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    淺談高等數(shù)學(xué)中兩類二階導(dǎo)數(shù)的計算

    2016-11-25 20:38:03鄧小宇
    科技視界 2016年25期
    關(guān)鍵詞:參數(shù)方程

    鄧小宇

    【摘 要】二階導(dǎo)數(shù)的計算是高等數(shù)學(xué)中非常重要的教學(xué)內(nèi)容。由于多元復(fù)合函數(shù)和參數(shù)方程的特殊性,多元復(fù)合函數(shù)和參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)學(xué)生掌握起來比較困難。因此,本文簡單的談?wù)勥@兩類二階導(dǎo)數(shù)的計算方法。

    【關(guān)鍵詞】多元復(fù)合函數(shù);參數(shù)方程;二階導(dǎo)數(shù)

    在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中,二階導(dǎo)數(shù)的計算是教學(xué)中的一個難點。二階導(dǎo)數(shù)是在一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上再求一次導(dǎo),各種類型下函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的計算學(xué)生基本上都沒問題,但是不同類型下的二階導(dǎo)數(shù)的計算思路各不相同,學(xué)生掌握起來比較困難。因此,本文簡單談?wù)劧嘣獜?fù)合函數(shù)和參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)的計算方法。

    1 多元復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

    多元復(fù)合函數(shù)的類型多種多樣,這里僅以一種類型加以說明。

    設(shè)z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y),如果函數(shù)u=φ(x,y),v=ψ(x,y)都在點(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求,或的二階偏導(dǎo)數(shù)。多元復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計算是在一階偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上再求一次偏導(dǎo)數(shù)。必須注意的是,在第二次求導(dǎo)數(shù)的過程中,具有與變量z相同的函數(shù)結(jié)構(gòu),、得看成是以u、v為中間變量,x、y為自變量的復(fù)合函數(shù)。

    例1、設(shè)w=f(x+y+z,xyz),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求。

    2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

    設(shè)參數(shù)方程的一般形式為x=φ(t)y=ψ(t)α≤t≤β,其確定的一元函數(shù)為y=f(x)。由復(fù)合函數(shù)以及反函數(shù)的求導(dǎo)法則,有

    如果x=φ(t)、y=ψ(t)還是二階可導(dǎo)的,那么從(1)式又可得到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。此時,(1)式兩端同時對變量x求導(dǎo)。右端變量t看成是變量x的函數(shù),t的表達式看成是以t為中間變量,x為自變量的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及反函數(shù)的求導(dǎo)法則,即可得到參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)。

    例2、求參數(shù)方程x=costy=sint確定的函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)。

    由以上例題可知,只要弄清楚變量之間的關(guān)系,求解多元復(fù)合函數(shù)以及參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)就不再是一件困難的事情了。

    【參考文獻】

    [1]吳傳生.經(jīng)濟數(shù)學(xué)——微積分[M].高等教育出版社,2014.

    [2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社,2011.

    [責任編輯:李書培]

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