空間第二類曲線積分計(jì)算方法

【摘要】研究了空間第二類曲線積分的三種基本計(jì)算方法，并通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明每種方法的具體應(yīng)用和解題時(shí)需注意的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】第二類曲線積分 參數(shù)方程 斯托克斯公式

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）37-0151-02

初學(xué)者對(duì)平面第二類曲線積分計(jì)算掌握比較熟練，對(duì)處理空間第二類曲線積分問(wèn)題往往無(wú)從下手。本文介紹計(jì)算空間第二類曲線積分常用的三種方法，并說(shuō)明具體解題時(shí)需注意的問(wèn)題。

一、參數(shù)方程法

根據(jù)曲線參數(shù)方程計(jì)算空間第二類曲線積分是參數(shù)法計(jì)算平面曲線積分情形的推廣，也是計(jì)算空間第二類曲線積分最常用的方法之一。

參數(shù)方程法內(nèi)容如下：設(shè)有向曲線 的參數(shù)方程為x= （t）y=？鬃（t）z=？棕（t），則 P（x，y，z）dx+Q（x，y，z）dy+R（x，y，z）dz= {P[ （t），？鬃（t），？棕（t）] '（t）+Q[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？鬃'（t）+R[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？棕'（t）]}dt.

其中下限？琢對(duì)應(yīng) 的起點(diǎn)，上限？茁對(duì)應(yīng) 的終點(diǎn)。

用參數(shù)法計(jì)算空間第二類曲線積分，關(guān)鍵是寫出曲線的參數(shù)方程。高等數(shù)學(xué)習(xí)題和考研題中，第二類曲線積分涉及的空間曲線最常見的是線段和圓兩種類型。

下面各舉一例說(shuō)明算法和需要注意問(wèn)題。

例1 計(jì)算 xdx+ydy+（2x+y-z）dz，其中 為由A（1，1，1）到B（2，3，4）的直線段。

解 直線段AB的方程是 = = ，化為參數(shù)方程得：x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t從0變到1.

所以 xdx+ydy+（2x+y-z）dz= [（t+1）+（2t+1）·2+（t+2）·3]dt=13.

注1 當(dāng)直線段垂直某個(gè)坐標(biāo)軸時(shí)，則直線段對(duì)該坐標(biāo)的第二類曲線積分為零。

例2 計(jì)算 xyz d z，其中 是由平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得曲線，從z軸正向看去，沿逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

解 由y=zx +y +z =1得x +2y =1，故 的參數(shù)方程可設(shè)為x=cos ty= sin tz= sin t，t從0變到2？仔. xyz d z= cos t sin tdt= ×4 cos2t（1-cos2t）dt= （ × - × × ）=

注2 曲線化為圓參數(shù)方程時(shí)，主要利用同角的正弦余弦平方和為1這個(gè)公式。

注3 曲線化為圓參數(shù)方程時(shí)，根據(jù)曲線的方向，寫準(zhǔn)參數(shù)的起止范圍。

二、 斯托克斯公式法

斯托克斯公式是格林公式的推廣，表達(dá)了曲面積分和沿曲面的邊界曲線的曲線積分之間的聯(lián)系，具體可表達(dá)為 dydz dzdx dxdy P Q R= Pdx+Qdy+Rdz，或 cos ？琢 cos ？茁 cos ？酌 P Q Rd S= Pdx+Qdy+Rdz，其中 的正向與 的側(cè)符合右手規(guī)則，{cos ？琢，cos ？茁，cos ？酌}為 在點(diǎn)（x，y，z）處的法向量。

例 3 計(jì)算 （y2-z2）dx+（2z2-x2）dy+（3x2-y2）d z，其中 是平面x+y+z=2與柱面x+y=1的交線，從z軸正向看， 為逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

解

（y2-z2）dx+（2z2-x2）dy+（3x2-y2）dz= y2-z2 2z2-x2 3x2-y2 d S= （-8x-4y-6z） d S= [-8x-4y-6（2-x-y）] × dx dy= （-12-2x+2y）dx dy =-12 dxdy+0=-24.

注4 斯托克斯公式計(jì)算曲線積分，曲面的側(cè)和曲線的正向一定要滿足右手規(guī)則。

三、投影算法

投影算法就是把空間曲線投影到某一個(gè)坐標(biāo)面，轉(zhuǎn)化為平面曲線積分計(jì)算。

例4 計(jì)算 （z-y）dx+（x-z）dy+（x-y）dz，其中 是曲線x2+y2=1x-y+z=2，從z軸正向看， 為逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

解

（z-y）dx+（x-z）dy+（x-y）dz= L[（2-x+y）-y]dx+[x-（2-x+y）]dy+（x-y）d（2-x+y）= L（2-2x+y）dx+（3x-2y-2）dy= （3-1）dxdy=2？仔.

其中L為 在坐標(biāo)面xOy上的投影，方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，D為L(zhǎng)圍成的閉區(qū)域，即D：x2+y2≤1.

空間第二類曲線積分的三種基本計(jì)算方法，各有自己特點(diǎn)。在解題時(shí)，需根據(jù)具體問(wèn)題選擇比較合適的方法來(lái)計(jì)算。

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作者簡(jiǎn)介：

董紅昌（1982年1月-），男，學(xué)歷：博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育研究。