有心圓錐曲線的統(tǒng)一定義及性質(zhì)

廣東省佛山市順德國華紀念中學(528311) 張永久

1.有心圓錐曲線的統(tǒng)一定義

圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心,統(tǒng)稱為有心圓錐曲線,它們統(tǒng)一的標準方程為不失一般性,本文中提到的橢圓和雙曲線均是焦點在x軸上.

在人教版A版教材-選修2-1中有三處用交軌法生成有心圓錐曲線,具體如下：

第41頁例3：如圖2.2-6,設(shè)點A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積為求點M的軌跡方程.

圖2.2-6

圖2.3-5

第55頁探究：如圖2.3-5,點A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積為試求點M的軌跡方程.

第80頁習題：10.已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0),試探求頂點C的軌跡.

這些知識簡單介紹了有心圓錐曲線的生成方式,本文在此基礎(chǔ)上探討有心圓錐曲線的統(tǒng)一定義和相關(guān)的性質(zhì),以供大家參考.

說明因為有心圓錐曲線上的點與端點重合時,斜率不存在,所以該定義要特別注意兩個端點.

設(shè)定M(x,y)是曲線上任意一點,由已知得,直線A1M的斜率直線A2M的斜率又因點A1,A2在曲線上,得

當e=0即e2-1=-1時,方程 ①化為x2+y2=a2,該曲線表示圓;當即a2(e2-1)=c2-a2時,令c2-a2=-b2,方程 ①化為該曲線表示橢圓;令c2-a2=b2,方程 ①化為該曲線表示雙曲線.

推論1已知A,B是有心圓錐曲線C:上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是曲線C上的任意一點,若直線PA,PB的斜率都存在,則直線PA,PB的斜率之積為

例1 如圖1,過坐標原點的直線交橢圓于P,A兩點,其中點P在第一象限,過點P作x軸的垂線,垂足為點C,聯(lián)結(jié)AC,并延長交橢圓于點B,求證：PA⊥PB.

圖1

證 明設(shè)P(x0,y0),B(x1,y1),則A(-x0,-y0),C(x0,0),所以由推論1得,所以因為,kPAkPB=,所以PA⊥PB.

1）進行參數(shù)化設(shè)計，新型技術(shù)需要滿足設(shè)計師對建筑信息的需求，BIM技術(shù)中應(yīng)用到的軟件可以將觀察到的對象信息設(shè)計成整體的結(jié)構(gòu)狀態(tài)；

2.有心圓錐曲線的性質(zhì)

性質(zhì)1 已知直線l與有心圓錐曲線C:交于A,B兩點,AB的中點為M,若直線AB和OM(O為坐標原點)的斜率都存在,則

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式相減,得變形,得即

點評用本性質(zhì)替代點差法,可以簡化解題過程.

例2 (2018年高考全國卷III理科)已知斜率為k的直線l與橢圓C:交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m＞0).

(2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點,且證明：成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.(略)

證明(1)由性質(zhì)1得于是又因為M在橢圓C內(nèi),得故

推論2已知有心圓錐曲線C:斜率為k1的直線l與曲線C交于A,B兩點,若平行于AB的弦的中點的軌跡為CD,設(shè)CD的斜率為k2,則

性質(zhì)2已知有心圓錐曲線C:及C上一點P(x0,y0),則曲線C在點P處的切線方程是

證明方程兩邊關(guān)于x求導,得解得當y0≠0時,曲線C在點P處的切線方程是當y0=0時,曲線C在點P處的切線方程是綜上,曲線C在點P處的切線方程是

例3已知橢圓C:直線l:4x-5y+40=0,求橢圓上一點P,使得點P到直線l的距離最小.

解設(shè)P(x0,y0),由性質(zhì)2知曲線C在點P處的切線方程是l′:由題意得l′//l,所以又因為解得由題意得,所求點

推論3已知直線PQ與有心圓錐曲線C:相切于點P,若直線PQ和OP(O為坐標原點)的斜率都存在,則

點評性質(zhì)2及推論3是高考熱點之極點與極線問題.

推論4 已知有心圓錐曲線C:經(jīng)過點和的切線與C上任一點P的切線相交于點P1和P2,則|P1A1|·|P2A2|=|n|.

證明當n＞0時,設(shè)由性質(zhì)2知曲線C在P點處的切線方程為當時,所以當n＜0時,設(shè)由性質(zhì)2知曲線C在P點處的切線方程為當時,yP2=所以-n.綜上,|P1A1|·|P2A2|=|n|.

性質(zhì)3 有心圓錐曲線與直線Ax+By+C=0(C≠0)有公共點的充要條件是n(A2m+B2n-C2)≥0.

證明(必要性)由題意得

當A2m+B2n≠0時,?=4m2A2C2-4m(C2-B2n)(A2m+B2n)≥0得

當A2m+B2n=0時,n＜0,③式成立.上述證明過程可逆,性質(zhì)3得證.

點評當C=0時,充分利用幾何條件,借助數(shù)形結(jié)合的思想可以直觀地判定曲線與直線的位置關(guān)系.

參考人教版A版教材-選修4-4第15頁習題第6題,可以得到有心圓錐曲線如下性質(zhì)：

性質(zhì)4已知有心圓錐曲線C:O為坐標原點,P、Q為曲線上兩動點,且OP⊥OQ,則

證明由將曲線C的直角坐標方程化為極坐標方程,得即()由OA⊥OB可設(shè)A(ρ1,θ),則

例4已知橢圓C:O為坐標原點,P、Q為曲線上兩動點,且OP⊥OQ,求證：

證明由性質(zhì)4知,得當且僅當|OP|=|OQ|時等號成立.

斜率、離心率、切線、定值和最值是圓錐曲線中非常活躍的元素,也是歷年高考的熱點.高考中與解析幾何相關(guān)的試題?？汲Ｐ?新往往只是形式上,本質(zhì)上有些相通的地方.有心圓錐曲線有如此結(jié)構(gòu)類似的結(jié)論,體現(xiàn)了數(shù)學概念的簡單性、統(tǒng)一性,結(jié)構(gòu)關(guān)系的協(xié)調(diào)性、對稱性,蘊含了數(shù)學的奇異美.讓人賞心悅目,動人心弦.