初高中銜接之絕對(duì)值的教與思

宋彥鋒

絕對(duì)值銜接起初中與高中數(shù)學(xué)，是高中數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容。初中要求學(xué)生理解絕對(duì)值的含義以及簡(jiǎn)單的計(jì)算，相對(duì)容易;到了高中，絕對(duì)值的考查常常與函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系在一起，對(duì)于剛剛踏入高中校門的學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)難度還是比較大的。這一部分若沒(méi)有專門專項(xiàng)的講解和練習(xí)，直接和函數(shù)結(jié)合做題往往會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏難心理。為了更好地實(shí)現(xiàn)初高中的銜接，本校教師編著了《初高中銜接教材》，并將絕對(duì)值作為第一講《數(shù)與式的運(yùn)算》的第一部分內(nèi)容，利用暑假的時(shí)間，通過(guò)YY課堂和微信公眾號(hào)，專講專練，激發(fā)興趣、增強(qiáng)信心，使高一新生盡快適應(yīng)高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同時(shí)提升解題能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文以《絕對(duì)值》一課為例，談?wù)勛髡咴阢暯咏虒W(xué)中的點(diǎn)滴感悟。

一、復(fù)習(xí)絕對(duì)值的意義，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的銜接

高中階段的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)很多，有些也比較抽象，在銜接教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的識(shí)別和理解能力至關(guān)重要。因此，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的銜接是整個(gè)銜接過(guò)程的第一步，將絕對(duì)值的代數(shù)意義的文字語(yǔ)言歸納為符號(hào)語(yǔ)言，即

這既體現(xiàn)了分類與整合的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也突出了解決絕對(duì)值問(wèn)題的關(guān)鍵：去絕對(duì)值，將含有絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的問(wèn)題。絕對(duì)值的幾何意義即一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。如，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即

同樣類比可得表示在數(shù)軸上數(shù)和數(shù)之間的距離。

二、各項(xiàng)突破，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的銜接

高中數(shù)學(xué)教材人教A版選修4-5是不等式選講部分，第一章的第二節(jié)的內(nèi)容即為絕對(duì)值不等式，除此之外，高中課本中并沒(méi)有對(duì)絕對(duì)值問(wèn)題專門的研究和探討，但含絕對(duì)值的方程、函數(shù)、不等式在高中學(xué)習(xí)中仍是經(jīng)常出現(xiàn)的考點(diǎn)，作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在銜接教學(xué)過(guò)程中，從簡(jiǎn)單的函數(shù)和方程入手，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)含絕對(duì)值問(wèn)題的解決辦法，實(shí)現(xiàn)內(nèi)容的銜接以及核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

1.含一個(gè)絕對(duì)值問(wèn)題

例1：探究：與的區(qū)別與聯(lián)系

（1）列表，分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖像

（2）觀察圖像，說(shuō)明區(qū)別與聯(lián)系

教師引導(dǎo)：步驟一：分別觀察和時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖像;

步驟二：聯(lián)系絕對(duì)值的含義，將用函數(shù)表達(dá)式表示，進(jìn)而可以通過(guò)函數(shù)的對(duì)稱性畫(huà)出圖形.

變式1：畫(huà)出函數(shù)的圖像

變式2：解不等式

變式3：解不等式

教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，通過(guò)對(duì)上述題目的數(shù)、形的分析，能夠不斷加深學(xué)生對(duì)絕對(duì)值的理解，在例題和變式中滲透著幾種解決絕對(duì)值問(wèn)題的方法：分類討論法、幾何意義法（以變式2為例，通過(guò)數(shù)軸尋求大于等于2的數(shù)的集合）、數(shù)形結(jié)合法，在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)絕對(duì)值不等式問(wèn)題的規(guī)律方法，即

2.含兩個(gè)絕對(duì)值問(wèn)題

例2：解不等式 。

含兩個(gè)絕對(duì)值問(wèn)題是高中選做題目的熱門考點(diǎn)，常常和參數(shù)聯(lián)系在一起考查，剛剛?cè)胄５母咧猩吹酱祟悊?wèn)題一定會(huì)無(wú)從下手，在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)例1和變式題的講解以后，一些同學(xué)看到題目后可以嘗試找到一些思路，想到分類討論，但究竟如何解決此類題目，還需要教師在教學(xué)中給出解題思路和詳細(xì)的解題步驟，便于學(xué)生歸納總結(jié)此類題型.

解法一：由得;由得

當(dāng)時(shí) ，，所以 ，故.

當(dāng) ，恒成立，所以.

當(dāng)時(shí)，，所以，故.

綜上，不等式的解集為.

解法二：

設(shè)，由解法一可得，

由此的圖像如圖所示;

由圖像在下方時(shí)

因此，不等式的解集為

對(duì)于解法一，引導(dǎo)學(xué)生找到與比較大小的兩個(gè)數(shù)1和2，然后分，，三種情況進(jìn)行討論，最后根據(jù)分段情況去絕對(duì)值求的范圍.這是需要掌握的常規(guī)方法，在教學(xué)過(guò)程中不斷將分類討論的數(shù)學(xué)思想滲透給學(xué)生，實(shí)現(xiàn)內(nèi)容和方法的銜接教學(xué);對(duì)于解法二，是將絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)函數(shù)圖像解決問(wèn)題，這是函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

變式4：解不等式。

點(diǎn)評(píng)：鼓勵(lì)學(xué)生仿照例題2的解題步驟完成，自我總結(jié)解題步驟.這種題目規(guī)律性是比較強(qiáng)，教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本都可以獨(dú)立完成。

變式5：對(duì)所有的實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍。

變式6：已知關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍。

點(diǎn)評(píng)：變式5和6引進(jìn)參數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，這類問(wèn)題是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，這就需要引導(dǎo)學(xué)生掌握通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的最值來(lái)解決問(wèn)題。

三、絕對(duì)值問(wèn)題的教與思

每個(gè)高中生都是懷著信心和夢(mèng)想踏入高中校門的，在銜接過(guò)程中興趣和習(xí)慣的養(yǎng)成至關(guān)重要。進(jìn)行銜接教學(xué)之前，筆者與同僚首先了解到初高中課標(biāo)的不同要求，制定適合本校學(xué)生的銜接教材，在假期以及開(kāi)學(xué)之初進(jìn)行專門講評(píng)，精心的備課以外，深入了解學(xué)生的學(xué)生習(xí)慣。從學(xué)生的角度考慮該怎樣“教”，不斷引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成課前預(yù)習(xí)、學(xué)會(huì)聽(tīng)課、及時(shí)復(fù)習(xí)、系統(tǒng)小結(jié)的好習(xí)慣。在教學(xué)過(guò)程中重視不斷滲透貫穿高中的基本數(shù)學(xué)思想，如，數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等，教育不只是要學(xué)生模仿，更多是傳授思路和方法。總之，如何做好初高中教學(xué)，是一個(gè)需要不斷創(chuàng)新和研究的課題，讓學(xué)生學(xué)得輕松，更快實(shí)現(xiàn)我們的共同目標(biāo)。