巧用結(jié)論 簡化解題

摘 要：新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。高考作為高中教學(xué)效果的重要檢驗(yàn)方式，隨著教育改革深入，經(jīng)歷了從知識(shí)立意、能力立意到素養(yǎng)立意的發(fā)展過程。高考數(shù)學(xué)試卷知識(shí)量大，對(duì)學(xué)生的思維能力，運(yùn)算能力都有較高的要求，學(xué)生普遍反映解題時(shí)間緊張。因此教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已學(xué)，進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)以形成結(jié)論并應(yīng)用于解題，幫助學(xué)生簡化思維過程，減少運(yùn)算步驟，提高解題的時(shí)效性。能否探索結(jié)論并應(yīng)用于簡化解題，本質(zhì)上也反映了學(xué)生思維能力的差異，近年高考試題命制也常有這方面的體現(xiàn)。本文就以圓錐曲線這部分為例，談?wù)劤Ｓ媒Y(jié)論在高考解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高考解題；結(jié)論應(yīng)用；圓錐曲線

在新課標(biāo)全國Ⅰ卷中解析幾何（不含選做）部分的考察結(jié)構(gòu)基本穩(wěn)定，都是一道解答題加兩道選填題。解答題以橢圓或拋物線為主體，選填題基本是另兩種曲線的考查，一般一題較易，另一題則會(huì)對(duì)考生能力有明顯區(qū)分。在選填題部分，橢圓、雙曲線的離心率問題、雙曲線的漸近線問題及拋物線的焦半徑問題是考查的重點(diǎn)。

圓錐曲線深入探究，可形成非常多的結(jié)論，而高考在橢圓與雙曲線選填題的命制中，以下結(jié)論的應(yīng)用尤其常見。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加以拓展探究，并強(qiáng)化結(jié)論用于解題的訓(xùn)練，提高解題的速度及正確率。

設(shè)橢圓方程為：x2a2+y2b2=1（a>b>0），雙曲線方程為：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）。

設(shè)F1、F2為橢圓（雙曲線）兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓（雙曲線）上一點(diǎn)，記θ=∠F1PF2。

結(jié)論1：雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離=虛半軸長b。

結(jié)論2：①橢圓：e=ca=1-b2a2∈（0，1），②雙曲線：e=ca=1+b2a2∈（1，+∞）。

結(jié)論3：①橢圓：焦半徑最小值為a-c，最大值為a+c；

②雙曲線：同側(cè)焦半徑最小值為c-a，異側(cè)焦半徑最小值為c+a。

結(jié)論4：①橢圓焦點(diǎn)弦中以通徑最短；②兩端點(diǎn)在同一支的雙曲線焦點(diǎn)弦中以通徑最短。

通徑長均為2b2a。

結(jié)論5：橢圓中①cosθ≥1-2e2，當(dāng)且僅當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)取“=”，此時(shí)θ最大。

②設(shè)A、B是橢圓長軸兩端點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠APB最大。

結(jié)論6：①橢圓：SΔPF1F2=12|PF1|·|PF2|sinθ=b2tanθ2≤bc，當(dāng)且僅當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)取“=”。

②雙曲線：SΔPF1F2=12|PF1|·|PF2|sinθ=b2cotθ2。

結(jié)論7：設(shè)AB為橢圓（雙曲線）的一條弦，弦中點(diǎn)M（x0，y0），當(dāng)AB不垂直于對(duì)稱軸時(shí)，則有：

①橢圓：kAB·kOM=-b2a2；②雙曲線：kAB·kOM=b2a2。

結(jié)論8：若A、B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，M是橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，設(shè)MA、MB的斜率分別為k1、k2，則有：①橢圓：k1k2=-b2a2；②雙曲線：k1k2=b2a2。

注：當(dāng)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在y軸時(shí)，結(jié)論需相應(yīng)改變。

下面給出以上結(jié)論的應(yīng)用以供參考：

例1：（2014全國Ⅰ理4）設(shè)F是雙曲線C：x2-my2=3m（m>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則F到C的一條漸近線的距離為

簡析：由結(jié)論1，可得焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離等于b=3。

例2：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得線段PF1的中垂線恰好經(jīng)過焦點(diǎn)F2，則橢圓C的離心率的取值范圍是

簡析：PF2=F1F2=2c。由結(jié)論3①，PF2=2c∈a-c，a+c故e=ca∈[13，1]。

例3：已知橢圓x24+y2b2=1（0

簡析：由AF2+BF2+AB=4a=8及（AF2+BF2）max=5，可得ABmin=3，

由結(jié)論4①可得ABmin=2b2a=b2=3 b=3。

例4：（2017年全國1文12）設(shè)A、B是橢圓C：x23+y2m=1長軸兩端點(diǎn)。若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）

A. （0，1]∪[9，+∞）

B. （0，3]∪[9，+∞）

C. （0，1]∪[4，+∞）

D. （0，3]∪[4，+∞）

簡析：選A。由結(jié)論5②，知當(dāng)M為短軸端點(diǎn)時(shí)，AMB最大，此時(shí)∠AMB≥120°，

故∠OMB≥60°，tan∠OMB=ab≥3，∴a2≥3b2。

當(dāng)03，a2=m，b2=3，得m≥9；

例5：（2018泉州質(zhì)檢理）已知點(diǎn)P是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）與圓x2+y2=a2+b2的一個(gè)交點(diǎn)，若點(diǎn)P到x軸的距離為a，則雙曲線的離心率為

簡析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由c2=a2+b2得圓半徑為c，由已知可得P（b，a）。

設(shè)雙曲線兩焦點(diǎn)為F1、F2，則SΔPF1F2=ac。由結(jié)論6②得SΔPF1F2=b2cot45°=b2 b2=ac，即，c2-a2=ac，又e=ca>1，∴e=1+52。

例6：（2014江西）過點(diǎn)M（1，1）作斜率為-12的直線與橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）相交于A、B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于

簡析：由結(jié)論7①得：kOMkAB=-b2a2=-12，由結(jié)論2①得：e2=1-b2a2=12，e=22。

例7：（2016龍巖質(zhì)檢）設(shè)A、B是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右頂點(diǎn)，P是雙曲線右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PA、PB的斜率分別為k1、k2，則k1+k2的取值范圍為

簡析：由結(jié)論8②得k1k2=b2a2，且k1>0，k2>0，k1≠k2，則k1+k2>2k1k2=2ba。

高考對(duì)拋物線的考查基本會(huì)涉及拋物線的焦半徑或焦點(diǎn)弦長問題，若能應(yīng)用相關(guān)結(jié)論，可實(shí)現(xiàn)快速解題。以下為拋物線中常用的結(jié)論：

以拋物線C：y2=2px（p>0）為例，注意：拋物線開口方向不同，結(jié)論需相應(yīng)改變。

設(shè)F是C的焦點(diǎn)，A、B是C上兩點(diǎn)，設(shè)直線AB的傾斜角為α，A（x1y1）、B（x2，y2）。

結(jié)論1：當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)時(shí)，有：

①AF=x1+p2，|AB|=x1+x2+p。

②設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，則|AF|=p1-cosα，|BF|=p1+cosα。

③|AB|=2psin2α≥2p，當(dāng)且僅當(dāng)AB垂直于對(duì)稱軸即AB為通徑時(shí)取“=”。

④SΔAOB=p22sinα。

⑤x1·x2=p24；y1·y2=-p2。

⑥以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

⑦以AF或BF為直徑的圓與y軸相切。

結(jié)論2：設(shè)AB中點(diǎn)M（x0，y0），當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，kAB=py0。

下面給出以上部分結(jié)論的應(yīng)用舉例以供參考：

例1：（2014年新課標(biāo)1理10）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若FP=4FQ，則QF=（ ）。

A. 72

B. 3

C. 52

D. 2

簡析：不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸下方，則由FP=4FQ，得點(diǎn)Q在線段FQ上，PQ=3QF。

過點(diǎn)Q作QH垂直l，垂足為H，則QH=QF。設(shè)直線PF的傾斜角為α，

則直角△PHQ中，cosα=cos∠HQP=13。由結(jié)論1②得QF=41+cosα=3。

例2：（2017全國Ⅰ理10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）

A. 16 B. 14 C. 12 D. 10

簡析：選A。設(shè)直線l1、l2傾斜角分別為α、α+π2，由結(jié)論1③得AB+DE=4sin2α+4sin2（α+π2）=4sin2αcos2α=16sin22α≥16。

例3：（2014全國Ⅱ理10改編）設(shè)F為拋物線C：y2=6x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ΔOAB的面積為

簡析：由結(jié)論1④，可得△OAB的面積為322sin30°=9。

例4：（2018年全國Ⅲ理16）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)。若∠AMB=90°，則k=

簡析：設(shè)AB中點(diǎn)N（x0，y0），點(diǎn)M在以AB為直徑的圓N上。由結(jié)論1⑥得：

圓N與l切于點(diǎn)M，則MN∥x軸，∴y0=1。由結(jié)論2，得k=py0=21=2。

全國新課標(biāo)Ⅰ卷突出對(duì)通性通法的考查，但試題命制卻也注重能夠多視角、多維度、多層次地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解及學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能。而善于總結(jié)結(jié)論，并應(yīng)用于簡化解題，這就是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛力的一種反映。教師在教學(xué)中應(yīng)注意引領(lǐng)學(xué)生對(duì)各知識(shí)板塊進(jìn)行力所能及的探究，并應(yīng)用結(jié)論幫助解題。這既可以激發(fā)學(xué)生解題興趣，又能開拓學(xué)生思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力。

作者簡介：

曾雪英，福建省泉州市，福建省泉州第一中學(xué)。