由一道教材習題引起的對周期函數的幾點質疑

摘 要：它不是一道三角函數題，由此引發(fā)思考：非三角函數的周期函數存在嗎？周期函數一定有最小正周期嗎？……在三角函數的周期性教學時，有不少同學提出諸如此類問題。

關鍵詞：高中數學;三角函數;周期函數

高中數學（人教A版·普通高中課程標準實驗教科書）必修4第47頁習題1.4B組第三題：

已知函數y=f（x）的圖像如圖所示，試回答下列問題：

（1）求函數y=f（x）的周期;

（2）畫出函數y=f（x+1）的圖像;

（3）你能寫出y=f（x）的解析式嗎？

高中數學（人教A版·普通高中課程標準實驗教科書）必修4第34頁關于周期函數的定義如下：

對于函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有：f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，非零常數T就叫做這個函數的周期。

這就是說，當函數對于自變量的一切值每增加或減少一個不等于零的定值時，如果函數值都重復出現(xiàn)，那么這個函數就叫做周期函數。由此可見，周期函數并非局限于三角函數，它的存在是十分廣泛。例如，常數函數f（x）=C（C為常數），x∈R，對于函數定義域中的每一個x值都有f（x+T）=C，因此，f（x）是周期函數，每一個非零實數T都是它的周期。再看函數g（x）=x-[x]，x∈R（[x]表示不超過x的最大整數），是以1為周期的周期函數，其圖象如圖1所示：

在周期函數定義中，“每一個值”的條件能減弱嗎？絕對不能。如果我們得知函數f（x）不是當x取定義域內的“每一個值”時，都有f（x+T）=f（x），就可以斷言T不是函數y=f（x）的周期，或者說y=f（x）不是周期函數。例如，sinπ4+π2=sinπ4，但是sinπ6+π2≠sinπ6，即π2不是對于定義域中的“每一個x值”都有sinx+π2=sinx，因此，π2不是y=sinx的周期。又如函數：

φ（x）=1，當x≠0時，0，當x=0時，

對任意確定的常數T≠0，盡管φ（x+T）=φ（x）對定義域R中幾乎每一個x都成立，但僅僅由于當x=0，x=-T時，等式不成立，從而函數y=φ（x）不是周期函數。

根據周期函數的概念，不難證明：一個周期函數的所有周期構成一個無窮集合。在這無數多個周期中是否存在一個最小正周期？對此我們有著濃厚的興趣。這是因為：如果發(fā)現(xiàn)一個函數存在最小正周期，就可以確定它的所有周期。在研究函數性質時，就可以先在其定義域的一個長度為最小正周期的區(qū)間內進行討論，進而推出函數在整個定義域內的性質。特別地，為周期函數的作圖帶來了極大的方便。因此，教材中規(guī)定：如果在周期函數所有的周期中存在著一個最小的正數，這個最小的正數叫做周期函數的最小正周期。

顯而易見，周期函數的最小正周期一定是該函數的周期，反之不然。最小正周期如果存在必定唯一。但并不是任何周期函數都有最小正周期。前面提到的常數函數就沒有最小正周期。著名的狄利赫萊函數：

D（x）=1，當x是有理數時，0，當x是無理數時，

以任非零有理數為周期，但由于正有理數集合中沒有最小的，所以沒有最小正周期。

有趣的是，某些定義在有限區(qū)間上的函數，可以經過延拓成為周期函數。例如，定義在[-π，π）上的函數f1（x）=|x|，可以延拓到整個實數集上成為以2π為最小正周期的函數f（x）=|x-2kπ|，（2k-1）π≤x<（2k+1）π，k∈Z。其圖象如圖2所示：

再如，定義在（0，2]上的函數y1=x2，可以延拓到正實數集上成為以2為最小正周期的函數有y=（x-2k）2，2k

一般地說，我們課本上學過的非周期函數f（x）經過延拓以后都可變?yōu)橹芷诤瘮?，延拓的方法是：先將函數f（x）在定義域內限制在一個半開半閉區(qū)間[a，a+b）或（a，a+b]上（b>0）（如上面圖3就是將y=x2限制在（0，2]上），然后作新函數F（x）=f（x-kb），a+kb

如果要作F（x）的圖象，只要將f（x）被“截斷”后的圖象“一段一段”地左右平移，而每一段的長度（指橫坐標的最大間隔）都是b。可以證明：F（x）將是定義在R上的周期函數，其最小正周期T=b。這是因為：若設x0為R+上的任意一點，且有a+k0b

按新函數F（x）的定義應有：F（x0）=f（x0-k0b），而F（x0+b）=f[（x0+b）-（k0+1）b]=f（x0-k0b），故F（x0+b）=F（x0）。

作者簡介：

鄧娟，四川省南充市，四川省營山中學校。