數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)下的一題多解

王淼生 黃勇

摘 要：數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，歷來(lái)是課程和教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.教師在教學(xué)中可以通過(guò)一題多解，充分展示培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的精髓，理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求出運(yùn)算結(jié)果，反思運(yùn)算歷程.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；一題多解

一、數(shù)學(xué)運(yùn)算

核心素養(yǎng)是我國(guó)新一輪課程改革的主要方向，體現(xiàn)高中課程的總體目標(biāo)，標(biāo)志著我國(guó)基礎(chǔ)教育進(jìn)入以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為中心的新階段.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是未來(lái)合格公民應(yīng)具備的最基本、最重要的學(xué)科素養(yǎng).基于數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》首次明確提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)運(yùn)算歷來(lái)是課程和教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指依據(jù)運(yùn)算法則，對(duì)數(shù)字、式子和量等運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行代換或變換，強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題的過(guò)程.數(shù)學(xué)運(yùn)算并不僅僅是指數(shù)學(xué)計(jì)算，也不能理解為一般意義上的數(shù)學(xué)計(jì)算.數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅包括數(shù)字的簡(jiǎn)單計(jì)算，還包括各種數(shù)學(xué)式子及方程的變形，以及極限、微積分、邏輯代數(shù)的運(yùn)算等.因此數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心就是理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果.下面以一道題的一題多解為例，闡述數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、題目呈現(xiàn)

如圖1所示，[AB]是半圓[O]：[x2+y2=1]（[y≥0]）的直徑，點(diǎn)[C]為半圓上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)[AC]到點(diǎn)[P]，使得[CP=CB].

當(dāng)點(diǎn)[C]從點(diǎn)[B]運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)[A]時(shí)，動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡的長(zhǎng)度是（ ）.

A.[2π] B.[322π]

C.[22π] D.[42π]

三、題目分析

（一）運(yùn)算對(duì)象

理解運(yùn)算對(duì)象是實(shí)施數(shù)學(xué)運(yùn)算的前提，否則數(shù)學(xué)運(yùn)算就成為無(wú)源之水、無(wú)本之木.例題涉及解析幾何中的直線、圓及它們之間的位置關(guān)系；涉及直線的方程、傾斜角、斜率；涉及平面幾何中的圓、等腰三角形、直角三角形相關(guān)性質(zhì)；涉及動(dòng)點(diǎn)軌跡及弧長(zhǎng)等運(yùn)算對(duì)象.

（二）運(yùn)算法則

掌握運(yùn)算法則是實(shí)施數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ).對(duì)于直線與圓相交可以聯(lián)立并解方程組，或運(yùn)用韋達(dá)定理，或借助點(diǎn)到直線的距離公式；對(duì)于斜率可以利用[k=tanα]，也可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示；對(duì)于幾何問(wèn)題，可以借助平面幾何中的性質(zhì)、定理（如三角形全等、相似）來(lái)處理.

（三）運(yùn)算方向

實(shí)施數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)鍵在于探究運(yùn)算方向，只有方向明確，才能保證運(yùn)算在正確的軌道上運(yùn)行.厘清問(wèn)題本質(zhì)是探究運(yùn)算方向的基石.例題本質(zhì)就是求滿足條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡，主要有定義法、代入法、參數(shù)法、幾何法、交軌法等，其中尤其關(guān)注軌跡純粹性.

（四）運(yùn)算方法

在明確運(yùn)算方向的背景下，任何數(shù)學(xué)運(yùn)算最終必須落實(shí)到具體方法與操作流程.解題教學(xué)中不僅要向?qū)W生闡述構(gòu)思?xì)v程，而且要展示詳細(xì)運(yùn)算過(guò)程，這既是數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的基本要求，也是培養(yǎng)運(yùn)算能力的具體操作，更是優(yōu)化思維品質(zhì)，提升核心素養(yǎng)的途徑.

（五）運(yùn)算程序

實(shí)施數(shù)學(xué)運(yùn)算是理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法之后面臨的關(guān)鍵問(wèn)題.設(shè)計(jì)有效、恰當(dāng)、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算程序是破解具體問(wèn)題的必由之路，更是解決同類及相似問(wèn)題的普遍方法，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，是實(shí)施高效解題教學(xué)的重要策略.

（六）運(yùn)算結(jié)果

數(shù)學(xué)運(yùn)算最終目的是求解結(jié)果，不僅運(yùn)算結(jié)果正確，而且追求最佳、最簡(jiǎn)結(jié)論，同時(shí)要善于反思、勇于質(zhì)疑.反思是解題教學(xué)的核心.反思解題思路，培養(yǎng)思維發(fā)散性；反思解題過(guò)程，培養(yǎng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性；反思解題結(jié)果，培養(yǎng)思維批判性；反思解題規(guī)律，培養(yǎng)思維創(chuàng)造性.

四、一題多解

五、感悟反思

（一）命題陷阱

從上述剖析過(guò)程可知，動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡方程為[（x-0）2+（y-1）2=2]（[x>-1]，[y≥0]），因此其軌跡為半圓，軌跡長(zhǎng)度為圓周長(zhǎng)的一半，這正是選項(xiàng)A.不少學(xué)生沒(méi)有注意到軌跡的純粹性，誤以為軌跡就是整個(gè)圓，這正是命題專家故意設(shè)置干擾項(xiàng)C的緣由.部分學(xué)生注意到[y≥0]，誤以為軌跡就是圓[（x-0）2+（y-1）2=2]在[x]軸上方的部分，從而得到軌跡長(zhǎng)度為該圓周長(zhǎng)的四分之三，這是命題專家設(shè)置干擾項(xiàng)B的依據(jù).正如上述解法3，不少學(xué)生誤以為軌跡是兩個(gè)圓，這是設(shè)置干擾項(xiàng)D的理由.針對(duì)選擇題，我們必須研究命題專家設(shè)置干擾項(xiàng)的“理由”，這是精準(zhǔn)解答選擇題的關(guān)鍵，也是預(yù)防錯(cuò)誤并得到正確結(jié)果的必經(jīng)之路.

（二）反思質(zhì)疑

波利亞將解題過(guò)程分為弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧反思等四個(gè)階段.弄清問(wèn)題即剖析條件之間的關(guān)聯(lián)，理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則；擬定計(jì)劃就是在探究運(yùn)算方向的前提下，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序；實(shí)施計(jì)劃就是選擇運(yùn)算方法并求得運(yùn)算結(jié)果；回顧反思是最重要也是最容易忽略的一個(gè)環(huán)節(jié)，通過(guò)回顧所完成的解答，并重新考慮和重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一結(jié)果的思路，鞏固知識(shí)，提高解題能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，提升運(yùn)算素養(yǎng).

比如，對(duì)于解法2，軌跡為何是半圓呢？源于點(diǎn)[C]本身只能在半圓[O]上運(yùn)動(dòng).對(duì)于解法3中的①→⑥，為何這樣配方呢？有何依據(jù)？因?yàn)榻夥?從本源上確定其軌跡是圓的一部分，既然是圓就一定可以這樣配方.解法3中怎么會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)圓呢？事實(shí)上，已知三角形一邊與其對(duì)角，其動(dòng)點(diǎn)軌跡本來(lái)就是兩段圓弧，只是因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)[C]在半圓[O]上運(yùn)動(dòng)，因此其軌跡只能是一個(gè)圓的一段弧.為何解法4中可以將[x2+y2]看作一個(gè)整體呢？其實(shí)，這并非是簡(jiǎn)單的換元法，而是因?yàn)榻夥?已經(jīng)明確軌跡為圓的一部分.既然是圓，依據(jù)圓的一般方程特點(diǎn)：[x2]與[y2]的系數(shù)相同且不為零，這才是看作一個(gè)整體的緣由；客觀地講，由（9）與（10）消去參數(shù)[α]以及由（12）消去參數(shù)[k]并不容易，正是解法2作為鋪墊，使得我們明確了運(yùn)算方向，于是在（10）式與（12）式兩邊同時(shí)減去1，為后續(xù)消去參數(shù)奠定基礎(chǔ).這也再一次說(shuō)明探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法（兩式平方相加）并非空穴來(lái)風(fēng)，而是建立在縝密分析的基礎(chǔ)上.事實(shí)上，在解法6中，利用三角函數(shù)的值域，容易得到[x>-1]，[y≥0]，正好與題意吻合，也恰好體現(xiàn)軌跡的純粹性.上述解法6與解法8畢竟僅僅含有一個(gè)參數(shù)，相對(duì)不算太難，而解法10中含有兩個(gè)參數(shù)[x0]，[y0]，必須承認(rèn)，從（14）（15）（16）及（17）中同時(shí)消去參數(shù)[x0]，[y0]是十分困難的，筆者也是經(jīng)歷長(zhǎng)時(shí)間摸索.遺憾的是，不少教師在實(shí)施運(yùn)算時(shí)，往往重視運(yùn)算方向、方法而忽視具體操作過(guò)程，不愿意甚至根本不舍得花時(shí)間來(lái)詳細(xì)演繹運(yùn)算過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生一看會(huì)做、一算就錯(cuò)、會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全.當(dāng)涉及運(yùn)算對(duì)象（[x]，[y]，[x0]，[y0]）較多，主要矛盾就是減元，這就是為何連續(xù)將（14）分別代入（15）（17），將（15）代入（16），將（18）代入（19），將（20）代入（21）的緣故，其終極目標(biāo)依然是奔著解法2的結(jié)果（圓）而去.如果沒(méi)有這一目標(biāo)，幾乎很難有效消去兩個(gè)參數(shù).

（三）不可分割

由上述分析過(guò)程，我們深刻感悟到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間你中有我，我中有你.它們既有區(qū)別又有聯(lián)系，既各有側(cè)重又和諧統(tǒng)一.數(shù)學(xué)運(yùn)算往往與直觀想象密切相關(guān)，上述解法3、解法4、解法6、解法8以及解法10（數(shù)學(xué)運(yùn)算）都是建立在解法2以及解法7（幾何直觀）的基礎(chǔ)上，通過(guò)幾何直觀，啟迪解題思路；數(shù)學(xué)運(yùn)算又與數(shù)據(jù)分析密不可分，數(shù)據(jù)就是信息，透過(guò)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，正是上述解法5中的數(shù)據(jù)，讓我們聯(lián)想到同弧上的圓心角為圓周角兩倍，進(jìn)而緊扣目標(biāo)（圓）；同時(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算還與邏輯推理不可分割，通過(guò)邏輯推理，發(fā)現(xiàn)隱含規(guī)律，上述解法3、解法4、解法6、解法8，尤其解法10中的邏輯推理過(guò)程非常復(fù)雜，在推理的同時(shí)關(guān)注運(yùn)算，在運(yùn)算的過(guò)程中體會(huì)推理，使得數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析以及幾何直觀等核心素養(yǎng)融為一體，相得益彰，在解題活動(dòng)中，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，在潛移默化中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).