數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)誤差產(chǎn)生的原因及改進(jìn)策略

芮金芳

摘? ? 要?實(shí)驗(yàn)誤差是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不可避免的存在，但有些教師在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中卻刻意規(guī)避、忽視實(shí)驗(yàn)誤差。因此，應(yīng)正視由實(shí)驗(yàn)工具、實(shí)驗(yàn)方法，以及實(shí)驗(yàn)者等因素產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)誤差，從優(yōu)化實(shí)驗(yàn)素材、科學(xué)分析實(shí)驗(yàn)、豐富實(shí)驗(yàn)方法、培育實(shí)驗(yàn)精神等方面著手，保證數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的效果。

關(guān)鍵詞? 實(shí)驗(yàn)誤差 實(shí)驗(yàn)素材 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 實(shí)驗(yàn)方法 實(shí)驗(yàn)精神

小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是借助一定的工具，對(duì)實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化操作來(lái)建構(gòu)概念、探索規(guī)律、驗(yàn)證結(jié)論、解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，由于實(shí)驗(yàn)者、實(shí)驗(yàn)素材（儀器或工具）、實(shí)驗(yàn)方法、實(shí)驗(yàn)條件（或環(huán)境）等因素的影響，得到的實(shí)驗(yàn)值總會(huì)與客觀存在的精確值之間存在一些差異，兩者之間的差異就是實(shí)驗(yàn)誤差。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)誤差不可避免。如何科學(xué)利用實(shí)驗(yàn)誤差，促進(jìn)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的深度體驗(yàn)，深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生理性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)精神、大膽創(chuàng)新的實(shí)踐能力具有重要意義。

一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)誤差的現(xiàn)狀解讀

1.規(guī)避誤差

調(diào)查表明，約有60%的教師在教學(xué)中不希望出現(xiàn)誤差，會(huì)想辦法規(guī)避實(shí)驗(yàn)誤差給教學(xué)帶來(lái)的干擾。在 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的一系列環(huán)節(jié)中，教師精心準(zhǔn)備、細(xì)致指導(dǎo)、幫助提示，學(xué)生只需沿著固定的實(shí)驗(yàn)步驟，按部就班操作即可，從而確保實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與真值的高度吻合。這看似順暢的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，實(shí)則是偽實(shí)驗(yàn)的過(guò)程。學(xué)生退化為簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)操作工，缺少對(duì)實(shí)驗(yàn)問(wèn)題的思考，缺乏思維探究的挑戰(zhàn)，缺失大膽質(zhì)疑辨析的勇氣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解浮于表層，無(wú)法觸及深度思維的內(nèi)核。

2.忽略誤差

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有30%的教師對(duì)實(shí)驗(yàn)中的誤差常置之不理，一旦發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)答案有差距，或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)與真值有差異，會(huì)直接否定誤差存在的價(jià)值，直奔實(shí)驗(yàn)最終結(jié)果的展示。這樣處理會(huì)影響學(xué)生對(duì)誤差的正確解讀，同時(shí)也折射出教師對(duì)誤差的一種片面認(rèn)識(shí)。其實(shí)誤差恰好是對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程是否準(zhǔn)確、實(shí)驗(yàn)方法是否恰當(dāng)、實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否合理進(jìn)行系統(tǒng)反思的寶貴課程資源，可以在層層剖析、思考、辨析、調(diào)整中逐步提升學(xué)生實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，培育學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求真的實(shí)驗(yàn)精神。

3.默認(rèn)誤差

調(diào)查顯示，僅有10%的教師承認(rèn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中誤差的產(chǎn)生，但由于受到自身專業(yè)水平的限制，無(wú)法正確解讀誤差產(chǎn)生的原因，更不會(huì)將其作為一種創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)資源進(jìn)行開(kāi)發(fā)、挖掘和利用。事實(shí)上，教師應(yīng)積極地面對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差，讓學(xué)生在失敗中獲得對(duì)實(shí)驗(yàn)核心要素的深刻理解，對(duì)誤差不斷反思，獲得深度思考的能力。這樣學(xué)生獲得的不再是一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)結(jié)論，而是對(duì)實(shí)驗(yàn)方法更深入的理解，對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程更理性的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)。

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)誤差產(chǎn)生的原因分析

1.實(shí)驗(yàn)工具結(jié)構(gòu)不完善

實(shí)驗(yàn)工具是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究對(duì)象的重要載體，它的結(jié)構(gòu)化程度有時(shí)會(huì)直接影響實(shí)驗(yàn)探索結(jié)果的成敗。在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”一課時(shí)，為探索圍成三角形三邊關(guān)系的條件，學(xué)生利用長(zhǎng)短不同的長(zhǎng)方形紙條作為實(shí)驗(yàn)活動(dòng)素材，在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察比較、分析推理中初步獲得結(jié)論。但當(dāng)出現(xiàn)“兩條短邊之和等于第三邊”時(shí)，由于提供的長(zhǎng)方形紙條寬度、厚度的問(wèn)題，很難通過(guò)直觀操作得出結(jié)論，甚至?xí)a(chǎn)生和結(jié)論相反的尷尬數(shù)據(jù)，進(jìn)而影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的進(jìn)一步分析。

2.實(shí)驗(yàn)方法單一不精準(zhǔn)

實(shí)驗(yàn)方法是在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中對(duì)材料的操作方式和思維表達(dá)形式。在小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)方法的選擇是助推學(xué)生思維發(fā)展的核心手段，也是決定實(shí)驗(yàn)成敗與否的重要依據(jù)。在“三角形內(nèi)角和”一課，學(xué)生會(huì)用量一量、算一算的實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再求其內(nèi)角和。由于測(cè)量中量角器型號(hào)的不一致、測(cè)量方法熟練程度不夠等因素，導(dǎo)致測(cè)量誤差的出現(xiàn)。調(diào)整實(shí)驗(yàn)方法，用折一折、撕一撕、拼一拼的方法進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，學(xué)生對(duì)折、拼的位置不能準(zhǔn)確把握，出現(xiàn)三個(gè)內(nèi)角不能完全拼成一個(gè)平角的現(xiàn)象，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的結(jié)果仍然難以令人信服。

3.實(shí)驗(yàn)者自身能力缺失

小學(xué)生受到自身年齡特點(diǎn)的影響和限制，在動(dòng)手測(cè)量、操作、記錄、計(jì)算時(shí)，會(huì)出現(xiàn)如讀數(shù)錯(cuò)誤、記錄失誤、操作失敗等問(wèn)題。在“怎樣滾得遠(yuǎn)”一課中，因?yàn)樾枰獙?shí)驗(yàn)者現(xiàn)場(chǎng)調(diào)整斜坡的不同角度，往往會(huì)出現(xiàn)角度調(diào)整偏差和距離測(cè)量上的誤差，影響最終的實(shí)驗(yàn)效果。

當(dāng)然，即使實(shí)驗(yàn)時(shí)準(zhǔn)備了最完善的工具材料、選擇了最恰當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)方法、進(jìn)行了細(xì)致深入的測(cè)量計(jì)算，有些誤差仍不可避免。如在“怎樣滾得遠(yuǎn)”實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，實(shí)驗(yàn)角度、測(cè)量長(zhǎng)度、實(shí)驗(yàn)者都作了精心準(zhǔn)備，但物體在滾的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與斜面產(chǎn)生的摩擦力等因素也會(huì)影響實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的真實(shí)性。

三、改進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)誤差的實(shí)踐策略

1.重組實(shí)驗(yàn)素材的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，優(yōu)化實(shí)驗(yàn)素材

教師在提供實(shí)驗(yàn)素材時(shí)不能僅停留在原始材料的直接呈現(xiàn)上，應(yīng)提前預(yù)設(shè)可能出現(xiàn)的各種問(wèn)題，盡可能減少實(shí)驗(yàn)中無(wú)關(guān)因素的干擾?？蛇m當(dāng)對(duì)原始實(shí)驗(yàn)材料進(jìn)行加工，以“半結(jié)構(gòu)化”的材料充實(shí)實(shí)驗(yàn)過(guò)程，引領(lǐng)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)程，促進(jìn)學(xué)生獨(dú)特的思維創(chuàng)造。

在探索“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，為每人提供15厘米長(zhǎng)的小棒自主創(chuàng)造結(jié)構(gòu)化的素材，將小棒分成整厘米數(shù)的三段圍三角形。實(shí)驗(yàn)操作后思考：為什么有的小棒能?chē)扇切?，有的不能?chē)?？由此，引?dǎo)學(xué)生分類統(tǒng)計(jì)相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，探明能?chē)扇切蔚娜“舻拈L(zhǎng)度關(guān)系。同時(shí)借助想象推理、現(xiàn)代化技術(shù)手段的支持，直觀演示3厘米、5厘米、8厘米三根小棒圍起來(lái)的形狀。學(xué)生在不同素材的實(shí)驗(yàn)、比較、辨析中，不斷逼近三角形三邊關(guān)系的本質(zhì)，對(duì)三角形三邊關(guān)系逐漸有了理性的認(rèn)識(shí)。利用精致、典型的素材不斷激發(fā)學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究的深入，學(xué)習(xí)的逐層推進(jìn)又催生了新的思考，真正讓實(shí)驗(yàn)充滿智慧和靈動(dòng)。

2.擴(kuò)大實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的取值范圍，科學(xué)分析實(shí)驗(yàn)

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中親歷收集數(shù)據(jù)的過(guò)程，是保證數(shù)據(jù)真實(shí)可靠的一種重要策略。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行客觀、理性的分析，得出相關(guān)結(jié)論是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的關(guān)鍵一環(huán)。當(dāng)多次出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差較大的情況時(shí)，怎樣才能將實(shí)驗(yàn)誤差調(diào)整到合理范圍？我們可以通過(guò)增加實(shí)驗(yàn)的次數(shù)、選取更多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、求平均數(shù)等方法，用合適的統(tǒng)計(jì)量代表相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，使其更接近期望值。

在“怎樣滾得遠(yuǎn)”一課中，師生圍繞核心問(wèn)題大膽提出實(shí)驗(yàn)猜想：斜坡與地面成多少度時(shí)，物體滾得遠(yuǎn)一些？在共同討論、確定實(shí)驗(yàn)方案后，分小組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證活動(dòng)。

在實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)觀測(cè)、記錄的不同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以回應(yīng)前面提出的實(shí)驗(yàn)猜想或假設(shè)。師生可以選擇各小組實(shí)驗(yàn)記錄單進(jìn)行數(shù)據(jù)的對(duì)比分析：

（1）當(dāng)角度相同時(shí)，同一小組每次測(cè)得的數(shù)據(jù)相同嗎？每次測(cè)得的數(shù)據(jù)都不相同，用哪個(gè)數(shù)據(jù)代表實(shí)驗(yàn)結(jié)果更合理一些呢？

（2）當(dāng)角度相同時(shí)，不同小組測(cè)量得到的數(shù)據(jù)一定會(huì)相同嗎？想一想要得到更可靠的結(jié)論該怎么辦？

（3）當(dāng)角度不同時(shí)，不同小組測(cè)量得到的數(shù)據(jù)差距很大，可能的原因是什么？

通過(guò)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的觀察、比較和分析，學(xué)生對(duì)“斜坡與地面成多少度角時(shí)，滾得遠(yuǎn)一些”這個(gè)問(wèn)題，有了真實(shí)可感的數(shù)據(jù)支撐驗(yàn)證，建立“科學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)要增加平行測(cè)定的次數(shù)，然后取數(shù)據(jù)平均值”的分析意識(shí)，這樣才能保證實(shí)驗(yàn)受偶然因素影響所造成的誤差值最小，真正做到有理有據(jù)。學(xué)生從原先粗糙的模糊估計(jì)逐漸發(fā)展為數(shù)學(xué)化的理性、客觀分析，不僅將誤差調(diào)整減少至最小，而且讓實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)。學(xué)生在開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)現(xiàn)了“做”的經(jīng)驗(yàn)與思考經(jīng)驗(yàn)的完美融合，通過(guò)數(shù)據(jù)的采集、處理、分析及相應(yīng)的推理，解決了核心問(wèn)題，數(shù)學(xué)智慧也在其中悄然生長(zhǎng)。

3.推敲實(shí)驗(yàn)過(guò)程的合理價(jià)值，豐富實(shí)驗(yàn)方法

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，不少教師往往過(guò)多關(guān)注實(shí)驗(yàn)的最終結(jié)果，直奔實(shí)驗(yàn)結(jié)論，忽略實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的反饋表達(dá)，弱化實(shí)驗(yàn)思維過(guò)程的價(jià)值。尤其是出現(xiàn)與期望值有誤差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，更不愿關(guān)注過(guò)程。事實(shí)上，恰恰是這樣一些特殊的、個(gè)性化的誤差數(shù)據(jù)的存在，能促使我們更加深入地反思實(shí)驗(yàn)過(guò)程的合理性、實(shí)驗(yàn)方法的適切性、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)性……及時(shí)尋找、分析實(shí)驗(yàn)中誤差產(chǎn)生的原因，是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)分析能力、完善實(shí)驗(yàn)方法、嚴(yán)謹(jǐn)實(shí)驗(yàn)態(tài)度的重要途徑。在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”一課時(shí)，教材中呈現(xiàn)了兩種實(shí)驗(yàn)方法：一是量、算;二是撕、折、拼。

第一種方法時(shí)常出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與猜測(cè)數(shù)據(jù)不一致的情況，學(xué)生根據(jù)測(cè)量經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這主要是使用量角器時(shí)測(cè)量誤差造成的，這樣的誤差是允許存在的。這種實(shí)驗(yàn)方法只能說(shuō)明三角形的內(nèi)角和接近180°，這就促使學(xué)生進(jìn)一步思考：還有其他方法驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是180°嗎？第二種方法巧妙利用轉(zhuǎn)化驗(yàn)證三角形內(nèi)角和是180°，但是學(xué)生操作時(shí)對(duì)撕、折、拼的關(guān)鍵位置很難把握，會(huì)出現(xiàn)三個(gè)內(nèi)角無(wú)法拼接的尷尬場(chǎng)面，出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中典型的操作誤差。

很多課堂在學(xué)生完成以上兩次驗(yàn)證活動(dòng)后就直奔數(shù)學(xué)結(jié)論，草草收尾。顯然學(xué)生經(jīng)歷的是一個(gè)被實(shí)驗(yàn)的偽過(guò)程，數(shù)學(xué)結(jié)論的得出不單是靠操作驗(yàn)證獲得，它更需要通過(guò)嚴(yán)密的邏輯證明。所以，教師要敏銳地補(bǔ)充更多的實(shí)驗(yàn)方法，完善教材單一的實(shí)驗(yàn)樣式，讓學(xué)生在多樣的實(shí)驗(yàn)方式中獲取豐富的體驗(yàn)，消除對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的疑慮。

增設(shè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)一：提供“幾何畫(huà)板”軟件中的三角形模型，學(xué)生任意拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)，變換呈現(xiàn)不同類別的三角形，發(fā)現(xiàn)其中“變與不變”的規(guī)律。不管三角形形狀、角度怎樣變化，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和始終是180°。在虛擬實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)中，積淀學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)三角形內(nèi)角和建構(gòu)豐滿的立體認(rèn)知。

增設(shè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)二：介紹法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡證明三角形內(nèi)角和的故事。適時(shí)將一些孕伏數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)家故事及相應(yīng)的創(chuàng)新方法納入其中，讓學(xué)生體會(huì)其深厚的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)視角，在演繹推理實(shí)驗(yàn)過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性，拓展問(wèn)題解決的方法路徑。

4.反思實(shí)驗(yàn)失敗的細(xì)節(jié)因素，培育實(shí)驗(yàn)精神

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中如果一味關(guān)注實(shí)驗(yàn)結(jié)果，追求實(shí)驗(yàn)結(jié)論的準(zhǔn)確性，會(huì)讓學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)失敗產(chǎn)生畏懼心理。然而失敗的實(shí)驗(yàn)可能會(huì)成為一種寶貴的學(xué)習(xí)資源，在集體查錯(cuò)、糾錯(cuò)、思錯(cuò)過(guò)程中獲得更多新的啟迪和思考，幫助學(xué)生從失敗的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、現(xiàn)象分析中獲得更科學(xué)、合理、全面的對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟。

在學(xué)習(xí)“可能性”一課時(shí)，教師試圖通過(guò)摸球?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證白球個(gè)數(shù)多，摸到的可能性大;黃球個(gè)數(shù)少，摸到的可能性小。但在實(shí)際教學(xué)中會(huì)出現(xiàn)與猜想完全相反的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從傳統(tǒng)評(píng)價(jià)視角來(lái)看，這樣的實(shí)驗(yàn)過(guò)程是失敗的。但教師并沒(méi)有僅停留在實(shí)驗(yàn)結(jié)果上，而是深度分析背后的原因：

（1）為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果？學(xué)生在反思中明晰，摸球之前沒(méi)有充分把球搖均勻，摸球的次數(shù)不是足夠的多……

（2）這樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能證明剛才的猜想嗎？如果不能，該怎么辦？可以增加實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，再觀察分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。教師補(bǔ)充5位科學(xué)家做拋硬幣實(shí)驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)資料，借助真實(shí)的史料故事介紹，讓學(xué)生知曉一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的得出需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期探索的過(guò)程，并不是靠幾次簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)、幾個(gè)數(shù)據(jù)分析就能得到的，有效滲透求真務(wù)實(shí)的科學(xué)探索精神。

（3）這樣失敗的實(shí)驗(yàn)過(guò)程對(duì)你有什么啟示？學(xué)生感悟到實(shí)驗(yàn)的細(xì)節(jié)決定實(shí)驗(yàn)的成敗，面對(duì)失敗的情況，要多方尋找原因。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一次很好的反思機(jī)會(huì)，對(duì)教師而言更是一次寶貴的機(jī)遇。

應(yīng)對(duì)實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生誤差的能力不是一蹴而就的，需要教師在日常教學(xué)中形成一種強(qiáng)烈的誤差應(yīng)用意識(shí)，為學(xué)生提供結(jié)構(gòu)化的實(shí)驗(yàn)素材，在豐富多樣的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中形成科學(xué)、合理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析解讀能力，在實(shí)驗(yàn)成敗的反思中積淀活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，真正讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中自然生長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]