數(shù)列板塊第二輪復(fù)習(xí)備考建議

廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 林艷冬

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,也是高考命題的熱點之一,新課標(biāo)把數(shù)列放在了選擇性必修的部分,和以往注重對解題技巧的考查相比,新課標(biāo)更注重體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)的觀點.隨著高考對數(shù)列題目的前移,對數(shù)列的考查要求較低,要強(qiáng)化通性通法的復(fù)習(xí)與訓(xùn)練,不要加大數(shù)列難題的訓(xùn)練.

一、全國新課標(biāo)I卷近三年高考考點及分析

為了更好的分析和把握近三年來我國高考中數(shù)列這一重點知識模塊的考點,筆者整理了下表;

表1：全國I卷文理科近三年數(shù)列的考點

考點分析

1.題型與分值全國新課標(biāo)I卷對數(shù)列的考查,比較穩(wěn)定.近三年理科卷基本上為兩小題,分值10分,近三年文科卷為一大題,分值為12分.通過表一,我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列是高考必考的內(nèi)容,但近三年來難度有所以降低.理科卷的其中一題在前四題的位置,考察基本量的運算,難度較簡單,另一題的考察較為靈活,難度中等.文科卷在第一道大題的位置,難度中等偏易.

2.主要考察的內(nèi)容

近三年全國新課標(biāo)I卷對數(shù)列主要考察的內(nèi)容有：等差數(shù)列與等比數(shù)列,數(shù)列的通項公式,數(shù)列前n項和,數(shù)列的綜合應(yīng)用等.

3.文理科的差異

近三年全國新課標(biāo)I卷數(shù)列文理科考察相同之處;都考察了數(shù)列的重點內(nèi)容,都考察了等差和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和的內(nèi)容,基本量的運算,求數(shù)列通項公式與求數(shù)列前n項和的方法.都考察了學(xué)生的運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力,轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

近三年全國新課標(biāo)I卷數(shù)列文理科考察不同之處;在題型上,理科是兩道小題;文科是一道大題.在難度上,理科一道題在前四題的位置難度簡單,另一道題難度中等,也可能會出現(xiàn)在選擇題壓軸題的位置,題目較為靈活;文科位于第一道大題的位置,難度中等,題目中規(guī)中矩.在內(nèi)容上,理科考察內(nèi)容綜合創(chuàng)新,注重數(shù)列是特殊函數(shù)這一性質(zhì);文科考察偏向求數(shù)列通項公式與前n項和,證明等差、等比數(shù)列.在能力上,理科對運算求解能力、推理論證能力、創(chuàng)新探究能力都比文科要求要高.

二、高三二輪復(fù)習(xí)備考建議

基于以上分析的2016-2018年全國新課標(biāo)I卷數(shù)列部分考察的內(nèi)容與特點,建議備考時做到以下幾點：

1.注重雙基,降低難度.

掌握兩類特殊的數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和及其應(yīng)用與計算,重視Sn與an的關(guān)系.

熟練掌握解決問題的方法和規(guī)律

全國新課標(biāo)I卷對數(shù)列的考查要求較低,要強(qiáng)化通性通法的復(fù)習(xí)與訓(xùn)練,不要加大數(shù)列難題的訓(xùn)練.

2.突出數(shù)列是特殊函數(shù)的特點.

普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)把數(shù)列部分放在選擇性必修的函數(shù)主題中,讓學(xué)生感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異,因此在復(fù)習(xí)中要重視數(shù)列是特殊的函數(shù)這個概念的理解.

3.重視思想方法與能力的運用.

數(shù)列除了考查數(shù)列本身的基礎(chǔ)知識外,還綜合考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論的思想,運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力、創(chuàng)新探究能力等.因此,在復(fù)習(xí)數(shù)列時,既要突出基礎(chǔ)性,還要對成績中上學(xué)生(尤其是尖子生)強(qiáng)化思想方法的訓(xùn)練,要善于用函數(shù)的思想解決數(shù)列的問題.

4.關(guān)注易錯點.

關(guān)注學(xué)生的易錯點,有針對性的進(jìn)行訓(xùn)練,數(shù)列部分常見的易錯點有：

三、幾種常見類型問題

為了使高考復(fù)習(xí)更加有針對性,筆者通過整理近3年全國I、II、III文理卷相同考點分布情況,總結(jié)出六種?？碱}型,希望能夠給讀者提供一定的啟示.

題型一：基本量運用

表2：近三年全國卷數(shù)列基本量考察統(tǒng)計表

由表2可以發(fā)現(xiàn)全國卷對數(shù)列基本量幾乎每年都要考察,而且很多題目都是滲透了基本量的運算,很多題目只考察簡單定義與運算,難度較小,只要學(xué)生牢牢掌握住等差、等比數(shù)列基本量的關(guān)系即可解決問題,平時訓(xùn)練常用的通性通法即可.

例1 (2017年高考全國II卷文科第17題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.

(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項公式;

(2)若T3=21,求S3.

解析(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2,得d+q=3.又由a3+b3=5,得2d+q2=6.聯(lián)立和解得：因此{(lán)bn}的通項公式為bn=2n-1,n∈N?.

(2)由b1=1,T3=21,得q2+q-20=0.解得q=-5,q=4.當(dāng)q=-5時,由 ①得：d=8,則S3=21.當(dāng)q=4時,由 ①得：d=-1,則S3=-6.

總結(jié)在解有關(guān)等差等比數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d(q)等基本量,通過建立方程(組)獲得解.共涉及五個量a1,d(q),n,an,Sn,知其中三個就能求另外兩個,即知三求二,體現(xiàn)了用方程的思想解決問題和運算求解能力,分類討論的思想.

題型二：數(shù)列性質(zhì)

表3：近三年全國卷數(shù)列的性質(zhì)考察統(tǒng)計表

新課標(biāo)更注重數(shù)列是一類特殊函數(shù)這一性質(zhì),故數(shù)列可以運用很多函數(shù)的性質(zhì)解決問題,特別是求最值的問題(如2017年全國II卷理科第17題;2017年全國II卷文科第17題).

例2 (2016年高考全國I卷理科第15題)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2···an的最大值為____.

解析因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列,所以可設(shè)an=a1qn-1,其中a1為首項,q為公比,根據(jù)題干條件有所以an=即數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,且當(dāng)n≤4時,an≥1;當(dāng)n≥5時,0＜an＜1;所以當(dāng)n=3或4時,a1a2···an最大,且最大值Tn為64.故本題正確答案為64.

總結(jié)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系,等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,等差數(shù)列前n項和與二次函數(shù)的關(guān)系,利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是高考中常見的題型,但要注意函數(shù)單調(diào)性與數(shù)列單調(diào)性的區(qū)別.滲透函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.

題型三：判斷與證明等差數(shù)列或等比數(shù)列

表4：近三年全國卷判斷與證明等差、等比數(shù)列考察統(tǒng)計表

判斷與證明等差數(shù)列或等比數(shù)列是高考中的一個基本題型,常出現(xiàn)在17題的位置,與求數(shù)列的通項公式一起考察,備考要求學(xué)生牢固掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義,掌握判斷與證明等差數(shù)列或等比數(shù)列的方法.

(1)判斷與證明等差數(shù)列的方法

(2)判斷與證明等比數(shù)列的方法

例3(2017年高考全國卷I文科第17題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,已知S2=2,S3=-6,

(1)求{an}的通項公式.

(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否為等差數(shù)列.

解析(1)設(shè){an}的公比為q. 由題意可得解得q=-2,a1=-2.故{an}的通項公式為an=(-2)n.

總結(jié)需多加強(qiáng)判斷與證明等差數(shù)列或等比數(shù)列的通性通法的訓(xùn)練,判斷與證明等差數(shù)列或等比數(shù)列也常與求數(shù)列通項公式一起考察.

題型四：求通項公式

表5：近三年全國卷數(shù)列求通項公式考察統(tǒng)計表

由表五可以看出,全國卷在求數(shù)列通項公式的考察頻率上特別高,特別是文科試卷近三年都有考察,在備考時要求學(xué)生掌握常見的求通項公式的方法,多加強(qiáng)通性通法的訓(xùn)練.常見的求數(shù)列的通項公式的方法有：

例4(2018年高考全國卷I文科第17題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設(shè)

(1)求b1,b2,b3;

(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由;

(3)求{an}的通項公式.

解法1

(2){bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.由條件可得即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

解法2 (先做第二問,第三問用數(shù)學(xué)歸納法)

(1)由nan+1=2(n+1)an可得即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,所以bn=2n-1.從而,b1=1,b2=2,b3=4.

(2)由(1)可知所以{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

(3)猜想an=n·2n-1.以下用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.

1)當(dāng)n=1時,a1=1×20=1,猜想成立.

2)假設(shè)當(dāng)n=k時,ak=k·2k-1成立的,則當(dāng)n=k+1時,由nan+1=2(n+1)an,可得所以當(dāng)n=k+1時,an=n·2n-1成立.

解法3(用累乘法先求第三問)

(3)由nan+1=2(n+1)an可得當(dāng)n≥2時,當(dāng)n=1時,a1=1×20=1,滿足上式.所以an=n·2n-1.

(1)由(2)可知,b1=1,b2=2,b3=4.

總結(jié)本題難度不大,但解題的思路很多,可以按照題目的順序,先證明構(gòu)造好的數(shù)列是等差數(shù)列,再求通項公式,也可以通過猜想公式再用數(shù)學(xué)歸納法證明,還可以直接通過累乘法求通項公式.可見現(xiàn)在的數(shù)列題更多的是考察學(xué)生綜合的運用能力,應(yīng)該更多的注重基本知識基本能力的訓(xùn)練.

例5(2018年高考全國I卷理科第14題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=____.

解析因為Sn=2an+1,所以a1=2a1+1,a1=-1,又因為Sn+1-Sn=2an+1-2an=an+1,所以an+1=2an,又因為a1+a2=2a2+1,所以a2=-2,故{an}是以-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以an=(-1)2n-1,故當(dāng)n=6時,S6=1-26=-63,故本題正確答案為-63.

總結(jié)利用Sn與an的關(guān)系求通項公式,是求通項公式的核心方法,也是高考?？嫉念}型,需多加強(qiáng)這一題型的訓(xùn)練,在解題時要注意n=1的情況,滲透分類討論的思想.

題型五：求數(shù)列的前n項和

表：近三年全國卷求數(shù)列的前n項和考察統(tǒng)計表

由表6可以看出數(shù)列的前n項和是高考常見的考點,數(shù)列的前n項和是數(shù)列的重要特征量,在備考時要求學(xué)生掌握常見的求通項公式的方法,需要多加強(qiáng)通性通法的訓(xùn)練,常見的求數(shù)列的通項公式的方法有：

常見的裂項方法：

③錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的,若an=bn·cn,其中{bn}是等差數(shù)列,{cn}是公比為q的等比數(shù)列(如2014年全國I卷文科第17題).

例6(2017年全國III卷文科第17題)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+···+(2n-1)an=2n.

(1)求{an}的通項公式;

解析(1)因為,a1+3a2+···+(2n-1)an=2n①,所以n≥2時,a1+3a2+···+(2n-3)an-1=2(n-1)②, ①-②得,(2n-1)an=2,又n=1時,a1=2適合上式.所以

總結(jié)本題難度不大,第1小題運用了利用Sn與an的關(guān)系求通項公式,注意當(dāng)n=1時的情況.第2題運用了裂項相消法求數(shù)列前n項和,掌握常見的相消的方法即可解決.本題滲透了化歸與轉(zhuǎn)化,分類討論的思想.

題型六.創(chuàng)新題型

表7：近三年全國卷數(shù)列創(chuàng)新題型考察統(tǒng)計表

數(shù)列在實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用,隨著高考對創(chuàng)新意識和能力要求的進(jìn)一步增加,這一部分內(nèi)容也將受到越來越多的關(guān)注.數(shù)列創(chuàng)新題也應(yīng)隨之受到重視.

例7 (2017年高考全國I卷理科第12題)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )

A.440 B.330 C.220 D.110

解析當(dāng)N=110時,所以S110=(21-1)+(22-1)+(23-1)+···+(214-1)+1+2+22+23+24=-14+31=215+15不為2的整數(shù)冪,排除D;當(dāng)N=220時,所以S220=(21-1)+(22-1)+(23-1)+···+(220-1)+1+2+22+···+29==221+210-23不為2的整數(shù)冪,排除C;當(dāng)N=330時,330=所以S330=(21-1)+(22-1)+(23-1)+···+(225-1)+1+2+22+23+24=-25+31=226+4不為2的整數(shù)冪,排除B;當(dāng)N=440時,所以S440=(21-1)+(22-1)+(23-1)+···+(229-1)+1+2+22+23+24=-29+31=230,故選A.

總結(jié)數(shù)列創(chuàng)新題通過創(chuàng)設(shè)新穎情境,要求考生靈活運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識,分析問題并解決問題,同時為考查考生創(chuàng)新應(yīng)用意識創(chuàng)設(shè)了平臺,對考生的閱讀理解能力、推理論證能力及理性思維進(jìn)行了全面的考查.

雖然數(shù)列部分近三年來考察較為簡單,但仍然是高考一個重要的考點,也綜合考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論的思想,運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力、創(chuàng)新探究能力等.在備考時仍然需要引起重視,建議強(qiáng)化數(shù)列部分通性通法的復(fù)習(xí)與訓(xùn)練,不要加大數(shù)列難題與技巧類題目的訓(xùn)練.