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    核心素養(yǎng)立意是高考數學命題的基本原則

    2019-04-20 02:34趙思林柴文斌胡富雅
    關鍵詞:立意高考數學核心素養(yǎng)

    趙思林 柴文斌 胡富雅

    摘 要:核心素養(yǎng)立意是高考數學命題的基本原則.從六個核心素養(yǎng)角度看,2018年高考數學全國卷部分試題的立意一般以某種核心素養(yǎng)為主,兼考其他一個或多個核心素養(yǎng).

    關鍵詞:高考數學;核心素養(yǎng);立意

    40多年來,我國高考數學命題的立意經歷了從“知識立意”到“能力立意”,再到“數學核心素養(yǎng)立意”的發(fā)展與轉變.以數學核心素養(yǎng)立意的高考命題,就是首先確定試題在數學核心素養(yǎng)和能力方面的考查目的,然后根據核心素養(yǎng)和能力考查的要求,選擇適當的知識和技能,設計恰當的情境和問題.以“核心素養(yǎng)立意”的試題一般不會只考查某一個核心素養(yǎng),比如考數學抽象素養(yǎng),那么命題的一般思路是以考查數學抽象為主,兼考其他一個或多個核心素養(yǎng).分析2018年高考數學全國卷發(fā)現,很多題目同時考查六個核心素養(yǎng)中的幾個素養(yǎng),單獨只考某一個核心素養(yǎng)的題目比較少.下面從六個核心素養(yǎng)的角度,對2018年高考數學全國卷部分試題的立意作分析和點評.

    一、以數學抽象立意

    高度的抽象性是數學的基本特征.數學基本概念的形成、公理體系的建立等都必須經歷抽象的過程.數學抽象在幾何(如平面幾何、立體幾何等)、代數(如函數、不等式、排列組合等)、向量、導數中都有廣泛的應用.數學抽象可以把具有生產生活背景的實際問題抽象為數學問題,并能夠將實際問題用抽象的概念和符號表示成數學模型.因此,數學抽象素養(yǎng)是高考的重要考點.

    例1 (2018年全國卷Ⅱ理科11題)已知[f(x)]是定義域為[(-∞, + ∞)]的奇函數,滿足[f(1-x)=f(1+x)].若[f(1)=2],則[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=] .

    A. -50 B. 0 C. 2 D. 50

    立意與分析1:本題考查抽象函數的奇偶性(對稱性)、周期性、數列求和等知識,考查數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).由[f(1-x)=f(1+x)]可知,函數[f(x)]的圖象關于直線[x=1]對稱,這里需要具有直觀想象素養(yǎng).又由[f(x)]是奇函數,可以推出函數[f(x)]是一個以4為周期的周期函數.

    解法1:(略).

    立意與分析2:由立意與分析1知,函數[f(x)]是一個以4為周期的周期函數.本題也可以采用特殊值法,即把函數[f(x)]看成(當成)一個特殊的函數.怎樣找到(或構造)這個特殊的函數呢?首先,注意到[f(x)]是周期函數,容易聯想到三角函數;其次,由[f(x)]是定義域為[(-∞, + ∞)]的奇函數,可聯想到正弦型函數[Asin(ωx+φ)],由周期[T=4=2πω]可取[ω=π2],從而,這個正弦型函數可能是[Asin(π2x+φ)];接著,注意到[f(0)=0],因此可猜想這個正弦型函數可能是[Asinπx2];最后,由[f(1)=2],可把[f(x)]看成[h(x)=2sinπx2].到此,就構造出滿足題設四個條件(定義域是[(-∞, + ∞)],奇函數,[f(1-x)=f(1+x)]及[f(1)=2])的一個具體函數了,問題就容易解答.

    解法2:(用特殊值法)構造[h(x)=2sinπx2].易知[h(x)]滿足題目的所有條件,因此可以取[f(x)=h(x)].計算得,[h(1)=2, h(2)=0, h(3)=-2, h(4)=0].

    所以[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12][ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2.

    故選C.

    評注:本題以抽象函數為載體,以周期函數為背景,主要考查了數學抽象素養(yǎng),也兼考邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).具體地說,為考查數學抽象這一核心素養(yǎng),題目設計了一個具有奇偶性、對稱性、周期性等的抽象函數[f(x)].由于題目中的函數符號[f(x)]、函數方程[f(1-x)=f(1+x)],以及求和形式[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)]都具有抽象性,因此考生只有破解這些抽象性,才能得到答案.考生要想破解這些抽象性,可以考慮運用“形”的直觀性,即是說,利用“[f(x)]是定義域為[(-∞, + ∞)]的奇函數”等價于“[f(x)]的圖象關于坐標原點對稱”,“[f(1-x)=][f(1+x)]” 等價于“函數[f(x)]的圖象關于直線[x=1]對稱”,通過畫圖不難發(fā)現[f(x)]是一個周期函數,并且一個周期為4.至此,問題的解答就容易了.對于數學抽象的考查一般有兩種方式:一是考查對問題及在問題解決過程中需要運用的數學抽象的方法,如引入符號、把問題一般化等才能解決問題;二是考查對抽象的符號、抽象的函數、抽象的方程、抽象的代數式等的認識、處理和運用,特別應重視充分發(fā)掘抽象的數學結構的幾何意義.特殊化、直觀化、具體化等是解決數學抽象問題的基本思維策略與方法.

    二、以邏輯推理立意

    邏輯推理是數學根本特色.推理包括合情推理和邏輯推理.邏輯推理是數學思維的基本形式之一.邏輯推理是培養(yǎng)學生理性思維的基本策略和重要抓手.絕大多數高考數學試題都與邏輯推理有關,或能找到邏輯推理的影子.

    例2 (2018年全國卷Ⅲ理科16題)已知點[M(-1, 1)]和拋物線C:[y2=4x],過C的焦點且斜率為k的直線與C相交與[A, B]兩點,若[∠AMB=90°],則[k=] .

    立意與分析:本題考查斜率公式、直線方程和拋物線等基礎知識,主要考查數學運算等核心素養(yǎng).若用“算”的方法,需解[y2=4x,y=k(x-1).]消元,得[k2x2-(4+2k2)x+k2=0],接著用韋達定理,并用直角坐標或向量法可以做下去,但計算過程較為煩瑣.若用拋物線定義和平面幾何知識,就可推出拋物線[y2=2px (p>0)]的一個重要性質:以焦點弦[AB]為直徑的圓與拋物線的準線相切,并且[MF⊥AB].利用[MF⊥AB],可大大減少運算量,達到多想少算的目的.

    解:設點[A, B]在準線上的射影點分別為[A1, B1],弦[AB]的中點為[K],則[AA1B1B]為直角梯形(圖略).顯然,點[M]在準線[x=-1]上.

    又因為[∠AMK=90°],

    所以[MK=AB2=AF+FB2=AA1+BB12].

    因此,[MK]是直角梯形[AA1B1B]的中位線.

    所以,點[M]為[A1B1]的中點,且[MK//AA1].

    所以,[∠MAA1=∠AMK].

    又由[MK=AK],知[∠AMK=∠MAK].

    所以[∠MAA1=∠MAF].

    因此[△MAA1]≌[△MAF](“邊角邊”).

    從而可得,[MF⊥AB].

    所以[k=kAB=-1kMF=2].

    評注:本題立意是考查解析幾何基本思想方法,即以解析幾何知識為載體考查數學運算等核心素養(yǎng).解析幾何的基本思想方法是用代數方法研究幾何問題,就是以“算”為主,這當然是通性通法.但對本題而言,這并不是最佳方法.若用拋物線定義和平面幾何知識,就可演繹推出[MF⊥AB],這樣就可以極大地減少運算量,享受“多想少算”的樂趣.本題作為填空題,只要畫一個草圖,上述邏輯推理的每一步的結論都可以在草圖上直觀地看出來(并不需要一步一步寫出來),這需要考生具備直觀想象素養(yǎng).

    三、以數學建模立意

    數學建模肩負培養(yǎng)和考查學生數學應用意識的重任.修訂后的高中新課標在高考和學業(yè)水平考試建議中,要求應有一定數量的應用問題,重點考查學生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識,問題情境的設計應自然、合理.因此,考查應用意識或考查數學建模是一條長期堅持的命題原則.

    例3 (2018年全國卷Ⅱ理科18題)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立[y]與時間變量[t]的兩個線性回歸模型.根據2000年至2016年的數據(時間變量[t]的值依次為[1, 2, …, 17])建立模型①:[y=-30.4+13.5t];根據2010年至2016年的數據(時間變量[t]的值依次為[1, 2, …, 7])建立模型②:[y=99+17.5t].

    (1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值;

    (2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.

    立意與分析:本題考查概率統(tǒng)計中的線性回歸模型、折線統(tǒng)計圖等基礎知識,考查數據分析、數學運算、統(tǒng)計評價等數學素養(yǎng).由已知數據來預測未來的數據,要求考生具有一定的數據分析能力.

    簡解:(1)模型①:當[t=19]時,[y=226.1](億元).

    模型②:當[t=9]時,[y=256.5](億元).

    (2)利用模型②得到的預測值更可靠.其理由是不唯一的,從略.

    評注:本題屬于“給定數學模型”的問題.第(1)問較簡單,只要不把[t]的值取錯,且運算能力過關,就不會有什么困難.第(2)問有幾大亮點:一是考查了考生的預測能力,預測能力是杰出人物的重要心理品格.有格言說“預則立,不預則廢”,這里的“預”是預測的意思,預測是對事物未來發(fā)展(趨勢)的提前把握,概率統(tǒng)計具有預測功能.二是考查統(tǒng)計評價,體現統(tǒng)計的預測功能和實用價值.三是通過本題考查考生的高級認知能力,從認知的角度看,評價屬于高層次、高水平的認知能力.通過概率統(tǒng)計的學習培養(yǎng)學生高層次認知能力,是一條非常有效的教學策略.四是考查考生的書面表達能力.五是第(2)問是一個(結論)開放性問題,這是因為第(2)問的理由的說明方法不唯一,屬于結論開放性問題.開放性問題是高中新課改和教育部考試中心大力倡導的,應予重視.

    四、以直觀想象立意

    想象是人類大腦最奇妙的現象之一.想象是人類進行創(chuàng)造性思維活動最基本的思維方式.直觀想象是指借助于圖形(圖象)、表格、模型等數學直觀性材料而產生的想象.直觀想象包括利用圖形描述、立意與分析數學問題等.想象包括直觀想象和非直觀想象.立體幾何承擔著培養(yǎng)和考查空間想象能力的重任.在學習立體幾何時,看圖、畫圖、判圖(判斷圖形)、想圖(想象圖形)、用圖(應用圖形)、構圖(構造圖形)等是培養(yǎng)空間想象素養(yǎng)的有效方法.數形結合是訓練直觀想象有效的途徑.在教學中,不能只重視通過幾何的學習來培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).教師也應適當關注非直觀的想象的培養(yǎng),讓學生把不直觀的數學對象想象成直觀的對象,把直觀的數學對象想象成不直觀的對象,這需要非凡的想象力.

    例4 (2018年全國Ⅰ卷理科12題)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面[α]所成的角相等,則[α]截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

    A. [334] B. [233] C. [324] D. [32]

    立意與分析:本題以正方體為立體模型,考查了直線與平面所成的角的概念、多面體的截面、多邊形的面積等知識,考查了直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng).先考慮把正方體切去一個大角(就是把同一頂點所引的三條棱全部都切掉),切去的這個大角上的三條棱所在直線與這個截面所成的角都相等,由此推出,切去大角的截面與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等.再由正方體的對稱性,找出與此截面平行且全等的另一個截面,則最大截面應位于這兩個平行截面的正中間,如圖所示.

    解:(略).

    五、以數學運算立意

    數學運算體現“量化”的數學觀,是數學重要的基本素養(yǎng)之一.運算能力是高考考查的重點之一,大部分題目對運算能力都有一些要求.數學運算一般是邏輯推理、數學建模和數據分析的基礎性素養(yǎng).數學是需要算的,但并不提倡硬算、蠻算、繁算,而是提倡“算”“想”結合,多想少算.

    例5 (2018年全國卷Ⅲ理科12題)設[a=log0.20.3],[b=log20.3],則( ).

    A. [a+b

    C. [a+b<0

    立意與分析:本題考查對數的運算、對數函數的性質和不等式的性質,主要考查數學運算等核心素養(yǎng). 題目中兩個對數式的真數相同,以及各選項中都含有[a+b, ab]結構,因此考慮把[a+b, ab]化成含有[1a,1b]的形式. 不難得到[a+ba?b=1a+1b=log0.30.4>1],即可獲解.

    解:觀察發(fā)現:題目中兩個對數式的真數相同,考慮到對數的底數相同時才便于運算,換底得[1a=log0.30.2],[1b=log0.32].再注意到各選項都含有[a+b, ab]結構,因此可考慮把[a+b,ab]化成含有[1a,1b]的形式.易知[a+ba?b=1a+1b=log0.30.2+log0.32=log0.30.4>1].又因為[a>0,b<0],所以[ab<0,a+b<0],因此[ab

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