對(duì)一道圓錐曲線最值問題教學(xué)過程的反思

甘肅省通渭縣第二中學(xué) (743300)

段偉軍

新課改提出學(xué)生具備六大核心素養(yǎng)，而核心素養(yǎng)之一“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是學(xué)生具備的基本功，高考數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題是區(qū)分考生化歸轉(zhuǎn)化，計(jì)算變形能力的主要題型，也是數(shù)學(xué)運(yùn)算的集中體現(xiàn)，在整套試題里，難度和區(qū)分度也是最集中地一道題.許多考生由于害怕計(jì)算，望而止步，缺少自信，放棄這道題，事實(shí)上，這幾年高考，無論是自主命題還是全國卷，都以橢圓或者拋物線為背景，借助根與系數(shù)關(guān)系，弦長公式，向量坐標(biāo)運(yùn)算考察解決恒成立，過定點(diǎn)，最值等問題.在解決這類問題時(shí)，審題是否嚴(yán)謹(jǐn)，方法是否得當(dāng)，切入點(diǎn)是否準(zhǔn)確，運(yùn)算變形是否合理，常常是問題能否順利解決的關(guān)鍵所在.在解題時(shí)學(xué)生一般從條件出發(fā)，觀察試驗(yàn)，向前推進(jìn)，但經(jīng)常是阻礙重重，失去方向，只能望題興嘆.如何進(jìn)行有效的引導(dǎo)啟發(fā)，教會(huì)學(xué)生如何突破運(yùn)算障礙？筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，應(yīng)在方法的突破和細(xì)節(jié)的處理上下功夫.通過對(duì)一道高考數(shù)學(xué)模擬題的思考分析，筆者給出如下見解觀點(diǎn).

1.例題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若動(dòng)直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-2,0)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求ΔOPQ面積的最大值.

本題難度接近高考，考查的是圓錐曲線中三角形面積最值問題，第一問較簡單，第二問直線結(jié)合且字母較多，再加上最值問題，難度較大.如何突破，教學(xué)過程如下.

2.師生探究

師：(十五分鐘后)大部分同學(xué)都有了自己的想法，現(xiàn)在請(qǐng)大家談?wù)勛约旱南敕ê妥龇?

師：生1充分利用三角形面積分割及弦長公式列出三角形的面積，將三角形的面積表示為動(dòng)直線斜率的倒數(shù)很不錯(cuò)，那該如何去求解這個(gè)式子的最值了？

生3：老師，可以式子平方后去掉根式用導(dǎo)數(shù)解決.具體過程如下：

師：很好！生3遇到根式，想到平方，遇到平方，想到換元，化繁為簡，化未知為已知，體現(xiàn)了很好的化歸思想，利用導(dǎo)數(shù)，打破思維障礙，巧渡難關(guān)，同學(xué)們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，這樣的直線有兩條，關(guān)于x軸對(duì)稱，希望同學(xué)們能熟練掌握！

生4：生3的方法是不錯(cuò)的，但我覺得不是最簡單的，我有更為簡潔的方法，不需要求導(dǎo)，過程如下：

師：生4、生5換元方式不同，形式不同，但實(shí)質(zhì)相同，兩位同學(xué)的成功告訴我們換元會(huì)使式子化繁為簡，尤其是根式部分整體代換，巧變式子，妙用均值不等式求最值是函數(shù)與不等結(jié)合的體現(xiàn)，兩位同學(xué)思路清晰，目標(biāo)明確，簡化運(yùn)算，便于操作，提高解題效率，對(duì)于一些圓錐曲線中的最值，這種突破方法屢見不鮮，應(yīng)加以足夠的重視！

生6：我的解法與前面兩位同學(xué)的不同，我換元后構(gòu)造二次函數(shù)求最值，具體做法如下：

生7：我也兩次換元成二次函數(shù)求最值，但具體操作和生6的不同，具體如下：

師：非常好！生6、學(xué)生7的做法簡捷明了，避免了求導(dǎo)解決，通過兩次換元將這一較難問題構(gòu)造成十分熟悉的二次函數(shù)問題.關(guān)注細(xì)節(jié)的變化，化陌生為熟悉，通俗易懂，這是我們突破難點(diǎn)的非常高的境界.此技巧可以推廣到解決所有圓錐曲線中最值問題中，

3.教學(xué)反思

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力與思維品質(zhì)，解題的成功要靠正確思路的選擇，解題研究重要在解題方向與解題策略的研究，問題是數(shù)學(xué)的心臟，思維是數(shù)學(xué)的體操，面對(duì)具體問題，特別是計(jì)算量大，計(jì)算技巧強(qiáng)，計(jì)算能力要求高的問題中，學(xué)生本身潛意識(shí)就有一點(diǎn)恐懼的心理，教師要靈活選擇教學(xué)方式，舍得在課堂上花時(shí)間讓學(xué)生暴露自己的思維過程，分析其思維受阻原因及對(duì)策，發(fā)現(xiàn)不足，揚(yáng)長避短.

較難問題往往不止一種解法，每一種解法都是一個(gè)思維的結(jié)果，然而教師往往忽視思維形成的過程，學(xué)生只能作為教師解題的觀察者和欣賞者，并沒有切身的體會(huì)，思維能力沒有得到真正的提高.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，不僅能有效地幫助學(xué)生鞏固知識(shí)、技能，而且對(duì)提高學(xué)生思維品質(zhì)有特殊功效.反思的內(nèi)容主要有：(1)解題涉及的知識(shí)方法有哪些？它們之間有何聯(lián)系？解題過程能否簡化？解題方法能否優(yōu)化？哪些步驟上容易發(fā)生錯(cuò)誤？原因何在？如何防止？(2)解題時(shí)用了哪些思維方法？解法是如何分析而來的？解法是否具有普遍意義？有何規(guī)律？(3)解決問題的關(guān)鍵何在？如何進(jìn)行突破？是否還有其他不同的解法？在找到多種解法的前提下，哪種方法最優(yōu)？最合理？其中的道理是什么？(4)在解題過程中最初遇到哪些困難？后來又是如何解決的？相信通過這樣的思考，學(xué)生的解題能力一定會(huì)得到很大的提高.

教師是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的主力軍，課堂是落實(shí)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地，如何將核心素養(yǎng)最終落實(shí)到學(xué)生身上，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)明確把握教學(xué)目標(biāo)，細(xì)化目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容合理設(shè)置教學(xué)目標(biāo)與教法實(shí)施.尤其是核心素養(yǎng)的課堂落實(shí)，力求學(xué)生掌握知識(shí)與技能，思想與方法的同時(shí)潛移默化地促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

同時(shí)，核心素養(yǎng)的落實(shí)要高于課堂，不能局限于幾道數(shù)學(xué)問題的解決，而是要挖就出數(shù)學(xué)中的育人價(jià)值與社會(huì)價(jià)值，樹立以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，增強(qiáng)科學(xué)精神，逐漸培養(yǎng)出學(xué)生適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品質(zhì).事實(shí)上，大多數(shù)數(shù)學(xué)教師更加強(qiáng)調(diào)的是問題的答案與學(xué)生的分?jǐn)?shù)，忽視學(xué)生思維的發(fā)展過程與思考的角度，更是害怕暴露出學(xué)生思維受阻的原因，而是根據(jù)自己的理解思路就題講題，不會(huì)聆聽學(xué)生思維的心聲，這種做法很難將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升落實(shí)到課堂，更不要說高于課堂，我們?cè)诮虒W(xué)中，不但要教會(huì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維技巧，更要為學(xué)生樹立終身發(fā)展具備的數(shù)學(xué)品質(zhì)不斷探索創(chuàng)新，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活有機(jī)的結(jié)合起來，數(shù)學(xué)教學(xué)才會(huì)有更高的教育價(jià)值.