核心素養(yǎng)立意是高考數學命題的基本原則

趙思林 柴文斌 胡富雅

摘 要：核心素養(yǎng)立意是高考數學命題的基本原則.從六個核心素養(yǎng)角度看，2018年高考數學全國卷部分試題的立意一般以某種核心素養(yǎng)為主，兼考其他一個或多個核心素養(yǎng).

關鍵詞：高考數學；核心素養(yǎng)；立意

40多年來，我國高考數學命題的立意經歷了從“知識立意”到“能力立意”，再到“數學核心素養(yǎng)立意”的發(fā)展與轉變.以數學核心素養(yǎng)立意的高考命題，就是首先確定試題在數學核心素養(yǎng)和能力方面的考查目的，然后根據核心素養(yǎng)和能力考查的要求，選擇適當的知識和技能，設計恰當的情境和問題.以“核心素養(yǎng)立意”的試題一般不會只考查某一個核心素養(yǎng)，比如考數學抽象素養(yǎng)，那么命題的一般思路是以考查數學抽象為主，兼考其他一個或多個核心素養(yǎng).分析2018年高考數學全國卷發(fā)現，很多題目同時考查六個核心素養(yǎng)中的幾個素養(yǎng)，單獨只考某一個核心素養(yǎng)的題目比較少.下面從六個核心素養(yǎng)的角度，對2018年高考數學全國卷部分試題的立意作分析和點評.

一、以數學抽象立意

高度的抽象性是數學的基本特征.數學基本概念的形成、公理體系的建立等都必須經歷抽象的過程.數學抽象在幾何（如平面幾何、立體幾何等）、代數（如函數、不等式、排列組合等）、向量、導數中都有廣泛的應用.數學抽象可以把具有生產生活背景的實際問題抽象為數學問題，并能夠將實際問題用抽象的概念和符號表示成數學模型.因此，數學抽象素養(yǎng)是高考的重要考點.

例1 （2018年全國卷Ⅱ理科11題）已知[f（x）]是定義域為[（-∞， + ∞）]的奇函數，滿足[f（1-x）=f（1+x）].若[f（1）=2]，則[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=] .

A. -50 B. 0 C. 2 D. 50

立意與分析1：本題考查抽象函數的奇偶性（對稱性）、周期性、數列求和等知識，考查數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).由[f（1-x）=f（1+x）]可知，函數[f（x）]的圖象關于直線[x=1]對稱，這里需要具有直觀想象素養(yǎng).又由[f（x）]是奇函數，可以推出函數[f（x）]是一個以4為周期的周期函數.

解法1：（略）.

立意與分析2：由立意與分析1知，函數[f（x）]是一個以4為周期的周期函數.本題也可以采用特殊值法，即把函數[f（x）]看成（當成）一個特殊的函數.怎樣找到（或構造）這個特殊的函數呢？首先，注意到[f（x）]是周期函數，容易聯想到三角函數；其次，由[f（x）]是定義域為[（-∞， + ∞）]的奇函數，可聯想到正弦型函數[Asin（ωx+φ）]，由周期[T=4=2πω]可取[ω=π2]，從而，這個正弦型函數可能是[Asin（π2x+φ）]；接著，注意到[f（0）=0]，因此可猜想這個正弦型函數可能是[Asinπx2]；最后，由[f（1）=2]，可把[f（x）]看成[h（x）=2sinπx2].到此，就構造出滿足題設四個條件（定義域是[（-∞， + ∞）]，奇函數，[f（1-x）=f（1+x）]及[f（1）=2]）的一個具體函數了，問題就容易解答.

解法2：（用特殊值法）構造[h（x）=2sinπx2].易知[h（x）]滿足題目的所有條件，因此可以取[f（x）=h（x）].計算得，[h（1）=2， h（2）=0， h（3）=-2， h（4）=0].

所以[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12][ f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）=2.

故選C.

評注：本題以抽象函數為載體，以周期函數為背景，主要考查了數學抽象素養(yǎng)，也兼考邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).具體地說，為考查數學抽象這一核心素養(yǎng)，題目設計了一個具有奇偶性、對稱性、周期性等的抽象函數[f（x）].由于題目中的函數符號[f（x）]、函數方程[f（1-x）=f（1+x）]，以及求和形式[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）]都具有抽象性，因此考生只有破解這些抽象性，才能得到答案.考生要想破解這些抽象性，可以考慮運用“形”的直觀性，即是說，利用“[f（x）]是定義域為[（-∞， + ∞）]的奇函數”等價于“[f（x）]的圖象關于坐標原點對稱”，“[f（1-x）=][f（1+x）]” 等價于“函數[f（x）]的圖象關于直線[x=1]對稱”，通過畫圖不難發(fā)現[f（x）]是一個周期函數，并且一個周期為4.至此，問題的解答就容易了.對于數學抽象的考查一般有兩種方式：一是考查對問題及在問題解決過程中需要運用的數學抽象的方法，如引入符號、把問題一般化等才能解決問題；二是考查對抽象的符號、抽象的函數、抽象的方程、抽象的代數式等的認識、處理和運用，特別應重視充分發(fā)掘抽象的數學結構的幾何意義.特殊化、直觀化、具體化等是解決數學抽象問題的基本思維策略與方法.

二、以邏輯推理立意

邏輯推理是數學根本特色.推理包括合情推理和邏輯推理.邏輯推理是數學思維的基本形式之一.邏輯推理是培養(yǎng)學生理性思維的基本策略和重要抓手.絕大多數高考數學試題都與邏輯推理有關，或能找到邏輯推理的影子.

例2 （2018年全國卷Ⅲ理科16題）已知點[M（-1， 1）]和拋物線C：[y2=4x]，過C的焦點且斜率為k的直線與C相交與[A， B]兩點，若[∠AMB=90°]，則[k=] .

立意與分析：本題考查斜率公式、直線方程和拋物線等基礎知識，主要考查數學運算等核心素養(yǎng).若用“算”的方法，需解[y2=4x，y=k（x-1）.]消元，得[k2x2-（4+2k2）x+k2=0]，接著用韋達定理，并用直角坐標或向量法可以做下去，但計算過程較為煩瑣.若用拋物線定義和平面幾何知識，就可推出拋物線[y2=2px （p>0）]的一個重要性質：以焦點弦[AB]為直徑的圓與拋物線的準線相切，并且[MF⊥AB].利用[MF⊥AB]，可大大減少運算量，達到多想少算的目的.

解：設點[A， B]在準線上的射影點分別為[A1， B1]，弦[AB]的中點為[K]，則[AA1B1B]為直角梯形（圖略）.顯然，點[M]在準線[x=-1]上.

又因為[∠AMK=90°]，

所以[MK=AB2=AF+FB2=AA1+BB12].

因此，[MK]是直角梯形[AA1B1B]的中位線.

所以，點[M]為[A1B1]的中點，且[MK//AA1].

所以，[∠MAA1=∠AMK].

又由[MK=AK]，知[∠AMK=∠MAK].

所以[∠MAA1=∠MAF].

因此[△MAA1]≌[△MAF]（“邊角邊”）.

從而可得，[MF⊥AB].

所以[k=kAB=-1kMF=2].

評注：本題立意是考查解析幾何基本思想方法，即以解析幾何知識為載體考查數學運算等核心素養(yǎng).解析幾何的基本思想方法是用代數方法研究幾何問題，就是以“算”為主，這當然是通性通法.但對本題而言，這并不是最佳方法.若用拋物線定義和平面幾何知識，就可演繹推出[MF⊥AB]，這樣就可以極大地減少運算量，享受“多想少算”的樂趣.本題作為填空題，只要畫一個草圖，上述邏輯推理的每一步的結論都可以在草圖上直觀地看出來（并不需要一步一步寫出來），這需要考生具備直觀想象素養(yǎng).

三、以數學建模立意

數學建模肩負培養(yǎng)和考查學生數學應用意識的重任.修訂后的高中新課標在高考和學業(yè)水平考試建議中，要求應有一定數量的應用問題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創(chuàng)新意識，問題情境的設計應自然、合理.因此，考查應用意識或考查數學建模是一條長期堅持的命題原則.

例3 （2018年全國卷Ⅱ理科18題）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y（單位：億元）的折線圖.為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立[y]與時間變量[t]的兩個線性回歸模型.根據2000年至2016年的數據（時間變量[t]的值依次為[1， 2， …， 17]）建立模型①：[y=-30.4+13.5t]；根據2010年至2016年的數據（時間變量[t]的值依次為[1， 2， …， 7]）建立模型②：[y=99+17.5t].

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

立意與分析：本題考查概率統(tǒng)計中的線性回歸模型、折線統(tǒng)計圖等基礎知識，考查數據分析、數學運算、統(tǒng)計評價等數學素養(yǎng).由已知數據來預測未來的數據，要求考生具有一定的數據分析能力.

簡解：（1）模型①：當[t=19]時，[y=226.1]（億元）.

模型②：當[t=9]時，[y=256.5]（億元）.

（2）利用模型②得到的預測值更可靠.其理由是不唯一的，從略.

評注：本題屬于“給定數學模型”的問題.第（1）問較簡單，只要不把[t]的值取錯，且運算能力過關，就不會有什么困難.第（2）問有幾大亮點：一是考查了考生的預測能力，預測能力是杰出人物的重要心理品格.有格言說“預則立，不預則廢”，這里的“預”是預測的意思，預測是對事物未來發(fā)展（趨勢）的提前把握，概率統(tǒng)計具有預測功能.二是考查統(tǒng)計評價，體現統(tǒng)計的預測功能和實用價值.三是通過本題考查考生的高級認知能力，從認知的角度看，評價屬于高層次、高水平的認知能力.通過概率統(tǒng)計的學習培養(yǎng)學生高層次認知能力，是一條非常有效的教學策略.四是考查考生的書面表達能力.五是第（2）問是一個（結論）開放性問題，這是因為第（2）問的理由的說明方法不唯一，屬于結論開放性問題.開放性問題是高中新課改和教育部考試中心大力倡導的，應予重視.

四、以直觀想象立意

想象是人類大腦最奇妙的現象之一.想象是人類進行創(chuàng)造性思維活動最基本的思維方式.直觀想象是指借助于圖形（圖象）、表格、模型等數學直觀性材料而產生的想象.直觀想象包括利用圖形描述、立意與分析數學問題等.想象包括直觀想象和非直觀想象.立體幾何承擔著培養(yǎng)和考查空間想象能力的重任.在學習立體幾何時，看圖、畫圖、判圖（判斷圖形）、想圖（想象圖形）、用圖（應用圖形）、構圖（構造圖形）等是培養(yǎng)空間想象素養(yǎng)的有效方法.數形結合是訓練直觀想象有效的途徑.在教學中，不能只重視通過幾何的學習來培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).教師也應適當關注非直觀的想象的培養(yǎng)，讓學生把不直觀的數學對象想象成直觀的對象，把直觀的數學對象想象成不直觀的對象，這需要非凡的想象力.

例4 （2018年全國Ⅰ卷理科12題）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面[α]所成的角相等，則[α]截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）.

A. [334] B. [233] C. [324] D. [32]

立意與分析：本題以正方體為立體模型，考查了直線與平面所成的角的概念、多面體的截面、多邊形的面積等知識，考查了直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng).先考慮把正方體切去一個大角（就是把同一頂點所引的三條棱全部都切掉），切去的這個大角上的三條棱所在直線與這個截面所成的角都相等，由此推出，切去大角的截面與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等.再由正方體的對稱性，找出與此截面平行且全等的另一個截面，則最大截面應位于這兩個平行截面的正中間，如圖所示.

解：（略）.

五、以數學運算立意

數學運算體現“量化”的數學觀，是數學重要的基本素養(yǎng)之一.運算能力是高考考查的重點之一，大部分題目對運算能力都有一些要求.數學運算一般是邏輯推理、數學建模和數據分析的基礎性素養(yǎng).數學是需要算的，但并不提倡硬算、蠻算、繁算，而是提倡“算”“想”結合，多想少算.

例5 （2018年全國卷Ⅲ理科12題）設[a=log0.20.3]，[b=log20.3]，則（ ）.

A. [a+b

C. [a+b<0

立意與分析：本題考查對數的運算、對數函數的性質和不等式的性質，主要考查數學運算等核心素養(yǎng). 題目中兩個對數式的真數相同，以及各選項中都含有[a+b， ab]結構，因此考慮把[a+b， ab]化成含有[1a，1b]的形式. 不難得到[a+ba?b=1a+1b=log0.30.4>1]，即可獲解.

解：觀察發(fā)現：題目中兩個對數式的真數相同，考慮到對數的底數相同時才便于運算，換底得[1a=log0.30.2]，[1b=log0.32].再注意到各選項都含有[a+b， ab]結構，因此可考慮把[a+b，ab]化成含有[1a，1b]的形式.易知[a+ba?b=1a+1b=log0.30.2+log0.32=log0.30.4>1].又因為[a>0，b<0]，所以[ab<0，a+b<0]，因此[ab