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    2019年江西省高中數(shù)學(xué)預(yù)賽一道解幾題的多解探究

    2019-09-04 07:15:30江西省石城縣職業(yè)中學(xué)342700
    關(guān)鍵詞:共圓預(yù)賽四邊形

    江西省石城縣職業(yè)中學(xué) (342700)

    溫 露

    2019年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽第9大題是一道解析幾何題,試題為:

    設(shè)橢圓C的兩焦點為F1,F2,兩準線為l1,l2,過橢圓上的一點P,作平行于F1F2的直線,分別交l1,l2于M1M2,直線M1F1與M2F2交于點Q.證明:P,F1,Q,F2四點共圓.

    這是一道以解析幾何中橢圓相關(guān)性質(zhì)為題干,證明平面上四點共圓為結(jié)論構(gòu)建的試題,是一道解幾與平幾結(jié)合,考查考生解析計算與演繹論證綜合能力的好題,命題者給出的標準答案為:

    圖1

    ∠F1QF2=180°,∴P、F1、Q、F2四點共圓.

    同樣的方法,可以證明cos(∠F1PF2+∠F1QF2)=-1,結(jié)論得證.

    考慮到,在四邊形PF1QF2中,PF2所對的角若能相等,則結(jié)論也得證,于是可得:

    仿照上述思路,我們在四邊形中找到多對同弦上的角,均可嘗試證它們分別相等,得出所需結(jié)論,讀者不妨一試.

    一道試題,能有如此多的解法,彰顯其探究魅力.

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