活用課本習題，培養(yǎng)學生數(shù)學解題能力

梁小躍

摘要：解題不僅能加深對所學知識的理解和掌握，更重要的是通過解題能培養(yǎng)我們運用所學知識解決問題的能力，一些看似簡單的中小題型，其中可能蘊含著一些重要的數(shù)學思想方法。通過對其研究，“小”題“大”做，久而久之，解綜合題也就水到渠成了，這樣可以大大提高教學效果。本文通過一些案例談談如何通過課本習題，培養(yǎng)學生的解題能力。

關鍵詞：課本習題 解題能力 高中數(shù)學

根據(jù)教育部有關文件精神，新的高考將避免出難題、偏題、怪題，而注重基礎性和綜合性。課本習題是經(jīng)過教材編寫專家認真研究選取的，數(shù)學習題的教學功能體現(xiàn)在知識、教育、評價的三個功能方面。但是當前，有一種現(xiàn)象需要引起我們的重視，那就是有部分一線老師不重視教材中習題的研究，他們認為教材的習題太簡單，僅靠做教材中的習題只能應付學業(yè)水平考試，無法應對高考，從而將教輔資料當作解題寶典。殊不知，課本上的題目雖然簡單，但復雜的題目往往是這些簡單題目的綜合。

筆者經(jīng)過長期研究發(fā)現(xiàn)，很多高考試題來自教材的例題和習題，題型和難度相當，如集合、復數(shù)、線性規(guī)劃等考題。還有些考題看似生疏，實際上是在課本習題基礎上改編的。

因此，作為一線教師，如果我們能重視對教材習題的研究，將教材中的習題進行合理變化、引申、推廣，進而得到有價值的結(jié)論，那么勢必會提高我們的教學效率，培養(yǎng)學生的學習興趣以及思維能力，進而提高學生的數(shù)學成績。

一、重視課本例題研究，發(fā)揮例題的教育功能

課本例題是教材編者智慧的結(jié)晶，是經(jīng)過專家精挑細選出來的，對學生理解概念、掌握知識、鞏固所學內(nèi)容都有很大幫助。為此，老師要善于運用這些資源，發(fā)揮例題的教育功能。筆者在平時的教學中特別注意課本例題的引領作用，注重引導學生分析解題思路，并進行板書示范。當然，課本例題也不是完美無缺的，老師要根據(jù)具體情況創(chuàng)造性地使用。

比如，在人教A版高中數(shù)學必修4第35頁例2中，第（2）（3）問書上的解答學生可能感到突然，不易理解。第（2）問書上的解答如下：sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin2x。學生很難想通為什么括號里要加π，筆者在教學中是這樣做的：設y=f（x）=sin2x的周期為T，則由周期函數(shù)的定義得f（x+T）=f（x），即sin2（x+T）=sin2x，也就是sin（2x+2T）=sin2x，將2x看成一個數(shù)，由正弦函數(shù)的周期性知2T=2π，從而T=π。第（3）問也可以類似處理，進而筆者又引導學生用類似方法推導出了y=Asin（ωx+φ）的周期公式。這樣處理既鞏固了剛學的周期函數(shù)的定義和正弦函數(shù)的周期性，又推導出了一般的y=Asin（ωx+φ）的周期公式，而且思路自然，學生易于理解。

二、研究習題變式，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

新修訂的高中數(shù)學課程標準提出的高中數(shù)學核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等六項。解題教學中的變式教學能促進學生抽象素養(yǎng)的形成。變式教學包括變條件、變結(jié)論等，通過對問題的變式探究，可以從不同角度、不同層次完善學生的知識結(jié)構(gòu)和方法體系，有利于發(fā)展學生的抽象思維。

案例1：畫出函數(shù)y=x的圖象。（人教A版高中數(shù)學必修1第20頁例5）

講解本例時，筆者先讓學生回憶了初中所學的絕對值的意義，然后分段畫出圖象，講完本例時，又讓學生畫了函數(shù)y=|x-1|，y=|x+1|，y=|x-1|，y=|x+1|的圖象，并讓學生指出它們與y=|x|的圖象的關系，然后引出一般的f（x）與f（x+a）、f（x）與f（x）+a的圖象關系，以及y=|x-a|的圖象特征?？偨Y(jié)完畢，筆者進行了變式教學：

變式1：作y=|x-1|，y=|x-2x-3|的圖象，并結(jié)合作圖過程說明f（x）的圖象的作圖方法，探究直線y=a與|f（x）|的圖象的交點個數(shù)問題。

變式2：作y=|x|+|x-1|的圖象。

探討含兩個絕對值時如何化成分段函數(shù)，進而畫出圖象，從而引出2016年高考數(shù)學全國卷第24題：

已知函數(shù)fx=|x+1|-|2x-3|。

（Ⅰ）畫出y=f（x）的圖象;

（Ⅱ）求不等式|f（x）|>1的解集。

以上幾題雖然形式不同，但本質(zhì)上都是含有絕對值的函數(shù)問題，解決這類問題的基本思路都是通過分類討論去掉絕對值，轉(zhuǎn)化成常規(guī)函數(shù)問題。學生掌握了這種思想方法，就能夠以不變應萬變。

三、研究課本習題的推廣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力

在平常的教學中，教師要積極引導學生重視對問題本質(zhì)的探究，善于從小問題中提煉出大道理，抽象概括出隱含在問題中的一般結(jié)論。教學實踐表明，研究課本習題的推廣是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象思維和創(chuàng)新能力的有效途徑。

案例2：（人教A版高中數(shù)學必修5第44頁例3）

已知數(shù)列{a}的前n項和為S，S=n+1/2n，求{a}的通項公式，并判斷它是否是等差數(shù)列。

課本上是利用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n>1進行求解的，這是通法，適合所有數(shù)列“知和求項”問題。接著筆者進行了變式：將條件改為“S=n+2n+1”，結(jié)論如何？并思考：若S=pn+qn+r，當p、q、r滿足什么條件時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列？這樣引導學生從函數(shù)角度認識等差數(shù)列前n項和公式，加深學生對等差數(shù)列的理解。

在教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學生在計算時常出現(xiàn)問題，主要表現(xiàn)在三個方面：一是不求a;二是求了a及a后不加驗證，不去總結(jié);三是計算a時常常出錯。為了解決學生“會而不對”的問題，筆者又讓學生觀察分析等差數(shù)列的通項公式和求和公式，總結(jié)并推導出一般結(jié)論：若數(shù)列a的前n項和S=pn+qn（p，q為常數(shù)），則a=2pn+q-p。這樣學生在做小題時，就可以快速準確地得出答案，做大題時也可以有效減少計算錯誤，從而提高學生的運算能力。

總之，面對新的高考形勢，重視對課本習題進行研究，發(fā)揮課本習題的功能，引導學生回歸教材，扎實搞好習題教學，就能有效避免“題海戰(zhàn)”，培養(yǎng)學生各方面的能力。

參考文獻：

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[2]郭勝光.一個不可忽視的教學要素[J].中學數(shù)學教學參考：上旬，2017（7）：1921.