放縮+最值證一類對(duì)稱型條件不等式的探究

陜西省岐山縣蔡家坡高級(jí)中學(xué)(722405) 公寬讓

對(duì)稱型條件不等式是指這個(gè)不等式左端輪換對(duì)稱,一般為對(duì)稱項(xiàng)的和、或?qū)ΨQ項(xiàng)的積、或?qū)ΨQ項(xiàng)的和與對(duì)稱式的積的和,其造形優(yōu)美,證法多樣,在高考、競(jìng)賽和問題研究中經(jīng)常出現(xiàn).這些不等式大多在變?cè)嗟葧r(shí)取等號(hào),對(duì)在變?cè)嗟葧r(shí)取等號(hào)的這類不等式,筆者通過研究,發(fā)現(xiàn)先放縮,再求最值(簡(jiǎn)稱“放縮+最值”法,以下同)的方法是證明這類不等式的一條捷徑.因?yàn)樗豁氀芯繉?duì)稱項(xiàng)的性質(zhì),所以對(duì)比較復(fù)雜的這類不等式的證明及推廣更顯優(yōu)勢(shì).下面是筆者用“放縮+最值”法對(duì)這類不等式證明及推廣的一些探究.

探究一如果這類不等式的對(duì)稱項(xiàng)有明顯的增減趨勢(shì)時(shí),可直接考慮用“放縮+最值”法去證.

例1《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》2014年第5期有獎(jiǎng)?wù)鹘忸}

設(shè)x1,x2,···,xn都為正數(shù),且x1+x2+···+xn=1,求證：

對(duì)(1)的指數(shù)作變更,推廣如下：

定理1設(shè)x1,x2,···,xn都為正數(shù),且x1+x2+···+xn=1,m∈N?,則

證明不妨設(shè)x1≥x2≥···≥xn＞0,則是遞減的.由已知x1+x2+···+xn=1,有所以,不等式(2)成立.

當(dāng)m=n時(shí),不等式(1)成立.

同法可證不等式(1),這里不再重復(fù),以下相同.

例2《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年10月號(hào)問題2387

已知a,b,c≥0,且a+b+c=6,證明：

問題2387按元數(shù)推廣如下：

定理2已知ai≥0(i=1,2,···,n),且則

問題2387按元數(shù)和指數(shù)推廣如下：

定理3已知ai≥0(i=1,2,···,n),且m≥2,m∈N?,則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則是遞減的,由已知有2≤a1≤2n,當(dāng)a1=2時(shí),所以,不等式(5)成立.

當(dāng)m=2時(shí),不等式(4)成立,當(dāng)n=3,m=2時(shí),不等式(3)成立.

例3《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年4月號(hào)問題2356

設(shè)a,b,c,d＞0,且a+b+c+d=4,求證：

問題2356按元數(shù)推廣如下：

定理4設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n),且a1+a2+···+an=n,則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則a21+a22+···+a2n+(a2a3···an+a3a4···ana1+···+ana1···an-2+a1a2···an-1)≥na2n+(n-1)an-1n.

令y=na2n+(n-1)an-1n,n≥1,則y=na2n+(n-1)an-1n是遞增的,由已知a1+a2+···+an=n,得0＜an≤1.當(dāng)an=1時(shí),ymax=n+n-1=2n-1.所以,不等式(7)成立.

當(dāng)n=4時(shí),不等式(6)成立.

例4文[3]猜想：設(shè)a,b,c＞0,且a+b+c=1,n≥2,且為整數(shù),則

筆者發(fā)現(xiàn)這個(gè)猜想是正確的,現(xiàn)按元數(shù)推廣如下：

定理5設(shè)ai＞0(i=1,2,···,m),且n≥2,n∈Z,則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則(1+ann)m,(1+ann)m是遞增的,由已知有時(shí),所以,不等式(9)成立.

當(dāng)m=3時(shí),不等式(8)成立.

例5《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年12月號(hào)問題2398：設(shè)a,b,c＞0,a+b+c≤3,求證：

問題2398按元數(shù)推廣：

定理6設(shè)a1,a2,···,an＞0,a1+a2+···+an≤n,則：

問題2398按元數(shù)和指數(shù)推廣：

定理7 設(shè)a1,a2,···,an＞0,a1+a2+···+an≤n,p,q∈N?,則：

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則是遞減的,由已知a1,a2,···,an＞0,a1+a2+···+an≤n,有1≤a1＜n,當(dāng)a1=1時(shí),所以不等式(12)成立.

當(dāng)n=3,p=1,q=2時(shí),不等式(10)成立;當(dāng)p=1,q=2時(shí),不等式(11)成立.

探究二如果這類不等式的對(duì)稱項(xiàng)的增減趨勢(shì)不明顯,可利用函數(shù)等方法判定其增減,再用“放縮+最值”法去證.

例6《數(shù)學(xué)通報(bào)》問題1830

已知a,b,c＞0,且a+b+c=2,求證：

問題1830按元數(shù)推廣如下：

定理8已知ai＞0(i=1,2,···,n),且a1+a2+···+an=n-1,則

證明是遞減的,不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則

當(dāng)n=3時(shí),不等式(13)成立.

例72017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西預(yù)賽第五題：

設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿足(a+b)(b+c)(a+c)=1,求證：

不等式(15)按元數(shù)推廣如下：

定理9設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n,n≥3,n∈N),且滿足(a1+a2)(a2+a3)···(an+a1)=1,則

不等式(15)按元數(shù)和指數(shù)推廣如下：

定理10設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n,n≥3,m≥2,n＞m,m,n∈N),且滿足(a1+a2+···+am)(a2+a3+···+am+1)···(an+a1+···+am-1)=1,則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則不等式(17)的左邊各項(xiàng)是遞減的,從而有

由(a1+a2+···+am)(a2+a3+···+am+1)···(an+a1+···+am-1) = 1,有(man)m≤ 1,得0＜所以,當(dāng)時(shí),即不等式(17)成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

當(dāng)n=3,m=2時(shí)不等式(15)成立,當(dāng)m=2時(shí)不等式(16)成立.

例8《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年6月號(hào)問題2367

設(shè)a,b,c＞0,且abc=1,求證：

問題2367按元數(shù)推廣如下：

定理11設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n),n≥3(n∈N+),且a1a2···an=1,則

問題2367按元數(shù)和指數(shù)推廣如下：

定理12設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n),n≥3,n∈N+,m≥p＞q＞0,且a1a2···an=1,則

證明設(shè)則是增函數(shù).不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則由a1a2···an=1,得0＜an≤1.當(dāng)an=1時(shí),所以,不等式(20)成立.

當(dāng)n=3,m=3,p=2,q=1時(shí),不等式(18)成立,當(dāng)m=3,p=2,q=1時(shí),不等式(19)成立.

例9《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年8月號(hào)問題2378

設(shè)x1,x2,···,xn＞0,x1+x2+···+xn=s,p≥1,求證：

證明令是增函數(shù).不妨設(shè)x1≥x2≥···≥xn＞0,則由有當(dāng)時(shí),所以,不等式(21)成立.

例102009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽第15題

已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c≤3,求證：

不等式(22),(23)推廣如下：

定理13設(shè)正數(shù)ai滿足m∈N+,則：

證明(i)考察函數(shù)是減函數(shù),不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則由已知,1≤a1＜n,當(dāng)a1=1時(shí),而0＜an≤1,則所以不等式(24)成立.

當(dāng)n=3,m=1時(shí),不等式(22)成立.

由已知,1≤a1＜n,當(dāng)a1=1時(shí),所以不等式(25)成立.

當(dāng)n=3時(shí),不等式(23)成立.

例112015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽初賽第9題

設(shè)a,b＞0,a+b=1,求證：

不等式(26)按項(xiàng)數(shù)推廣如下：

定理14設(shè)ai＞0(i=1,2,···,n,n≥2),則

證明構(gòu)造函數(shù)所以,上減小,在上增加,是下凸函數(shù).不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,由已知當(dāng)當(dāng)時(shí),由琴生不等式

(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=__···=xn時(shí)取等號(hào)),有綜上,不等式(27)成立.

當(dāng)n=2時(shí),不等式(26)成立.

探究三當(dāng)這類不等式的條件是復(fù)雜一點(diǎn)的對(duì)稱項(xiàng)的和或?qū)ΨQ項(xiàng)的積,可用分離或函數(shù)等方法去確定范圍,然后用“放縮+最值”法去證.

例12《數(shù)學(xué)通報(bào)》2014年9月號(hào)問題2201

已知a,b,c＞0,且求證：

問題2201按指數(shù)和元數(shù)推廣如下：

定理15已知ai＞0(i=1,2,···,n)且1(k∈N?),則

證明不妨設(shè)a1≥a2≥···≥an＞0,則而是遞增的,由已知1(k∈N?),有得當(dāng)所以,不等式(29)成立.

當(dāng)n=3,k=2時(shí),不等式(28)成立.

小結(jié)(1)“放縮+最值”的方法,適合于當(dāng)變?cè)嗟葧r(shí)不等式等號(hào)成立的對(duì)稱型條件不等式的證明及推廣;

(2)“放縮+最值”的方法,不同于一般的放縮法,一般的放縮法是適當(dāng)?shù)耐蚍趴s直到得出要證的結(jié)果,技巧性強(qiáng),弄不好會(huì)得到反向結(jié)果,使證明陷入僵局,高次的更不好辦.這個(gè)方法正好化解了這個(gè)難點(diǎn);

(3)人常說：不等式“推廣”容易證明難.因?yàn)椤巴茝V”可以照貓畫虎,證明就沒那么容易了.“放縮+最值”的方法,不僅可以簡(jiǎn)捷地證明這類不等式,而且還可以輕松的對(duì)這類條件不等式進(jìn)行推廣,并能糾正在推廣中由于考慮不周引起的偏差.