數(shù)列易錯(cuò)題分析

劉玉

易錯(cuò)點(diǎn)1：求通項(xiàng)公式時(shí)，弄錯(cuò)首項(xiàng)致錯(cuò)例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，3an+1=Sn（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

錯(cuò)解：由3an+1=Sn，可得3an=Sn-1（n≥2），兩式相減可得

所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，4/3為公比的等比數(shù)列，所以an=。

正解：由上述分析可得，又，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起是以4/3為公比的等比數(shù)列，即首項(xiàng)為，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=。

分析：本題易忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)的整體關(guān)系，事實(shí)，上，數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起，以后各項(xiàng)組成等比數(shù)列，而{an}不是等比數(shù)列，因此等比數(shù)列的首項(xiàng)不是an。

易錯(cuò)點(diǎn)2：忽略數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別致錯(cuò)

例2設(shè)函數(shù)f（x）=，若數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）。

A.

B.

C.

D.

錯(cuò)解：因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以

解得a∈

正解：因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以

解得2

分析：實(shí)際上，數(shù)列可以看成是特殊的函數(shù)，它的定義域是自然數(shù)集，圖像是一系列孤立的點(diǎn)，所以該題不能直接按照函數(shù)的方法處理。

易錯(cuò)點(diǎn)3：忽略等比數(shù)列中的隱含條件致錯(cuò)

例3 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+λ（λ為常數(shù)），試探究{an+λ}是不是等比數(shù)列，并求an。

錯(cuò)解：因

正解：

例4 已知等差數(shù)列{an}中，a1=2，a1，a2，a3+2成等比數(shù)列，則等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和等于____。

錯(cuò)解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a1，a2，a3+2成等比數(shù)列，可得

正解：當(dāng)d=-2時(shí)，a2=0，a1，a2，a3+2不能構(gòu)成等比數(shù)列，故

分析：兩題的易錯(cuò)點(diǎn)相同，同學(xué)們易忽略等比數(shù)列中的隱含條件“各項(xiàng)均不為0”，做題時(shí)要注意檢驗(yàn)。

例5 已知數(shù)列{an}滿足an=0，an+1=npn+an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

錯(cuò)解：

正解：

分析：本題p=0時(shí)，{an}是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，而p≠0時(shí)，在利用錯(cuò)位相減乘公比時(shí)，公比不能為1，因此要討論p=0，p=1，p≠0且p≠1三種情況。

易錯(cuò)點(diǎn)4：忽略數(shù)列的定義域是正整數(shù)集致錯(cuò)

例6 已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項(xiàng)am，an，使得，則的最小值為（）。

A.

B.

C.

D.

錯(cuò)解：依題意可得a5q2=a5q+2a5，所以q2-q-2=0，所以q=2。

正解：上式當(dāng)且僅當(dāng)

分析：數(shù)列的定義域是正整數(shù)集，不能取分?jǐn)?shù)，在利用基本不等式時(shí)要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足。