對一道高考題的推廣探究*

江西省萍鄉(xiāng)中學(337000) 黃賢鋒 何義明

一、問題的提出

引例1(2009年全國II卷理科第16題)已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條互相垂直的弦,垂足為則四邊形ABCD面積的最大值為____.

引例2 (2018年武漢二調理科第15題)過圓Γ:x2+y2=4外一點P(2,1)作兩條相互垂直的直線AB和CD分別交圓Γ于A,B和C,D點,則四邊形ABCD面積的最大值為____.

文[1]探究了問題1的一般化情形,即：過圓內任意一點作兩條夾角為的弦AC,BD,求四邊形ABCD面積的最值.

可以發(fā)現(xiàn),問題2是問題1在圓外的發(fā)展.受文[1]的啟發(fā),本文對問題2進行一般化探究.

問題如圖1,已知⊙O的半徑為r,過⊙O外一點P(以下記OP=p)作兩夾角為θ(θ∈(0,π))的割線PAB,PCD分別交⊙O于A,B和C,D點,其中PB＞PA,PD＞PC.

圖1

探究一對于定角θ(θ∈(0,π)),要作出滿足題意的割線,探究p的范圍;

探究二對于定值p(p＞r),過點P任意作兩條割線,探究兩割線夾角的范圍;

探究三對于定值p(p＞r)、θ,探究四邊形ABCD面積S的范圍.

二、主要結論

如圖2,考慮兩割線的極限位置,過點P作兩條夾角為θ的切線,則因此對于探究一,探究二,易得下面結論：

圖2

結論1 已知⊙O的半徑為r,對于定角θ(θ∈(0,π)),過⊙O外滿足的一點P可作兩夾角為θ的割線PAB,PCD.

結論2已知⊙O的半徑為r,對于定值p(p＞r),過⊙O外一點P作兩割線PAB,PCD的夾角θ∈(0,2θ0),其中θ0為滿足sinθ0=r/p的銳角.

為了便于解決探究三,我們作如下約定：

設PAB總在PCD的左側,記PAB與PO的夾角為α,即∠OPB=α.設θ0為滿足sinθ0=r/p的銳角,由對稱性可知,只需研究時S的取值范圍.對有唯一確定的PB值,記為f(α);有唯一確定的PB·PD值,記為g(α);有唯一確定的S值,記為S(α).

圖3

如圖3,過O作OT⊥PB于T,則PT=pcosα,OT=psinα,故因此,當PAB與PCD位于PO的同側(含其中一條與PO重合的情形)時,g(α)=f(α)f(α-θ);當PAB與PCD位于PO的異側(含其中一條與PO重合的情形)時,g(α)=f(α)f(θ-α).由圓冪定理可知PA·PB=PC·PD=p2-r2,故則

下面,給出探究三的主要結論：

結論3 已知⊙O的半徑為r,對于定值p(p＞r),過⊙O外一點P作兩割線PAB,PCD的夾角θ∈(0,2θ0),其中θ0為滿足sinθ0=r/p的銳角.四邊形ABCD面積S(α)在上單調遞減,則即當PAB與PCD關于PO對稱時,S(α)有最大值S(α)無最小值.

三、結論3的證明

(一)兩個引理

為了證明結論3,我們先證明兩個引理.

引理1 函數(shù)在單調遞減.

證明

引理1得證.

引理2 對?θ∈(0,2θ0),函數(shù)g(α)在單調遞減.

證明(1)當θ0≤θ＜2θ0時,PAB與PCD必位于PO的異側,則g(α)=f(α)f(θ-α),

(2)當0＜θ≤θ0時,分兩段證明：

(II)當α∈[θ,θ0)時,PAB與PCD必位于PO的同側,則g(α)=f(α)f(α-θ),對?α1,α2∈[θ,θ0),且滿足α1＜α2,由引理1可知f(α1)＞f(α2),f(α1-θ)＞f(α2-θ),則g(α1)=f(α1)f(α1-θ)＞f(α2)f(α2-θ)=g(α2),因此g(α)在上單調遞減.結合(I)(II)可知對?θ∈[0,θ0),g(α)在上單調遞減.

綜合(1)(2),引理2得證.

(二)結論3的證明

證明因為函數(shù)為增函數(shù),由引理2可知對?θ∈(0,2θ0),函數(shù)g(α)在單調遞減.由復合函數(shù)的單調性可知,S(α)在上單調遞減,結論3得證.

結論3能不能繼續(xù)推廣到橢圓,雙曲線,拋物線中去?這個問題本人暫時無法解決,有興趣的讀者可以一試.