吳健
【摘要】隨著教育的不斷改革,小學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容更加明確,小學(xué)可能性的教學(xué)主要是讓學(xué)生掌握收集、分析數(shù)據(jù)的能力,初步體會(huì)隨機(jī)事件的可能性大小。在中小學(xué)銜接背景下,如何聯(lián)系中學(xué)概率內(nèi)容來(lái)思考小學(xué)可能性的易錯(cuò)問(wèn)題,本文從中小學(xué)“可能性”內(nèi)容變化及銜接問(wèn)題、“可能性大小”易錯(cuò)問(wèn)題的思考這三大方面進(jìn)行探討。
【關(guān)鍵詞】中小學(xué)銜接;可能性;概率;數(shù)據(jù)分析
在課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)的“第二學(xué)段”中提出:“通過(guò)試驗(yàn)、游戲等活動(dòng),感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的,能對(duì)一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述,并能進(jìn)行交流?!睘榱梭w現(xiàn)課標(biāo)的要求,在修訂后教材中,人教版五年級(jí)上冊(cè)第四單元《可能性》是第二學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容,也是學(xué)生真正意義接觸“概率”的知識(shí),第三學(xué)段稱(chēng)為“事件的概率”。
一、小學(xué)的“可能性”與中學(xué)的“概率”內(nèi)容的變化
義務(wù)教育階段對(duì)于概率的需要學(xué)習(xí)內(nèi)容并不多,而數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂前(實(shí)驗(yàn)稿)、后(2011版)關(guān)于內(nèi)容構(gòu)成的變化如下表1:
從上表可以看出:課標(biāo)修訂后,在第一學(xué)段中,刪掉了可能性大小的學(xué)習(xí),將原內(nèi)容后移到第二學(xué)段,稱(chēng)為“可能性”。原五年級(jí)的內(nèi)容劃分到第三學(xué)段(九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)),稱(chēng)為“概率初步”。
二、中小學(xué)概率教學(xué)的銜接
(一)中學(xué)教材中關(guān)于概率的兩個(gè)定義
1.概率的古典定義
在某次試驗(yàn)中:(1)基本事件的總數(shù)是有限的,假設(shè)有a種結(jié)果。
(2)每個(gè)事件發(fā)生的可能性大小是一樣的。
某個(gè)事件包含其中的b種結(jié)果,那么這個(gè)事件發(fā)生的概率為,這個(gè)就是概率的古典定義。實(shí)際上,有一些隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果不是等可能性的,則概率的古典定義不能適用。
2.概率的統(tǒng)計(jì)意義
在相同條件下,多次重復(fù)隨機(jī)實(shí)驗(yàn),如果隨著實(shí)驗(yàn)資料的不斷增加,某個(gè)事件的頻率穩(wěn)定在常數(shù)p,則稱(chēng)這個(gè)常數(shù)p為這個(gè)事件的概率。概率的統(tǒng)計(jì)意義并沒(méi)有要求事件各種結(jié)果等可能性,例如,考查某個(gè)籃球動(dòng)員投籃的命中率,在同樣的條件,讓某個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行數(shù)次投籃(投籃總次數(shù)用a表示),并統(tǒng)計(jì)命中的次數(shù)為b,然后計(jì)算命中的頻率為。如果隨著運(yùn)動(dòng)員投籃次數(shù)的增多,頻率越來(lái)越趨向于某個(gè)常數(shù),那么這個(gè)常數(shù)就可以被當(dāng)作投籃的命中率。
中學(xué)的概率教學(xué)是以上面兩個(gè)概率定義為起點(diǎn),然后逐漸過(guò)渡到求概率的內(nèi)容,最終達(dá)成以列舉法求概率和頻率估計(jì)概率。而小學(xué)人教版書(shū)本中“可能性”單元知識(shí)內(nèi)容如下圖1:
雖然人教版五年級(jí)教材中只有三道例題,卻蘊(yùn)含概率教學(xué)中重要的基礎(chǔ)點(diǎn),每道例題具體教學(xué)目標(biāo)不同,包括“做一做”和教材的某些習(xí)題也承載著中小銜接的重要橋梁。雖然日常教學(xué)中只要求用“一定(肯定)、不可能、可能、經(jīng)常、偶爾”等詞來(lái)定性描述事件發(fā)生的可能性大小,但是并不意味著只停留在感性認(rèn)識(shí)上,而是讓學(xué)生站在更高層次上來(lái)認(rèn)識(shí)“可能性”,對(duì)“可能性”的認(rèn)識(shí)和理解逐漸從定性向定量過(guò)渡,也就是為中學(xué)系統(tǒng)用分?jǐn)?shù)描述事件發(fā)生的概率作好準(zhǔn)備。但是,在日常教學(xué)當(dāng)中,往往在“可能性”上出現(xiàn)一些問(wèn)題,當(dāng)分析好中小學(xué)教材時(shí),也有一種恍然大悟的感覺(jué)。
三、例析小學(xué)數(shù)學(xué)“可能性”易錯(cuò)問(wèn)題
1.等可能性與不等能性混淆
在小學(xué)關(guān)于可能性大小學(xué)習(xí)的階段,并沒(méi)有對(duì)古典概型作定義,但是在練習(xí)和課程當(dāng)中有所滲透,為中學(xué)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)概率的知識(shí)作鋪墊。例如,下面兩個(gè)例子:
例1: 現(xiàn)有紅球、白球各2個(gè),一次摸出2個(gè)球,兩個(gè)都是同色的可能性是多少?
錯(cuò)解:課堂上學(xué)生基本上認(rèn)為結(jié)果有:兩個(gè)紅球、一紅一白、兩個(gè)白球三種情況,出現(xiàn)同色的結(jié)果有兩種,一共三種可能的結(jié)果,所以摸到兩個(gè)都是同色的可能性是,如下圖2所示:
錯(cuò)因與正解:上述的答案是無(wú)意間默認(rèn)了每種結(jié)果的可能性是一樣的,利用概率古典定義來(lái)解決問(wèn)題,而上述解法中兩個(gè)紅球、一紅一白、兩個(gè)白球出現(xiàn)的可能性顯然不均等,故導(dǎo)致上面的錯(cuò)解。從2個(gè)紅球、2個(gè)白球中一次摸出2個(gè)球,會(huì)出現(xiàn):(紅1,紅2)、(紅1,白1)、(紅1,白2)、(紅2,白1)、(紅2,白2)、(白1,白2)共6種,這些結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的,所以?xún)蓚€(gè)都是同色的可能性為。
例2:在意大利曾經(jīng)發(fā)生過(guò)這樣的賭博:擲兩枚骰子,以?xún)擅恩蛔映系狞c(diǎn)數(shù)的和作為賭博的內(nèi)容。從這內(nèi)容可以知道:骰子六個(gè)面分別是1~6點(diǎn),兩枚骰子朝上的情況共6×6種可能,點(diǎn)數(shù)和可以是2~12,共11種,問(wèn)賭注下在多少點(diǎn)上最有利?其實(shí),這賭博的規(guī)則也就是五年級(jí)數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的《擲一擲》一課的內(nèi)容。在日常教學(xué)中,許多老師會(huì)根據(jù)教材的內(nèi)容(如下圖3、4),進(jìn)行類(lèi)似這樣的設(shè)計(jì):
從上面設(shè)計(jì)可以看出:學(xué)生根據(jù)骰子的特點(diǎn),肯定知道兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和只會(huì)出現(xiàn):{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}共11種結(jié)果,且無(wú)意識(shí)默認(rèn)了每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的,同時(shí)認(rèn)為自己有{2,3,4,10,11,12}6種結(jié)果可以贏,而老師只有5種結(jié)果可以贏,學(xué)生贏的可能性比老師大。但是從下表2來(lái)看,和是5,6,7,8,9出現(xiàn)的算式次數(shù)共有24次(黃色部分),而和是2,3,4,10,11,12出現(xiàn)的次數(shù)只有12次(綠色部分),顯然和是5,6,7,8,9出現(xiàn)的可能性要大得多,老師贏的可能性較大。
從數(shù)學(xué)本質(zhì)來(lái)看,和是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}這里每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是不完全相等,屬于不等可能事件,不能隨意概括去解決問(wèn)題。需要說(shuō)明的是,在小學(xué)階段里,大部分所涉及的隨機(jī)事件都是等可能性的,所以并不用向?qū)W生介紹等可能性的問(wèn)題,但是為了更好實(shí)現(xiàn)中小學(xué)可能性知識(shí)的銜接,我們?cè)趥湔n時(shí)要有所積累,應(yīng)該對(duì)統(tǒng)計(jì)與概念領(lǐng)域有整體的把握,讓學(xué)生更好適應(yīng)當(dāng)代下中小學(xué)銜接的學(xué)習(xí)。
2.可能性與頻率的混同
從中學(xué)角度來(lái)看,概率與頻率是密切相關(guān)的,大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候,頻率會(huì)穩(wěn)定在概率,所以做的實(shí)驗(yàn)次數(shù)比較多的時(shí)候,我們會(huì)用頻率去估計(jì)概率。而在小學(xué)中,也會(huì)出現(xiàn)一些可能性與頻率混同的情況,也會(huì)讓學(xué)生糊涂。
例如,人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四單元“可能性”其中的一道“做一做”(如下圖5)。題目是一個(gè)擲硬幣的游戲,教材目的想先通過(guò)增加試驗(yàn)的次數(shù),盡量使實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近理論概率,使學(xué)生初步感受事件發(fā)生的等可能性。
但在日常教學(xué)中,老師經(jīng)常這樣處理:擲一枚均勻的硬幣,然后提問(wèn)學(xué)生:會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果?學(xué)生當(dāng)然知道:會(huì)出現(xiàn)正面、反面兩種情況。接著,老師會(huì)追問(wèn):出現(xiàn)正面或反面的可能性是多少?那么根據(jù)師生共同分析得到每種面出現(xiàn)的可能性都是,然后再讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果。但是,這個(gè)是通過(guò)概率的定義得到的,而不是通過(guò)擲硬幣的試驗(yàn)得到的。事實(shí)上,學(xué)生做了很多次試驗(yàn)也得不到,包括許多的著名數(shù)學(xué)家做了很多次實(shí)驗(yàn)也得不到這個(gè)結(jié)果,這樣反而讓學(xué)生更加困惑,這也就是“數(shù)據(jù)隨機(jī)”的魅力所在。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)通過(guò)分析推理得到正面朝上的概率,他們產(chǎn)生不了做實(shí)驗(yàn)的需求,所以無(wú)法感受課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的這種魅力所在。因此,對(duì)于現(xiàn)在的教學(xué)現(xiàn)狀,我們更愿意看到:用實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)話,可讓學(xué)生經(jīng)過(guò)多次擲硬幣,計(jì)算出現(xiàn)正面的次數(shù),然后計(jì)算頻率,用頻率來(lái)估計(jì)一下出現(xiàn)正面的可能性大小,如果這個(gè)可能性趨向于,就可以推斷這個(gè)硬幣大概是均勻的,這是數(shù)據(jù)分析觀念的思想的體現(xiàn)。
總之,對(duì)于“可能性大小”的思考離不開(kāi)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分析,我們要不斷研究,站在知識(shí)鏈的高點(diǎn)處,理清知識(shí)的縱橫向聯(lián)系,整體把握好可能性的中小聯(lián)系,這樣才能彰顯概率論的魅力。
參考文獻(xiàn):
[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012:2-6.
[2]劉圣良.小學(xué)數(shù)學(xué)“可能性”教材分析與實(shí)踐思考[J].黑龍江教育:小學(xué)教學(xué)案例與研究,2016(1):69-71.
[3]曹培英.小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)研究(一)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2019(5):4-8.
[4]人民教育出版社,課程教材研究所,小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.數(shù)學(xué)教師用書(shū)五年級(jí)上冊(cè)[M].人民教育出版社:北京,2014:100.