冪級(jí)數(shù)在函數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用

趙青波

摘要：冪級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一種基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)計(jì)算中的一種重要“工具”，其在函數(shù)領(lǐng)域中有著較為廣泛的應(yīng)用，如在復(fù)變函數(shù)等領(lǐng)域中。冪級(jí)數(shù)在函數(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用決定了其在函數(shù)計(jì)算等過(guò)程中的重要性，一般來(lái)說(shuō)，運(yùn)用冪級(jí)數(shù)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、求數(shù)值級(jí)數(shù)的和、應(yīng)用在近似計(jì)算中、應(yīng)用在微分方程的解法、。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，通過(guò)把握冪級(jí)數(shù)在函數(shù)應(yīng)用中的關(guān)鍵點(diǎn)，也能夠起到事半功倍的作用，本論文通過(guò)分析冪級(jí)數(shù)在函數(shù)中具體應(yīng)用的基礎(chǔ)上，闡述冪級(jí)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)，以此來(lái)多方位的展示出冪級(jí)數(shù)的在函數(shù)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù);函數(shù);應(yīng)用

引言冪級(jí)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用是數(shù)學(xué)計(jì)算中解決函數(shù)問(wèn)題的一種有效思路，同時(shí)也能夠?yàn)楹瘮?shù)類型題的計(jì)算提供一種“捷徑”，通過(guò)對(duì)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，能夠觀察到，冪級(jí)數(shù)與函數(shù)之間存在著關(guān)聯(lián)性，這也是冪級(jí)數(shù)作為函數(shù)解題“工具”的基礎(chǔ)。如冪級(jí)數(shù)是函數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最基本的一類，在冪級(jí)數(shù)的收斂域上與函數(shù)之間存在的明確的關(guān)聯(lián)性，在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。本文通過(guò)對(duì)冪級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)的闡述，結(jié)合具體的解題思路，對(duì)冪級(jí)數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行分析。

一、冪級(jí)數(shù)概述

冪級(jí)數(shù)是指在級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)均為與級(jí)數(shù)項(xiàng)序號(hào)n相對(duì)應(yīng)的以常數(shù)倍的（x-a）的n次方（n是從0開(kāi)始計(jì)數(shù)的整數(shù)，a為常數(shù)）。以冪級(jí)數(shù)常見(jiàn)的三個(gè)性質(zhì)為例，以下進(jìn)行闡述。

1.∑ an xn 在 | x | < R 內(nèi)絕對(duì)收斂，在 | x | > R內(nèi) 發(fā) 散，其 中 R 稱? n=a 為收 斂半 徑，此時(shí)再根據(jù)Hadamard 公式進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算。

2.如果函數(shù)S（x）是收斂域（-a，a）上的連續(xù)函數(shù)，則S（x）在x=a左連續(xù)。

3.在收斂半徑（-a，a）的范圍內(nèi)，冪級(jí)數(shù)可以任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)或者求和，并且產(chǎn)生的新的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變。

二、冪級(jí)數(shù)在函數(shù)中的具體應(yīng)用

（一）利用冪級(jí)數(shù)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

在常規(guī)數(shù)學(xué)計(jì)算中，將冪級(jí)數(shù)運(yùn)用到求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)中，不僅能夠降低計(jì)算的復(fù)雜性，也能夠提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。以下，本論文將這種應(yīng)用分為三步進(jìn)行闡述。

首先，需要使用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法，并將其展開(kāi)到指定點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)，這是應(yīng)用的前提。其次，計(jì)算冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂域，這直接關(guān)系著后面的計(jì)算。

最后，需要使用泰勒級(jí)數(shù)的理念進(jìn)行冪級(jí)數(shù)的計(jì)算，即一個(gè)函數(shù)在指定點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，具有唯一性，冪級(jí)數(shù)相等情況下，x-x0次數(shù)相同的項(xiàng)，其系數(shù)也是相等的。

詳細(xì)如下：

（二）利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)值級(jí)數(shù)的和

在數(shù)值級(jí)數(shù)的和的計(jì)算的過(guò)程中，冪級(jí)數(shù)也有著自身的應(yīng)用性，在該計(jì)算中，應(yīng)用冪級(jí)數(shù)往往能夠提高計(jì)算的效率，以下，本論文將其具體分為三個(gè)步驟。

首先，需要將常值級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)，把其中的n次方項(xiàng)轉(zhuǎn)化為xn，以此來(lái)構(gòu)成冪級(jí)數(shù)，這是應(yīng)用冪級(jí)數(shù)的前提條件。

其次，需要對(duì)構(gòu)成的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行求解，將其收斂域與函數(shù)計(jì)算出來(lái)。

最后，借用冪級(jí)數(shù)的特性，冪級(jí)數(shù)收斂域中所組成的常值級(jí)數(shù)之和，與和函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)中的函數(shù)值是相等的。

（三）冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用

根據(jù)冪級(jí)數(shù)的特性，在函數(shù)的冪級(jí)數(shù)收斂域中的點(diǎn)上，相應(yīng)的函數(shù)值，其近似值可以用收斂域中的點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的常值級(jí)數(shù)的部分和近似，這也可以保證預(yù)期的準(zhǔn)確度。

冪級(jí)數(shù)應(yīng)用在近似計(jì)算中，有著自身的前提，即函數(shù)要能夠展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，如果能夠符合這個(gè)前提，則該應(yīng)用就充分成立，符合以下推論：f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+...+ahxh+...（-R

（四）微分方程的冪級(jí)數(shù)解法

f（ x） 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來(lái)時(shí)，計(jì)算 f（ x） 的定積分就遇到了困難，現(xiàn)在，可以利用冪級(jí)數(shù)取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算這些定積分的值.我們?cè)谟?jì)算積分時(shí)，當(dāng)具體要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級(jí)數(shù)，且積分限必須在冪級(jí)數(shù)的收斂域之內(nèi)，然后利用逐項(xiàng)積分來(lái)計(jì)算所求定積分的值。以下，本論文將這種應(yīng)用分為四個(gè)步驟進(jìn)行闡述：

首先，設(shè)微分方程的解函數(shù)為冪級(jí)數(shù)。

其次，解函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式代入微分方程，化簡(jiǎn)、合并等式兩端的同次項(xiàng)。

再次，比較等式兩端同次項(xiàng)的系數(shù)，得到所設(shè)冪級(jí)數(shù)的系數(shù)表達(dá)式。

最后，對(duì)于得到的冪級(jí)數(shù)，能夠求出和函數(shù)的，則和函數(shù)即為微分方程解的初等函數(shù)表達(dá)式;對(duì)于無(wú)法用初等函數(shù)描述的冪級(jí)數(shù)，則可以用其部分和作為微分方程的近似解。

三、冪級(jí)數(shù)在函數(shù)應(yīng)用中的關(guān)鍵

（一）函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的可能思路

常用的基本思想與方法為：借助級(jí)數(shù)的數(shù)乘、加減運(yùn)算法則、逐項(xiàng)可導(dǎo)、逐項(xiàng)可積的微分性質(zhì)，將函數(shù)變換成已知冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及收斂域的函數(shù)描述形式，然后借助運(yùn)算性質(zhì)寫出冪級(jí)數(shù). 該方法也稱為函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的間接法. 另外也基于函數(shù)在指定點(diǎn)處冪級(jí)數(shù)的唯一性，通過(guò)待定系數(shù)的方法求冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，從而得到最終的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

（1） 所求函數(shù)→變換為容易寫出冪級(jí)數(shù)的函數(shù)加減乘形式→對(duì)函數(shù)執(zhí)行加減、求導(dǎo)、求積→已有冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的函數(shù)→對(duì)函數(shù)及冪級(jí)數(shù)進(jìn)行逆運(yùn)算→所求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)。

（2） 已有冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式的函數(shù)→函數(shù)求導(dǎo)、求積分及冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式逐項(xiàng)求導(dǎo)、求積分→所求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

（3） 直接求各階導(dǎo)數(shù)，借助泰勒級(jí)數(shù)公式直接寫出相應(yīng)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式

一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)有兩種思路，即直接展開(kāi)法和間接展開(kāi)法，以下進(jìn)行詳述：

①直接展開(kāi)法：