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    形如an+1=Can+D·λn+An+B(A,B,C,D,λ為常數(shù)且C≠0,1,λ≠0,1)的數(shù)列通項公式的求法

    2016-04-19 09:27:30楊文慶徐曉燕
    新課程·下旬 2016年2期
    關(guān)鍵詞:公比通項等式

    楊文慶 徐曉燕

    近年高考中常出現(xiàn)形如an+1=can+d·λn(c,d,λ為常數(shù)且c≠0,1,λ≠0,1)、an+1=can+dn+λ(c,d,λ為常數(shù)且c≠0,1)的數(shù)列的通項問題,高考參考答案直接給出了變形構(gòu)造的結(jié)果,卻沒有給出變形構(gòu)造的方法及過程,看了仍不知其所以然, 筆者就此問題進(jìn)行探究,進(jìn)一步推廣得到形如:

    an+1=Can+D·λn+An+B(A,B,C,D,λ為常數(shù)且C≠0,1,λ≠0,1)這一類數(shù)列的通項的求法,總結(jié)如下,以饗讀者。

    1.形如an+1=can+d(c,d為常數(shù)且c≠0,1)的數(shù)列的通項公式的求法

    設(shè)(an+1+A)=c(an+A),求得常數(shù)A=■,構(gòu)成一個等比數(shù)列{an+A},問題得解。此類問題在平時教學(xué)和高考中比較常見,筆者就不再舉例說明。

    2.形如an+1=can+d·λn(c,d,λ為常數(shù)且c≠0,1,λ≠0,1,c≠λ)數(shù)列的通項公式的求法

    解一:在等式兩邊同除以λn+1得■=■■+■,令bn=■得bn+1=■bn+■,轉(zhuǎn)化為形如an+1=can+d(c,d為常數(shù)且c≠0,1)的數(shù)列求解。

    解二:設(shè)an+1+Aλn+1=c(an+Aλn)求得常數(shù)A=■,構(gòu)成一個等比數(shù)列{an+Aλn},問題得解。

    例(2012年高考廣東卷理科19)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列。

    (1)求a1的值;

    (2)求數(shù)列{an}的通項(1)公式.

    解一:2Sn=an+1-2n+1+1,2Sn+1=an+2-2n+2+1相減得:an+2=3an+1+2n+1,

    由(1)知a1=1,a2=5,得an+1=3an+2n對n∈N*均成立

    an+1=3an+2n,在等式兩邊同除以2n+1得■=■·■+■,

    令bn=■得bn+1=■bn+■,設(shè)(bn+1+A)=■(bn+A),求得常數(shù)A=1,(bn+1+1)=■(bn+1),則數(shù)列{bn+1}是首項為■,且公比為■的等比數(shù)列,bn+1=(■)n,■+1=(■)n,an=3n-2n。

    解二:2Sn=an+1-2n+1+1,2Sn+1=an+2-2n+2+1,相減得:an+2=3an+1+2n+1,

    由(1)知a1=1,a2=5,得an+1=3an+2n對?坌n∈N*均成立.

    an+1=3an+2n,設(shè)an+1+A·2n+1=3(an+A·2n),求得常數(shù)A=1,則數(shù)列{an+2n}是首項為3,且公比為3的等比數(shù)列,an+2n=3n,an=3n-2n。

    3.形如an+1=can+d·λn(c、d、λ為常數(shù)且c≠0,1,λ≠0,1,c=λ)數(shù)列的通項公式的求法

    解一:在等式兩邊同除以λn+1得■=■+■,,構(gòu)成一個等差數(shù)列{■},問題得解。

    解二:由an+1=can+d·cn得,an+1-d(n+1)cn=c(an-dncn-1),構(gòu)成一個等比數(shù)列{an-dncn-1},問題得解。

    例2(2009全國卷Ⅱ理科19題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn, 已知a1=1,Sn+1=4an+2

    (1)設(shè)bn=an+1-2an,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;

    (2)求數(shù)列{an}的通項公式。

    解一:由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,∴■=■=■

    ∴數(shù)列{■}是首項為■,公差為■的等差數(shù)列.

    ∴■=■+■(n-1)=■n-■,an=(3n-1)·2n-2

    解二:由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,an+1=2an+3·2n-1

    an+1-3(n+1)·2n-1=2(an-3n·2n-2),數(shù)列{an-3n·2n-2}是首項為-■,公比為2的等比數(shù)列,由此求得an=(3n-1)·2n-2

    4.形如an+1=can+dn+λ(c、d、λ為常數(shù)且c≠0,1)的數(shù)列的通項公式的求法

    設(shè)an+1+[A(n+1+B)]=c[an+(An+B)],求得常數(shù)A=■,B=■構(gòu)成一個等比數(shù)列{an+(An+B)},問題得解。

    例3(2007天津文科20題)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.

    (1)證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;

    (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;

    分析:由(1)可知an-n=4n-1,于是數(shù)列{an}的通項公式為an=4n-1+n.從而求得數(shù)列{an}的前n項和Sn,Sn=■+■.

    若沒有(1)的鋪墊可按上述方法得到通項an,設(shè)an+1+[A(n+1+B)]=4[an+(An+B)],求得常數(shù)A=-1,B=0,則an+1-(n+1)=4(an-n),又a1-1=1,所以數(shù)列{an-n}是首項為1,且公比為4的等比數(shù)列.an-n=4n-1+n,于是數(shù)列{an}的通項公式為an=4n-1+n.從而求得數(shù)列{an}的前n項和Sn,Sn=■+■。

    5.形如an+1=Can+D·λn+An+B(A,B,C,D,λ為常數(shù)且C≠0,1,λ≠0,1,C≠λ)的數(shù)列通項公式的求法

    綜合2、4兩種類型,

    設(shè)an+1+D1λn+1+[A1(n+1)+B1]=C(an+D1λn+A1n+B1),求得常數(shù)D1=■,A1=■,B1=■,構(gòu)成一個等比數(shù)列{an+D1λn+A1n+B1},問題得解。

    6.形如an+1=Can+D·λn+An+B(A,B,C,D,λ為常數(shù)且C≠0,1,λ≠0,1,C≠λ)的數(shù)列通項公式的求法

    對an+1=Can+D·Cn+An+B,綜合3、4兩種類型

    設(shè)an+1-D(n+1)Cn+[A1(n+1)+B1]=C(an-DnCn-1+A1n+B1)

    求得常數(shù)A1=■,B1=■,構(gòu)成一個等比數(shù)列{an+DnCn-1+A1n+B1},問題得解。

    說明:上述求法的本質(zhì)是均由遞推公式變形,通過換元,構(gòu)造出一個新的等差或等比數(shù)列,從而轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列——等差、等比數(shù)列的問題來解決。

    編輯 董慧紅

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