數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力實(shí)踐探索

潘立方

摘要：幾何直觀是新課程標(biāo)準(zhǔn)的十大核心概念之一，對構(gòu)建學(xué)生整體的幾何框架，培養(yǎng)學(xué)生的幾何能力有著不可替代的作用，但因其“細(xì)小”和“簡單”教學(xué)中往往會被忽視。筆者從幾何直觀下圖形的認(rèn)識、組建、構(gòu)建到幾何直觀下圖形的整合和拓展四個(gè)步驟來闡述了如何對幾何直觀從“知”到“構(gòu)”的培養(yǎng)過程，總結(jié)了自己的實(shí)踐探索過程。

關(guān)鍵詞：幾何直觀能力；構(gòu)建直觀；思維動(dòng)態(tài)建構(gòu)

幾何直觀作為新課標(biāo)的十大核心概念，可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用，但是目前很多教師在幾何教學(xué)中太重視邏輯推理能力的培養(yǎng)，卻忽視了對學(xué)生幾何直觀地培養(yǎng)，甚至有些教師是一筆帶過，導(dǎo)致學(xué)生的思維更加難以建立本質(zhì)的直觀概念。在學(xué)的層面上，在某些圖形中學(xué)生對幾何直觀只停留在最基礎(chǔ)的層面，看到整體圖形的對稱性，卻忽視了“看圖”過程中相關(guān)圖形的全等性，對圖形認(rèn)識的表征某種屬性存在過程性的缺陷，導(dǎo)致過程性幾何直觀和幾何直觀思維的難以形成。對此，如何才能在我們的教學(xué)中構(gòu)建對幾何直觀的能力，筆者有了自己的思考和探索：

1、認(rèn)圖：幾何直觀下圖形的認(rèn)識

正如裴斯塔洛奇指出那樣：“直觀是全部認(rèn)識的基礎(chǔ)”，認(rèn)圖是圖形感官的第一知覺，學(xué)生對圖形的認(rèn)識使他們學(xué)習(xí)幾何圖形的基礎(chǔ)。那教師如何對學(xué)生進(jìn)行幾何直觀下圖形的認(rèn)識，筆者認(rèn)為主要分為以下兩種方式：

（1）在圖形認(rèn)識和構(gòu)建的過程中按技術(shù)手段分類，我們可以分為兩類：傳統(tǒng)作圖工具下圖形的認(rèn)識和多媒體等現(xiàn)代化手段下圖形的認(rèn)識。傳統(tǒng)的作圖工具作圖就是運(yùn)用三角板、刻度尺、圓規(guī)等傳統(tǒng)工具，按照題目要求作出圖形，再輔以不同顏色或陰影等具有區(qū)分度的手段，使學(xué)生更直觀的感受到幾何圖形的特征。

但是傳統(tǒng)的作圖工具作圖的圖形一般都是“靜態(tài)”的，如何能讓圖形“動(dòng)起來”，多媒體等現(xiàn)代化手段應(yīng)用而生。采用了電子白板、PAD等現(xiàn)代化教學(xué)工具，按照題目要求作出圖形，比起傳統(tǒng)的教學(xué)手段，能進(jìn)行圖形動(dòng)態(tài)化的研究，如在學(xué)習(xí)三類典型函數(shù)的過程中，教師往往會告訴學(xué)生，按照這樣的操作，在某些區(qū)域之間你可以選取無數(shù)的點(diǎn)然后進(jìn)行描繪，可以直觀地看到得知正比例函數(shù)的圖像是一條直線，反比例函數(shù)是一條曲線等結(jié)論，但在板書中特殊點(diǎn)的選取可操作性困難重重。反過來若通過現(xiàn)代技術(shù)手段，在多媒體上設(shè)計(jì)無數(shù)點(diǎn)的選取、連接、縮放等操作，便可以直觀地展現(xiàn)函數(shù)的特征，同樣對構(gòu)建學(xué)生平移、旋轉(zhuǎn)、折疊等多種變換型的幾何問題，能更加直觀，更加形象。

（2）在圖形認(rèn)識和構(gòu)建的過程中按作圖的精確性分類：我們可以大致也可分為兩類：標(biāo)準(zhǔn)圖和草圖。標(biāo)準(zhǔn)圖就是按照題意或者原有圖形作出相應(yīng)圖形，在作圖過程中把基本的幾個(gè)圖形要素再次拼裝起來，往往對一些缺失的動(dòng)態(tài)建構(gòu)幾何條件能起到“再現(xiàn)”的效果，從而引導(dǎo)思維的發(fā)生。草圖即在限定的時(shí)間內(nèi)，或者當(dāng)題目條件相對簡單時(shí)，可以按題意作出的圖形，但是在這些圖形中，對題意的基本幾何特征應(yīng)有所體現(xiàn)，所以草圖不草，簡潔明了。

2、組圖：幾何直觀下圖形的組建

當(dāng)一幅幾何圖形呈現(xiàn)出來時(shí)，并不是所有圖形的元素或者性質(zhì)都是對題目有效的條件，那如何分析圖形基本要素的組建，擯棄無效條件，篩選有效條件在幾何直觀的構(gòu)建中就尤為重要。

案例一，如圖1等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)E，連接AE，BE和CE，再以CE為邊作等邊△DEC，連接AD。已知∠AEB=110°，∠CEB=α°，當(dāng)△ADE為直角三角形時(shí)，求α的值。

一般拿到該題，許多學(xué)生會無從下手，思路的構(gòu)建也較為復(fù)雜，但是要求學(xué)生去試著畫一畫該圖，就會達(dá)到意想不到的效果：

師：如果讓你來畫這幅圖，你覺得可以從那個(gè)角度來分析特征量，再作圖？

生1：哦，兩個(gè)等邊三角形題意很明顯.

師：好，我們先來畫這兩個(gè)等邊三角形，那先畫哪一個(gè)？想想看為什么？

生2：（想了一下）等邊△ABC吧，因?yàn)榘创藞D可以大致估計(jì)出整個(gè)圖形大小，確定點(diǎn)C，再作等邊△DEC.

師：好，我們先作出這兩個(gè)等邊三角形，觀察一下是否有新的發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生作圖約2分鐘（如圖2）

生3：我看到了AB=BC=CA，∠A=∠B=∠ACB=60°，另一等邊三角形也是

師：如果我們不把兩個(gè)三角形重疊在一起這些性質(zhì)也存在的啊。這兩個(gè)三角形一部分重疊，又會有什么新的結(jié)論呢？

生4：哦，∠BCE=∠DCA類似于同角的余角相等，只是把90°變成了60°.

生5：我還發(fā)現(xiàn)△BCE≌ACD，那么∠BEC=∠ADC，問題就好解決了.

此例中，教師通過步步誘導(dǎo)，學(xué)生3對圖形直觀的認(rèn)知還停留在第一層次：未進(jìn)行組合、推理，只是把基本圖形形狀性質(zhì)的直接表述；學(xué)生2對圖形能整體把握，估算圖形的具體大小，也是直觀能力的側(cè)面體現(xiàn)；學(xué)生4對圖形直觀的認(rèn)知在第二層次，能在組合圖形中對基本要素角和邊能進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评?，并類比出相關(guān)知識；學(xué)生5已經(jīng)能綜合1、2層次的結(jié)論，從而能推理出該題第一步的解決方案。教師的作圖要求和層層設(shè)計(jì)提問，把學(xué)生認(rèn)識幾何直觀的認(rèn)識反饋都“串聯(lián)”在了一起，慢慢的組建了學(xué)生對幾何直觀的不同梯度認(rèn)知。

3、構(gòu)圖：幾何直觀下圖形的構(gòu)建

直觀既是抽象思維問題的信息源，又是途徑信息源，如果能巧妙的利用幾何直觀，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，學(xué)生便更容易接受和理解。尤其是近幾年核心素養(yǎng)的提出，幾何直觀的要求的增強(qiáng)，對學(xué)生作圖能力的要求有了很大的提升，所以幫助學(xué)生如何構(gòu)圖，是一個(gè)亟待解決的新問題。

常態(tài)下，筆者認(rèn)為圖形的構(gòu)建主要分以下三類進(jìn)行思考：

（1）按圖作圖：圖形從靜止到運(yùn)動(dòng)

在無特殊條件的情況下，圖形的呈現(xiàn)都是以靜態(tài)為主，在教學(xué)過程中可以引導(dǎo)讓學(xué)生自己繪制標(biāo)準(zhǔn)圖（如上述案例一），學(xué)生在自己作圖的過程中，層次性思維構(gòu)建出了先作什么，再作什么，把一幅靜止的平面圖形，動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)性的出現(xiàn)在認(rèn)知之中；亦或在動(dòng)點(diǎn)問題中，按照參考圖作出圖形運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)的圖像，以便達(dá)到更好的直觀性的呈現(xiàn)。

（2）按題作圖：圖形從抽象到形象

“題”是“圖”的文字和數(shù)字的抽象呈現(xiàn)；“圖”是“題”的直觀數(shù)量和位置表形象表達(dá)。往往構(gòu)建的程序按以下流程進(jìn)行：

理解題意→分析題中所需作圖形的幾個(gè)要素概念→按照圖形要素條件作出草圖→題目和圖形是否對應(yīng)的再次檢驗(yàn)→思考按照題意或者圖形的位置特征是否需要分類→必要時(shí)作出標(biāo)準(zhǔn)圖

案例二：點(diǎn)A，B，C都在半徑為 的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點(diǎn)H，若 ，則∠ABC所對的弧長等于（長度單位）.

通讀此題，我們會發(fā)現(xiàn)此題為幾何背景下的無圖題，這就需要我們將相對抽象的思考對象“圖形化”，以作圖、識圖來理解題意，探求解題思路。以幾何問題中的位置條件和數(shù)量條件為抓手，用位置關(guān)系來確定分類標(biāo)準(zhǔn)定類，用數(shù)量條件來約束圖形多樣性，縮小范圍，再根據(jù)所畫圖形直觀，結(jié)合位置和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探索轉(zhuǎn)化。此思路也可在幾何教學(xué)中較多運(yùn)用。這整個(gè)思維的過程，就是“幾何直觀”核心概念的本質(zhì)體現(xiàn)。

（3）按物構(gòu)圖：從現(xiàn)象到本質(zhì)

我們可以讓學(xué)生從豐富多樣的現(xiàn)實(shí)具體問題（圖形）中，抽象出類似的幾何圖形，通過研究圖形的數(shù)量和位置關(guān)系，從而解決實(shí)際的幾何問題，其過程如下：

如浙教版八年級上冊2.7節(jié)探索勾股定理的例二，求一個(gè)物體中兩個(gè)孔洞AB間的距離，解決問題的關(guān)鍵就是能構(gòu)造出以AB為斜邊的直角三角形，看到了這個(gè)直觀圖形的話，就可以用勾股定理來解決問題了，所以解決實(shí)際物體的位置關(guān)系時(shí)要通過給實(shí)際物體“定定位”、“找找形”、“構(gòu)構(gòu)圖”，體現(xiàn)建立基本數(shù)學(xué)圖形模型這一核心本質(zhì)。

（4）按知構(gòu)圖：圖形從平面到立體

幾何直觀中的空間觀念是對一個(gè)人周圍環(huán)境和實(shí)物的直接感知，是周圍三維空間在認(rèn)知上的構(gòu)建，所以它的形成必然是從低維度到高維度循序漸進(jìn)式地構(gòu)建的。初中數(shù)學(xué)的教材內(nèi)容編排中很好的體現(xiàn)了這個(gè)過程：如七年級中數(shù)軸是一維線性的幾何直觀；八年級中的平面直角坐標(biāo)系是二維面性的幾何直觀；九年級中的投影和立體圖形的是三維空間的幾何直觀的，所以在教與學(xué)的過程中，應(yīng)很好的感悟并實(shí)施這類直觀思維的螺旋上升。

4、整圖：幾何直觀下圖形的整合和拓展

（1）整合幾何直觀中的典型錯(cuò)誤構(gòu)圖：

①概念混淆型：對相同或者相似的概念混淆下作圖或者是把一個(gè)圖形的性質(zhì)和判定混淆了，如需作角平分線的，卻作成了中垂線。

②作圖不完整型：對圖形的認(rèn)知和理解不到位，作圖時(shí)往往會缺失某個(gè)細(xì)節(jié)，如做中垂線上下缺一個(gè)點(diǎn)（未理解兩點(diǎn)確定一條直線）；忘記標(biāo)記所要標(biāo)記的點(diǎn)（影響了下一步的推導(dǎo)或闡述）等等。

③理解不透徹型：對某些概念理解不到位所產(chǎn)生的錯(cuò)誤，如添加一個(gè)條件使兩個(gè)三角形全等，有些同學(xué)就添了圖形直觀中的隱藏條件（公共角、公共邊等），亦如要作要上的高與另一腰的夾角，理解成與底邊的夾角或者未進(jìn)行高的位置分類討論等.

④“眼見為實(shí)”型：缺乏對特征量的條件或者邏輯剖析，以錯(cuò)誤的直觀數(shù)據(jù)關(guān)系或者位置關(guān)系替代了邏輯說理過程。

（2）提取幾何直觀中圖形的組合

萬變不離其宗，雖然有形形色色的題目和圖形的構(gòu)建，但是他們的本質(zhì)是不會變化的：如邊、角某些特定組合的性質(zhì)：四邊形問題的本質(zhì)看成三角形的性質(zhì)與判定；角平分線和平行線會構(gòu)成等腰三角形模型；一線三直角或者一線三等角組合模型中會出現(xiàn)相似三角形（全等三角形）等，在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)學(xué)會理解、歸納并有意識的強(qiáng)化對基本圖形的認(rèn)識和運(yùn)用，不斷用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、理解我們的學(xué)校過程，應(yīng)該會成為教學(xué)中的亮點(diǎn)。

（3）建立動(dòng)態(tài)化的幾何直觀意識

圖形的研究不僅僅是靜態(tài)的，平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、中心對稱變換都可以使之達(dá)到動(dòng)態(tài)效果。如等邊三角形和120°的等腰三角形均可以看成是含30°的直角三角形的軸對稱變換后的組合圖形；又如平行四邊形是一個(gè)中心對稱圖形，這是一個(gè)剛性的、靜態(tài)的圖形，但是也可理解為圍繞中心旋轉(zhuǎn)180°，去認(rèn)識、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)，也不失為一種好的方法。

（4）構(gòu)建類比中的幾何直觀

類比思想是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想，幾何圖形中的類比也比比皆是，如當(dāng)兩個(gè)有公共頂點(diǎn)60°的角一部分重疊在一起，那余下部分就相等了就是類比同角的余角相等這一性質(zhì)而直觀推理得到的；再如三角形研究到特殊三角形的研究：三角形主要研究邊、角的基本性質(zhì)和高、中線、角平分線等其他性質(zhì)，到了特殊三角形時(shí)，類比研究仍舊是邊、角的基本性質(zhì)和高、中線、角平分線等其他性質(zhì)，只是當(dāng)條件強(qiáng)化時(shí)，對應(yīng)的性質(zhì)也適當(dāng)特殊化了。這個(gè)從課程結(jié)構(gòu)上的類比認(rèn)識和構(gòu)建對應(yīng)的幾何直觀，能大大提升教與學(xué)的“格局”。

（5）“栽培”生長式的幾何直觀樹

幾何直觀的認(rèn)識不是一蹴而就的，是隨著學(xué)生學(xué)習(xí)知識點(diǎn)增加和學(xué)習(xí)能力的增長而慢慢“生枝長葉”的，亦如此樹：

所以只有增長式、漸變式地看待我們的教學(xué)，理解和把握學(xué)生幾何直觀的構(gòu)建，像園丁一樣“栽培”學(xué)生的思維構(gòu)建，才能讓思維之樹經(jīng)得起“風(fēng)吹雨打”，最終開花結(jié)果。

抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言的結(jié)合，第一步就需要憑借幾何直觀圖形的直觀性，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形對象的幾何直觀是我們理解該類問題的第一部分，所以我們要把眼光從“知其然”到“知其所以然”，再要到“何由以知其所以然”的跨越，只有明白了這些問題，才能使學(xué)生在獨(dú)立面對一個(gè)數(shù)學(xué)對象時(shí)知道從哪里下手研究性質(zhì)，才能使學(xué)生自主探究，才能使發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力的培養(yǎng)落在實(shí)處。

參考文獻(xiàn)

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[3]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2011年版 人民教育出版社 2011年版

[4]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀 》北京師范大學(xué)出版社 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會編寫 2015年7月第16次版

（作者單位：浙江省杭州市蕭山區(qū)寧圍街道萬向初中）