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    數(shù)列易錯(cuò)題分析

    2019-07-03 03:13劉玉
    關(guān)鍵詞:公比正整數(shù)常數(shù)

    劉玉

    易錯(cuò)點(diǎn)1:求通項(xiàng)公式時(shí),弄錯(cuò)首項(xiàng)致錯(cuò)例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,3an+1=Sn(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

    錯(cuò)解:由3an+1=Sn,可得3an=Sn-1(n≥2),兩式相減可得

    所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),4/3為公比的等比數(shù)列,所以an=。

    正解:由上述分析可得,又,所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起是以4/3為公比的等比數(shù)列,即首項(xiàng)為,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=。

    分析:本題易忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)的整體關(guān)系,事實(shí),上,數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起,以后各項(xiàng)組成等比數(shù)列,而{an}不是等比數(shù)列,因此等比數(shù)列的首項(xiàng)不是an。

    易錯(cuò)點(diǎn)2:忽略數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別致錯(cuò)

    例2設(shè)函數(shù)f(x)=,若數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()。

    A.

    B.

    C.

    D.

    錯(cuò)解:因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以

    解得a∈

    正解:因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列,所以

    解得2

    分析:實(shí)際上,數(shù)列可以看成是特殊的函數(shù),它的定義域是自然數(shù)集,圖像是一系列孤立的點(diǎn),所以該題不能直接按照函數(shù)的方法處理。

    易錯(cuò)點(diǎn)3:忽略等比數(shù)列中的隱含條件致錯(cuò)

    例3 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+λ(λ為常數(shù)),試探究{an+λ}是不是等比數(shù)列,并求an。

    錯(cuò)解:因

    正解:

    例4 已知等差數(shù)列{an}中,a1=2,a1,a2,a3+2成等比數(shù)列,則等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和等于____。

    錯(cuò)解:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由a1,a2,a3+2成等比數(shù)列,可得

    正解:當(dāng)d=-2時(shí),a2=0,a1,a2,a3+2不能構(gòu)成等比數(shù)列,故

    分析:兩題的易錯(cuò)點(diǎn)相同,同學(xué)們易忽略等比數(shù)列中的隱含條件“各項(xiàng)均不為0”,做題時(shí)要注意檢驗(yàn)。

    例5 已知數(shù)列{an}滿足an=0,an+1=npn+an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

    錯(cuò)解:

    正解:

    分析:本題p=0時(shí),{an}是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列,而p≠0時(shí),在利用錯(cuò)位相減乘公比時(shí),公比不能為1,因此要討論p=0,p=1,p≠0且p≠1三種情況。

    易錯(cuò)點(diǎn)4:忽略數(shù)列的定義域是正整數(shù)集致錯(cuò)

    例6 已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,an,使得,則的最小值為()。

    A.

    B.

    C.

    D.

    錯(cuò)解:依題意可得a5q2=a5q+2a5,所以q2-q-2=0,所以q=2。

    正解:上式當(dāng)且僅當(dāng)

    分析:數(shù)列的定義域是正整數(shù)集,不能取分?jǐn)?shù),在利用基本不等式時(shí)要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足。

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