數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種求法

王俊義

一、累加法

例1

二、構(gòu)造法

例2

三、對(duì)數(shù)變換法

例3

四、特征根法

例4

解析：設(shè)能構(gòu)造an個(gè)符合條件的n位

數(shù)，易知a1=3，a2=8，當(dāng)n≥3時(shí)，如果該n位數(shù)第一個(gè)數(shù)字是2或3，那么這樣的n位數(shù)有2an-1個(gè)，如果該n位數(shù)第一個(gè)數(shù)字是1，那么第二個(gè)數(shù)字只能是2或3，因而這樣的n位數(shù)只能有2an-2個(gè)，于是遞推關(guān)系為an=2aw-1+2an-2，n=2，3，4，...

定理：設(shè)x1，x2是特征方程x2=cx+c2

的兩個(gè)根。①當(dāng)xc1≠x2時(shí)，an的一般表達(dá)式為an=aqx"+aqx2;②當(dāng)x1=x2時(shí)，an的一般表達(dá)式為an=（β+β2n）x"，這里的a1，a2，β1，β2都是由初始值確定的常數(shù)。（證明略）

五、不動(dòng)點(diǎn)法

例5

六、待定系數(shù)法

例6 如圖1，將一個(gè)圓分成n（n≥2）個(gè)扇形區(qū)域，現(xiàn)用k（k≥2）種不同顏色對(duì)這n個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域顏色不同，問：有多少種不同的涂色方法？

解析：有k種不同顏色對(duì)n個(gè)區(qū)域涂色，記種數(shù)為an（n≥2，k≥2），易知：A，有k種涂法，A2有k-1種涂法，…，A，有k-1種涂法（不論是否與A，同色），共有k（k-1）n-1.種涂法，但這k（k-1）"-1種涂法分兩類：一類是A。與A.不同色;另一類是A。與A，同色，可看作A。和A，合成一個(gè)區(qū)域，即an-1，得遞推關(guān)系

（n為區(qū)域數(shù)，k為顏色種數(shù)）。

評(píng)注：對(duì)于形如an+1=kan+f（n）的遞推式，常用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列（不一定是等比數(shù)列）形式的數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式。