操作，建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)從復(fù)雜到簡單、從抽象到具體、從陌生到熟悉、從雜亂到條理的轉(zhuǎn)化。最后，將探究結(jié)果回歸生活，回歸現(xiàn)實(shí)，給予數(shù)學(xué)意義上的解釋、評(píng)價(jià)。

例5.假定有50萬本金，現(xiàn)將這筆本金進(jìn)行短期投資，貨幣市場(chǎng)有3種投資形式，請(qǐng)給出你的選擇。理財(cái)產(chǎn)品1號(hào)：每天獲利50元;理財(cái)產(chǎn)品2號(hào)：第一天獲利5元，以后每天比前一天多獲利15元;理財(cái)產(chǎn)品3號(hào)：第一天獲利0.4元，以后每天獲利是前一天的2倍。

解析：先將理財(cái)情境轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)情境，建立三種投資方案適用的函數(shù)模型，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理，為合理選擇投資方案提供具體數(shù)據(jù)支撐。產(chǎn)品1號(hào)是一個(gè)常函數(shù)模型，即y=50，x∈N*;產(chǎn)品2號(hào)是一個(gè)一次函數(shù)模型，即y=15x-10，x∈N*;產(chǎn)品3號(hào)是一個(gè)指數(shù)型函數(shù)模型，即y=0.4×2x-1，x∈N*.

通過比較可知，如果投資不超過6天，購買1號(hào)產(chǎn)品;如果投資不超過11天，購買2號(hào)產(chǎn)品;如果投資12天及以上，購買3號(hào)產(chǎn)品。本例是生活中常見的投資理財(cái)問題，將投資產(chǎn)品的收益問題類化為幾個(gè)函數(shù)模型的增長問題。通過對(duì)幾個(gè)不同類型函數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解，感知不同函數(shù)模型的增長變化速度，從而選擇合理的投資方案。布魯納認(rèn)為，最好的學(xué)習(xí)方法是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程離不開獲得、轉(zhuǎn)化與評(píng)價(jià)，化歸方法的應(yīng)用就是一個(gè)發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要載體?；瘹w方法在數(shù)學(xué)建模和探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中有廣泛的應(yīng)用，所以借助化歸可以把生活中遇到的新問題轉(zhuǎn)換為熟悉的、相對(duì)簡明的數(shù)學(xué)問題。

綜上所述，從認(rèn)識(shí)論角度，化歸思想是人類根據(jù)事物普遍聯(lián)系和矛盾運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的眼光認(rèn)識(shí)世界。從方法論角度，化歸思想是改造世界的一種重要方法，其本質(zhì)屬性是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)，把陌生復(fù)雜的情境問題轉(zhuǎn)化為熟悉簡單的情形，并利用已有的成果或相對(duì)容易解決的辦法，將其歸結(jié)為相對(duì)簡明的模型加以解決。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理地將情景問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的互化，從而提高學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]錢佩玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2017：18.

[2]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983：24-27.

[3]波利亞（美）.涂 ? 泓，馮承天譯.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011：5-6.

[4]施良方.學(xué)習(xí)論[M].北京：人民教育出版杜，1996：180.