“不變”的本質(zhì)，“變化”的思維

陳旭

摘? 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》關(guān)于課程的總目標(biāo)中指出，要讓學(xué)生“學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式”。在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用中都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想，它是在數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法基礎(chǔ)上進(jìn)行的更高層次的抽象和概括。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)。通常將數(shù)學(xué)思想與方法看成一個(gè)整體概念——數(shù)學(xué)思想方法 [1]。“變與不變”的思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要思想方法，也是日常生活常用的一種思想方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)中廣泛存在。

關(guān)鍵詞：變與不變;思想方法;本質(zhì);思維品質(zhì)

一、在“變與不變”中厘清算理

在四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)60÷20時(shí)很多學(xué)生想到：因?yàn)?÷2=3，所以60÷20=3，還有些學(xué)生做除法想乘法，似乎都不難得答案，但背后學(xué)生的思維訓(xùn)練卻不明顯，其實(shí)還可以巧妙構(gòu)思。

教學(xué)再現(xiàn)：四年級(jí)《兩位數(shù)除以兩位數(shù)》。

師：老師這里有6捆小棒和6根小棒你能擺一擺嗎？

學(xué)生選擇了6捆小棒很輕松就上臺(tái)擺出了3個(gè)2捆。

師：如果老師現(xiàn)在只有6根小棒，你還能不能把計(jì)算道理擺一擺？

生：老師，我能想象嗎？

師：可以。

生：我眼里看到的是1根小棒，腦子里想成1捆。2捆一份、2捆一份、2捆一份也能得到3。

師：聽明白了嗎？一起在腦海中想一想。

師：剛才分小棒的過程在二年級(jí)表示的是哪個(gè)算式？

生：6÷2=3。

師：剛才表示的是哪個(gè)算式呢？

生：60÷20=3。

師：如果這么想下去，你還能算出哪些算式？

生：600÷200=3，6000÷2000=3。

……

第一次學(xué)生在6捆小棒和6根小棒之間選擇的時(shí)候，腦海中強(qiáng)化的是計(jì)數(shù)單位。當(dāng)?shù)诙沃挥?根小棒的時(shí)候，眼里看到的1不只是代表1，此時(shí)學(xué)生的思維水平不一樣了。60÷20與6÷2相比，它們計(jì)數(shù)單位不同但算理相同，那么怎樣建立兩種教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系呢？學(xué)生在腦海中對(duì)“1根小棒”進(jìn)行聯(lián)想，當(dāng)作10根、100根、1000根……使其“以1當(dāng)10，以1當(dāng)100，以1當(dāng)1000……”同理，在加法計(jì)算中9+6=15可以用小棒來擺一擺、捆一捆，在計(jì)算90+60時(shí)仍然可以在腦海中以1當(dāng)10、100、1000……以此類推進(jìn)行總結(jié)與提升，這時(shí)已不再是1根小棒，一個(gè)計(jì)數(shù)單位，而是一類計(jì)數(shù)單位，一種數(shù)學(xué)模型。

擺小棒只是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的一種手段，通過操作來搭建計(jì)算之間的橋梁，建立算理之間的聯(lián)系，讓學(xué)生擺脫直觀的實(shí)物，將外顯的操作技能轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱的心智技能，從而抽象出清晰的算理。在這中間變化的是數(shù)，是算式，是計(jì)數(shù)單位，而不變的卻是算理。抓住了不變的算理，在這些變化的算式中，觀察比較、提煉總結(jié)，促進(jìn)知識(shí)之間的遷移，讓知識(shí)融會(huì)貫通，無形中也提升了學(xué)生的分析運(yùn)算能力。

二、在“變與不變”中揭示概念

數(shù)學(xué)概念是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能學(xué)習(xí)的奠基石，掌握數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和前提，然而數(shù)學(xué)概念的抽象性成了學(xué)生學(xué)習(xí)的絆腳石，因此在“變與不變”中去辨析理解，可以幫學(xué)生抽絲剝繭抓住概念的內(nèi)在本質(zhì)特征，內(nèi)化理解。

例如，在《分?jǐn)?shù)的意義》這一內(nèi)容的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于概念的理解總是云里霧里，只知道跟著老師提供的例子照葫蘆畫瓢跟著往里面套著說意義，熟能生巧后學(xué)生就會(huì)背誦“分?jǐn)?shù)的意義”的概念，那是否意味著學(xué)生真正理解并掌握了分?jǐn)?shù)的意義？我們的教學(xué)是重在理解分?jǐn)?shù)本質(zhì)的意義，還是重在熟記分?jǐn)?shù)形式化的“概念”？下面就結(jié)合片段談?wù)勅绾巫プ　白兣c不變”來幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義。

教學(xué)再現(xiàn)：五年級(jí)《分?jǐn)?shù)的意義》。

①? ? ②? ? ? ?③? ? ? ? ? ?④

圖1

師：這幾幅圖里分別是把什么給平均分了？

生：圖①是把一個(gè)月餅平均分，圖②是把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分，圖③是把1米長(zhǎng)的線段平均分，圖④是把8個(gè)圓片平均分。

問：為什么畫法不一樣都能表示？它們有什么相同之處？

生：都是把它們平均分成了4份，取這樣的3份。

師：數(shù)學(xué)除了研究不變，再思考一下還有哪些變了？

生：被平均分的材料不一樣。

師：圖①分的是幾個(gè)物體？

生：一個(gè)物體。（板書：一個(gè)物體）

師：圖②是把什么給平均分了？

生：一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：還能是什么圖形？

生：圓形、正方形等很多圖形都可以。

師：圖③被平均分的整體是什么？

師：可以換成1小時(shí)嗎？1千克呢？

生：可以的，還可以是1噸、1分鐘等。

師：這些我們統(tǒng)稱為計(jì)量單位。（板書：一個(gè)計(jì)量單位）

師：圖④平均分的是什么？

生：8個(gè)圓片。

師追問：圓片還能更多嗎？

生：可以是很多很多個(gè)圓片。

（根據(jù)學(xué)生的回答在圓圈內(nèi)出示更多的圓片）

師：也就是多個(gè)物體。（板書：一些物體）

師：那這些不同的物體被平均分了以后都可以用表示，說明了什么？

生：說明跟被平均分的份數(shù)以及表示的份數(shù)有關(guān)，跟是什么被平均分了無關(guān)。

師：像這樣的一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、許多物體組成的一個(gè)整體都可以叫作單位“1”。

……

五年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，其實(shí)質(zhì)是在三年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上的再認(rèn)識(shí)，是由三年級(jí)的具體表象認(rèn)識(shí)向抽象認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的一種提升。先結(jié)合學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)找出所表示的分?jǐn)?shù)，體會(huì)單位“1”在變，但不變的都是平均分成4份，表示這樣的3份，所表示的分?jǐn)?shù)沒有變化。在變化的單位“1”中辨析理解的意義，深化了分?jǐn)?shù)意義的概念。單位“1”還可以怎么變化，豐富了單位“1”的外延，不斷內(nèi)化對(duì)單位“1”的認(rèn)識(shí)，抽象出單位“1”的本質(zhì)屬性，對(duì)分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識(shí)開始從具體過渡到抽象。

三、在“變與不變”中把握關(guān)系

有些學(xué)生在“解決問題”時(shí)總是錯(cuò)誤率較高，在紛繁復(fù)雜的解決問題的情境中如何找到突破口，往往抓住變與不變的量去思考分析，就能化繁為簡(jiǎn)，讓問題迎刃而解。

教學(xué)再現(xiàn)：三年級(jí)《三位數(shù)除以一位數(shù)練習(xí)》。

圖2

師：仔細(xì)觀察這個(gè)表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：挖的天數(shù)不斷減少，每天挖的米數(shù)不斷增加。

師：什么變了？什么沒變？

生：挖的天數(shù)在變化，每天挖的米數(shù)也在變化。

師：每天挖的米數(shù)是隨著什么的變化而變化的呢？

生：每天挖的米數(shù)是隨著天數(shù)的變化而變化的。

師：什么不變？

生：水渠的總長(zhǎng)度不變。

師：從這個(gè)不變中你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：每天挖的米數(shù)×天數(shù)=水渠的總長(zhǎng)度。

……

在解決問題中這一思想的應(yīng)用很多，在“不變”的基礎(chǔ)上，抓住“變”的原因，在分析的過程中通過已知條件剖析“變”的原因，從“變”的原因中找到突破口，讓已知條件不斷清晰明朗，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在局部中把握全局。

四、在“變與不變”中探尋本質(zhì)

在學(xué)習(xí)了“面積”和“周長(zhǎng)”兩個(gè)概念后，很多同學(xué)經(jīng)常被這樣的題目所困惑：把一個(gè)長(zhǎng)方形不斷拉伸成平行四邊形，周長(zhǎng)在怎樣變化？面積在怎樣變化？

圖3

（借助一個(gè)活動(dòng)的長(zhǎng)方形框架演示不斷拉伸的過程）

師：在這個(gè)過程中周長(zhǎng)的長(zhǎng)短有變化嗎？

生：沒有，依然是這4根木條。

師：面積的大小變了嗎？

生：面積變了，在變小。

師：你是怎么知道面積在變小的？

生：在拉伸前后圖形底沒變，高在變小，面積就變小了。

師：大家再來仔細(xì)觀察一下，在拉伸的前后什么變了，什么沒變？

師：如果現(xiàn)在再把一個(gè)平行四邊形拉成一個(gè)長(zhǎng)方形，那面積又該怎么變化了呢？

生：不管怎么拉伸底是不變的，變化的是高，如果高增加面積就變大，如果高減少面積就變小。

……

在這一動(dòng)態(tài)的演示中引導(dǎo)學(xué)生觀察：圍成圖形的線的變化如何引起周長(zhǎng)和面積的變化。厘清需要關(guān)注的影響因素，思考什么變了什么不變，在辨析的同時(shí)逐步學(xué)會(huì)怎么去全面思考問題 [2]。在這樣的思維訓(xùn)練中培養(yǎng)了學(xué)生觀察、比較、分析、推理的能力，總結(jié)的過程也就是學(xué)生對(duì)數(shù)或形的概括能力的培養(yǎng)過程，數(shù)學(xué)思維也就發(fā)展了，無形中也發(fā)展了空間觀念。

從計(jì)算學(xué)習(xí)到解決問題，從圖形變化到面積運(yùn)算，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)……這一系列數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系中，無不蘊(yùn)藏著數(shù)形之間“變”與“不變”的關(guān)聯(lián)，一旦教師抓住“變”和“不變”的辯證規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、推理、建模，那么在解決數(shù)學(xué)問題的同時(shí)，自然發(fā)展了學(xué)生的思維品質(zhì)，再把這種思維品質(zhì)遷移到身邊事物或生活中，養(yǎng)成對(duì)生活的態(tài)度 [3]。長(zhǎng)此以往，數(shù)學(xué)課堂除了用最為本質(zhì)的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)特點(diǎn)等吸引學(xué)生外，還能啟迪學(xué)生的智慧，從而也讓數(shù)學(xué)課堂更有魅力。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 杜曉晴.如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“變與不變”的思想[J]. 小學(xué)教學(xué)參考，2015.

[2]? 張梅玲. 小學(xué)數(shù)學(xué)思維中的“變與不變”[J]. 數(shù)學(xué)思維，2016.

[3]? 蔣守彬. 小學(xué)數(shù)學(xué)的“變”與“不變”[J]. 湖南教育，1999.