參數(shù)思想在解析幾何中的應用

井炳怡

【摘要】數(shù)學解析幾何問題一直是比較有難度的問題，但是可以用參數(shù)思想來解決。本文首先闡述了數(shù)學學科中參數(shù)思想的相關(guān)內(nèi)容，然后從選取參數(shù)的一般原則、選取參數(shù)的一般方法、建立參數(shù)方程和具體例題分析這四方面思考參數(shù)思想在解析幾何中的應用，希望對高中同學帶來一定的啟示，合理運用函數(shù)思想解決解析幾何問題。

【關(guān)鍵詞】參數(shù)思想;解析幾何;參數(shù)方程

引言

解析幾何是數(shù)學科目中的一項重點問題，一般會使用代數(shù)方法來解決，但是在解題時融入?yún)?shù)思想，就能夠?qū)⒋鷶?shù)與圖形更好的結(jié)合起來，從而降低解析幾何的難度，更加形象直觀的分析幾何問題。所以我們在對待幾何問題的時候，可以適當?shù)剡\用參數(shù)思想建立參數(shù)方程，從而化繁為簡，總結(jié)規(guī)律，解決問題。下面就來談一談函數(shù)思想在解析幾何中的應用問題。

1.參數(shù)思想

在近幾年的中高考中，數(shù)學學科都注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，這就需要我們運用一定的數(shù)學思想解決數(shù)學問題。參數(shù)思想是很重要的一種數(shù)學思想，其可以反應變量之間的關(guān)系。在分析解析幾何問題時，可以把題干中的條件當做是變量，選擇出參數(shù)，建立起參數(shù)方程，分析坐標x坐標Y之間的關(guān)系，運用這種思路進行解題的思想就叫做參數(shù)思想。在直角坐標系中，如果坐標x和y在一條曲線上，那么就可以列出這條曲線的方程：x=f（t）;y=g（t），而x和y就是參數(shù)t的函數(shù)，則通過方程帶入的其他坐標點，應該都在這條曲線上，那么該方程就叫做x，y所在曲線的參數(shù)方程。

2.參數(shù)思想在解析幾何中的應用

2.1 選取參數(shù)的一般原則

運用函數(shù)思想來解決解析問題的時候，首先就是要面臨參數(shù)的選擇問題，參數(shù)選擇應該遵循一定的原則，要做出以下的思考。第一，曲線上的任意坐標是否可以通過某一參數(shù)方程而確定出來;第二，x與y之間的關(guān)系是否可以容易得出方程。在具體選擇參數(shù)是一定要考慮題干中給出的條件，例如：線段長度、動點的坐標、旋轉(zhuǎn)角等，為了更好地列出參數(shù)方程，可以選擇兩個或以上的參數(shù)，通過參數(shù)之間的關(guān)系，列出普通方程。但是還是應該采取少設(shè)方程的原則，以減低解題的麻煩程度。在具體解題有時，有時可能需要把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，這時可以使用消去參數(shù)的方法去操作。如果f（t）與g（t）為多項式時，適合使用代入消元法，如果二者是t的三角函數(shù)，則可以使用三角恒等式，在進行方程轉(zhuǎn)換時，一定要注意保證方程變量取值的一致性。

2.2 選取參數(shù)的一般方法

在數(shù)學科目之中，軌跡方程、證明幾何量的關(guān)系和曲線問題等題目通常可以應用參數(shù)思想進行分析，一般我們在解題時，會認為選擇參數(shù)與消除參數(shù)是較難的地方。對于這樣的問題，應該對做相關(guān)的習題，掌握選參與消參的規(guī)律性方法，從而提升自己的解題能力。為了在題目中建立出正確的參數(shù)方程，可以選擇截距、角度等條件作為參數(shù)，但是一定要參照圖形特點進行選擇。這里給大家有幾種常用的引參方式，比如比例參數(shù)、角參數(shù)、截距參數(shù)、點參數(shù)等，我們可以進行推理運算，從題目中創(chuàng)建出目標變量和參數(shù)間的關(guān)系，之后消除區(qū)參數(shù)，進行計算，從而得到結(jié)果，但是在計算過程中應該注意參數(shù)范圍問題。

2.3 建立參數(shù)方程

在應用函數(shù)思想解決解析幾何問題的時候，建立參數(shù)方程是至關(guān)重要的一步，其直接影響解題環(huán)節(jié)的正確與否。一般普通方程是反應x和Y之間的關(guān)系，而參數(shù)方程則是借助參數(shù)去反映二者之間的關(guān)系，這種關(guān)系是間接的。以曲線方程為例，在曲線普通方程之中基本會有兩個變量，而曲線的參數(shù)方程之中，會多出一個變數(shù)和方程，但是在進行解題時依然可以將其當做普通方程一樣進行思考。如果可以從題干中列出參數(shù)方程，則可以通過消參將其轉(zhuǎn)化為普通方程，如果列出普通方程，可以選擇一定的參數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程。參數(shù)方程與普通方程都能夠表達關(guān)系，二者只是形式不同而已。在求曲線方程的時候，可以通過以下步驟進行解題，第一，可以根據(jù)題干建立出坐標系，然后選擇隨意的一點坐標，用x和Y表示;第二，依據(jù)已知條件進行參數(shù)的選擇;第三，引用參數(shù)，分析變量間的關(guān)系建立出相關(guān)表達式;第四，將取曲線用參數(shù)方程表示，得到最終答案。在數(shù)學試題中，通常參數(shù)方程還有雙曲線、拋物線、圓等多種常見的表示方式，但是建立方程的時候，分析思路都是相近的，都可以按照以上步驟進行解題。

2.4 具體例題分析

這里舉出一個簡單的例題，來具體分析一下如何利用參數(shù)思想解決解析幾何問題。以軌跡問題為例，有兩條垂直的直線分別與拋物線zy=x相交，相交的兩點用M，N表示，求線段M，N中點的軌跡方程。這道題就可以先設(shè)出k，并假設(shè)k不為0，因為M和N都在這一條曲線上，那么就可以列出L_OM為y=kx，L_ON為y=-1/kx，之后將這兩個方程進行聯(lián)立，得到M（k，k²），用同樣的方法求得N（-1/k，1/k²），這時M， N兩點的坐標就得出了，再設(shè)M， N中點為Z（x，y），就可以列出這樣的方程：，最后再消去k，得到最終的方程為y=2x²+1，這就是線段M，N中點的軌跡方程。

結(jié)語

綜上所述，為了更好的解決解析幾何等相關(guān)問題，我們需要應用參數(shù)思想，一定要注意選取參數(shù)的原則和方法，將其與代數(shù)結(jié)合起來，通過已知條件建立出相關(guān)參數(shù)方程，從而解決題目。以上就是本人通過學習和研究，總結(jié)出的對于解析幾何中運用參數(shù)問題的思考，希望可以為其他同學帶來幫助。

【參考文獻】

[1]佟雅楠.探析數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學解題中的有效應用[J].課程教育研究，2017（07）：155-156