一道高三質(zhì)檢題的探究*

福建省莆田第二中學(xué) (351131)

蔡海濤

1.試題呈現(xiàn)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2.試題分析

題目結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單,以含對(duì)數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)的初等函數(shù)為載體，與不等式相結(jié)合.試題分步設(shè)問(wèn),逐步推進(jìn),由淺及深,較好地達(dá)到了考查目的.第一問(wèn)考查的是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、分類(lèi)與整合思想等；第二問(wèn)考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、零點(diǎn)，證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查抽象概括能力、推理論證能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類(lèi)與整合思想等.

3.解法賞析

試題的第二問(wèn)涉及雙參數(shù)問(wèn)題的證明，方法較多，下例舉幾種常用方法，旨在拋磚引玉.

當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.所以g(x)在x=1處取得最大值.

評(píng)注:本法思路與證法1類(lèi)似,把x1+x2用x1x2來(lái)替換,區(qū)別之處是構(gòu)造的函數(shù)中還有a這個(gè)參數(shù),因此得到構(gòu)造函數(shù)的最值也含有a,要通過(guò)放縮進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

評(píng)注:本法思路以雙參數(shù)中一個(gè)參數(shù)x1為主元,構(gòu)造以x1為變量的函數(shù).在構(gòu)造函數(shù)中,主元的確定很重要,本題也可構(gòu)造成以x2為變量的函數(shù),方法類(lèi)似,本文不再贅述.

4.試題變式

(1)求a的取值范圍；(2)求證：x1+x2>2e.

5.解后反思

在高考中,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一般含有參數(shù),如果是雙參數(shù)問(wèn)題,一般是想方設(shè)法把雙元先通過(guò)換元或其它方法,轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量問(wèn)題,再進(jìn)行求解.本文所提供的幾種變形方法本質(zhì)都是轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量函數(shù)問(wèn)題.