源于直觀重在數(shù)學(xué)想象

周云

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，這些素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體。本文結(jié)合自身的教學(xué)活動(dòng)，對(duì)核心素養(yǎng)中直觀想象的培養(yǎng)做一些實(shí)踐探究。

關(guān)鍵詞：課程改革；核心素養(yǎng)；直觀想象；實(shí)踐

一、直觀想象的涵義

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

二、培養(yǎng)高中學(xué)生直觀想象的實(shí)踐

夸美紐斯和裴斯泰洛奇都是直觀想象的提倡者，裴斯泰洛奇繪出實(shí)物的圖片，以此為媒介教學(xué)生觀察與記述，進(jìn)行直觀教學(xué)實(shí)驗(yàn)，夸美紐斯在《大教學(xué)論》中還提出了許多重要的教學(xué)原則，如直觀性原則，要求“在可能的范圍以內(nèi)，一切事物都應(yīng)盡量放到感官跟前”。他們認(rèn)為：“直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察，就是直接把握對(duì)象的全貌?！?/p>

1.注重自制教具，自己動(dòng)筆畫圖形，讓學(xué)生體會(huì)直觀想象的形成過程

公開示范課《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，用一個(gè)“米”字破解了誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)過程，觀察圖像最明顯，接近學(xué)生原有的認(rèn)知水平，借助形象化的圖像表示抽象化的終邊對(duì)稱關(guān)系。學(xué)生得到了型如π-α，π+α，-α的誘導(dǎo)公式，簡(jiǎn)記為“函數(shù)名不變，正負(fù)看象限”。

根據(jù)皮亞杰的反省抽象理論，即使學(xué)生已經(jīng)積累了大量的操作經(jīng)驗(yàn)，但如果沒有對(duì)操作結(jié)果進(jìn)行思考，那么就會(huì)阻斷了學(xué)生學(xué)會(huì)新的思考方法的途徑。以下是我借鑒公開示范課的創(chuàng)意并應(yīng)用在課堂中的教學(xué)實(shí)踐，請(qǐng)學(xué)生完成一個(gè)類似的設(shè)計(jì)，證明sin -α=cosα，為學(xué)生提供思考、發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)會(huì)：

問題1 如果角α=30°，請(qǐng)同學(xué)寫出一些正弦值與cos30°相同或?yàn)橄喾磾?shù)的角。

問題2 如果角α是任意銳角，請(qǐng)同學(xué)畫出與cosα相同或?yàn)橄喾磾?shù)的角的終邊。

問題3 請(qǐng)大家把問題2中終邊相對(duì)應(yīng)的角用最簡(jiǎn)捷形式表示出來(lái)，并觀察該圖，寫出觀察到的等式。

學(xué)生在畫圖的時(shí)候，意外發(fā)現(xiàn)α與 -α的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，P（cosα，sinα）和Q（sinα，cosα）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，因此sin -α=cosα.接下來(lái)由上述圖像，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn) +α， -α， +α的誘導(dǎo)公式，簡(jiǎn)記為“函數(shù)名變，正負(fù)看象限”。

學(xué)生有了上述的設(shè)計(jì)、推導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)過程，從幾何出發(fā)，抽象出代數(shù)關(guān)系，再順理成章地將三角比的誘導(dǎo)公式 +α概括成一般性的口訣“奇變偶不變，正負(fù)看象限”，簡(jiǎn)單明了，輕松記憶，若干年后，可能數(shù)學(xué)知識(shí)全忘了，但這句口訣，終生難忘。

2.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)悟幾何特征，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開經(jīng)驗(yàn)、方法的積累，學(xué)生需要對(duì)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行反思、歸納、總結(jié)。通過對(duì)圖形的觀察，特別是運(yùn)動(dòng)中的不變性，抓住幾何特征，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，巧妙地解決一些難題。

以下是一道課堂習(xí)題課的教學(xué)片斷：

例：已知方程x+lnx-5=0，x+ex-5=0的實(shí)根分別是x1，x2，則x1+x2= 。

師：lnx=5-x，ex=5-x，直接解方程的話，貌似不會(huì)解？

生1：lnx1=5-x1？圳x1= ，對(duì)照方程組 =5-x2 =x1，猜測(cè)5-x2=x1，所以x1+x2=5。

師：很大膽的猜測(cè)，大家覺得答案對(duì)嗎？（同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭同意）怎么證明呢？

生2：函數(shù)f（x）=ex+x-5單調(diào)遞增，f（1）·f（2）<0，f（x）=ex+x-5只有一個(gè)零點(diǎn)，所以5-x2=x1。

師：理由非常充分，很完美的解答。既然是從函數(shù)的角度思考，那么是否有其他想法？

生3：數(shù)形結(jié)合，y=lnx，y=ex互為反函數(shù)，它們的圖像于y=x對(duì)稱，而y=5-x也關(guān)于y=x成軸對(duì)稱圖形，由圖像可知，交點(diǎn)為A（x1，y1）、B（x2，y2），它們關(guān)于點(diǎn)P ， 對(duì)稱，所以x1+x2=5。

師：想法很好，超越方程一般沒有解析解，而只有近似解，只有特殊的超越方程才可以求解。在大學(xué)階段常用的近似解法有牛頓切線法、冪級(jí)數(shù)解法等，也可以編制一段程序用計(jì)算機(jī)求解。但高中階段，更多的是化歸思想，利用數(shù)形結(jié)合求解。

以上設(shè)計(jì)著眼于發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的習(xí)題課教學(xué)，以學(xué)生熟悉的函數(shù)圖像為載體，這是學(xué)生現(xiàn)有的發(fā)展水平。引導(dǎo)學(xué)生畫出圖像，對(duì)稱軸的巧妙應(yīng)用是“點(diǎn)睛之筆”，這就是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。學(xué)生進(jìn)一步加深方程和函數(shù)的聯(lián)系，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。同樣的立體幾何的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力。以正方體、長(zhǎng)方體為模型和載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。

數(shù)學(xué)教師就是要以數(shù)學(xué)知識(shí)為核心，選擇具有教育價(jià)值的例題，在課堂中努力實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

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編輯 田香香