初中數(shù)學(xué)一題多變教育研究

王銳泉

摘 要：隨著教學(xué)改革不斷地深入發(fā)展，初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中越來(lái)越重視學(xué)生的思維擴(kuò)展能力、創(chuàng)新能力與舉一反三的能力。教學(xué)實(shí)踐證明，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中使用一題多變的方式進(jìn)行教學(xué)能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和思維擴(kuò)展能力。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；一題多變；教學(xué)應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用一題多變的教學(xué)方式能夠有效地提高學(xué)生的思維創(chuàng)新能力、識(shí)圖能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力、鞏固知識(shí)與學(xué)習(xí)自主探索能力。本文主要選取的例題是人教版八年級(jí)（下冊(cè)）課本64頁(yè)教學(xué)活動(dòng)1。

如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如圖1）：

（1）將矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開。

（2）再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM。同時(shí)得到了線段BN。如圖1所示：

觀察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，這三個(gè)角有什么關(guān)系？你能證明嗎？

縱觀最近幾年的數(shù)學(xué)中考題，折疊問(wèn)題出現(xiàn)的頻率較高，試題設(shè)計(jì)的綜合性逐漸增強(qiáng)，能夠有效地考查學(xué)生的動(dòng)手能力與學(xué)習(xí)研究能力。此道例題主要的考點(diǎn)是折疊問(wèn)題、三角函數(shù)及三角形內(nèi)角和定理。解題過(guò)程如下：

解：由折疊可知，AE=BE，AB=BN，∠AEN=∠BEN=90°，

在Rt△BEN中，∵sin∠BNE= =

∴∠BNE=30°，

∴∠EBN=90°-30°=60°，

∴∠ABM=∠MBN=30°，∠NBC=30°，

∴∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°

以上述例題為基礎(chǔ)進(jìn)行例題的延伸，從而達(dá)到提高學(xué)生創(chuàng)新能力、思維擴(kuò)展能力等目的。

一、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力

變式一：首先在一個(gè)足夠長(zhǎng)的矩形ABCD上沿著寬AB中點(diǎn)E對(duì)折得到折痕EF并打開，其次把矩形的頂點(diǎn)A沿著點(diǎn)B所在直線折疊，使點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)為N（不用打開），再次沿MN所在直線折疊使點(diǎn)B落在線段MD之間，如圖2所示，利用展開圖探究出△BMH是什么特殊的三角形，能說(shuō)出你的理由嗎？

圖2

改變式題是在沿用了例題折疊思維的基礎(chǔ)上進(jìn)行三次折疊，既尊重原題又深化原題，主要考查的是折疊問(wèn)題、等邊三角形的判定、矩形的性質(zhì)。解題過(guò)程如下：

解：△BMH是等邊三角形

根據(jù)折疊性質(zhì)可知，折疊前后對(duì)應(yīng)角相等，即∠AMB=∠NMB=∠DMN= =60°

∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC∥AD

∴∠DMN=∠BHM=∠MBC=60°，即∠HMB=∠BHM=60°，

∴△BMH是等邊三角形

本次例題的改編，是在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，根據(jù)原題的知識(shí)點(diǎn)相關(guān)內(nèi)容解決這道例題，可以幫助學(xué)生靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，在實(shí)際生活中遇到折疊問(wèn)題，例如，手工制作的過(guò)程中、模型制作時(shí)等，學(xué)生能夠使用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

二、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

變式二：在矩形ABCD上沿著寬AB中點(diǎn)E對(duì)折得到折痕EF并打開，其次把矩形的頂點(diǎn)A沿著點(diǎn)B所在直線折疊，使點(diǎn)A落在直線EF上的點(diǎn)為N，再過(guò)點(diǎn)N作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，

求證：（1）△NMP∽△BNQ；（2）BM=2NM；

（3）∠DMN=∠BMN=∠BMA；

本次變式題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)定理，有著較強(qiáng)的綜合性。在原題的基礎(chǔ)上增加了一條垂直線段使PQ⊥EF。本道變式題在原題折疊的基礎(chǔ)上引入了相似三角形及直角三角形中有一個(gè)角是30°的相關(guān)知識(shí)，將折疊問(wèn)題與相似三角形、直角三角形的知識(shí)進(jìn)行了融合，使原題目由原本的6分題，變?yōu)榱?分題。這樣可以培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力，有助于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

三、一題多變，鞏固知識(shí)點(diǎn)，建立數(shù)形結(jié)合思想

變式三：在原題的基礎(chǔ)上假設(shè)BM與折痕EF相交于點(diǎn)P，以點(diǎn)P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑畫圓跟矩形BC相交于點(diǎn)R，與EF相交于點(diǎn)N，連接PR，如下圖3：

（1）試問(wèn)PB與PM有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）求證：PR垂直平分BN

（3）求證：∠BPN=2∠BMN

本道變式題是在原題的基礎(chǔ)上再把折疊問(wèn)題跟圓結(jié)合起來(lái)。主要考查的是折疊問(wèn)題、圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)、圓周角與圓心角的知識(shí)以及垂徑定理。在本道變式題中，包含的知識(shí)點(diǎn)種類較多，主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通的能力，而且在本道題中，將不同的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了串聯(lián)，既能使學(xué)生學(xué)習(xí)到新的知識(shí)，又能幫助學(xué)生鞏固舊的知識(shí)，考驗(yàn)學(xué)生的臨場(chǎng)應(yīng)變能力與學(xué)生的邏輯思維能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模的數(shù)形結(jié)合思想。

四、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維

變式四：在原題的基礎(chǔ)上建立直角坐標(biāo)系（如圖4），有一條拋物線圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)E、M、N，連接EM交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，若NB=2，

（1）求點(diǎn)N和M的坐標(biāo)；

（2）求這條拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；

（3）在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PNM的周長(zhǎng)最??？若存在，求出△PNM的最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

本道變式題將幾何問(wèn)題與二次函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)的穿插，同時(shí)滲透了對(duì)稱和三點(diǎn)共線問(wèn)題。此類問(wèn)題一直受到中考出題人的偏愛。因?yàn)槟壳按蠖鄶?shù)數(shù)學(xué)類型題都要求學(xué)生不僅要具備幾何的抽象思維能力，還要具備代數(shù)的邏輯思維能力。本道變式題主要考查的知識(shí)點(diǎn)有：折疊問(wèn)題、二次函數(shù)解析式、平面直角坐標(biāo)系等。其目的是考查學(xué)生代數(shù)思維與幾何思維融合的問(wèn)題，考查學(xué)生是否在數(shù)學(xué)解題思維中學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解題。例如，在第三問(wèn)中，探究△PNM的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P存在的位置，學(xué)生在解題的過(guò)程中首先考慮△PNM的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的位置，根據(jù)已知條件求出未知的結(jié)果，有效地促進(jìn)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提高。

解題過(guò)程：

（1）由折疊易得AB=NB=2，則OE=1，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)可知為1，利用勾股定理得橫坐標(biāo)EN= ，AM=AB·tan30°= ，即點(diǎn)N坐標(biāo)（ ，1），點(diǎn)M坐標(biāo)（ ，2）

（2）求出拋物線的解析式，根據(jù)第一問(wèn)求出點(diǎn)M、N、E的坐標(biāo)，將三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線的圖像中，建立方程組，求出方程的解析式，并把它化成頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。

（3）在求△PNM周長(zhǎng)最小的問(wèn)題時(shí)MN固定，就是求PN+PM的最小問(wèn)題，利用點(diǎn)N和點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱問(wèn)題，PN+PM=PE+PM，當(dāng)點(diǎn)P、E、M三點(diǎn)共線，即△PNM周長(zhǎng)最小，所以點(diǎn)P就是對(duì)稱軸跟線段EM的交點(diǎn)。

此類問(wèn)題一般作為中考的壓軸題出現(xiàn)，考查的知識(shí)點(diǎn)較為豐富，而且在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變形，可以將知識(shí)由淺入深地傳授給學(xué)生，學(xué)生的思維有一個(gè)充分的過(guò)渡，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，主動(dòng)探索與原題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。

五、總結(jié)與反思

本次例題的改變素材來(lái)源于課本的例題，主要選取了教材中的折紙問(wèn)題，在折紙問(wèn)題的基礎(chǔ)上對(duì)原題進(jìn)行了改編，首先考查了學(xué)生對(duì)稱軸性質(zhì)以及等邊三角形的知識(shí)點(diǎn)。第二道例題主要考查了學(xué)生相似三角形的判定定理，強(qiáng)化了學(xué)生以往所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容。第三道題主要考查了學(xué)生對(duì)圓的性質(zhì)的了解，以及對(duì)圓內(nèi)接圖形定理的熟悉程度，垂徑定理等相關(guān)知識(shí)。第四道題主要對(duì)學(xué)生進(jìn)行了綜合的考查，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，如何用代數(shù)問(wèn)題解決幾何問(wèn)題。從變式一到變式四，知識(shí)點(diǎn)以及解題的復(fù)雜程度都是層層遞進(jìn)的，難度呈階梯式向上，學(xué)生在鞏固舊知識(shí)點(diǎn)后會(huì)增加學(xué)生解題的自信心，學(xué)生在解題的過(guò)程中增加了自身的成就感，更加主動(dòng)地接受新的挑戰(zhàn)。

本次將題目變化成為四種形式，可以讓學(xué)生了解幾何的簡(jiǎn)單折疊、雙折疊以及三折疊等問(wèn)題，學(xué)生在解題過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)哪些線段與哪些角在折疊后可以保持相等。此過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，有效地提高了學(xué)生解決綜合題的能力。

在本次折疊問(wèn)題的教學(xué)中，還可以使用折紙，讓學(xué)生親手進(jìn)行試驗(yàn)工作，可以讓學(xué)生更加直觀地了解折疊原理，幫助學(xué)生更加深入地了解折疊問(wèn)題需要了解的知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用一題多變的教學(xué)方式，在原有例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行例題的改變，能夠提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，并且鞏固所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，增加學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的成就感，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，從而提高教學(xué)效率。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 謝尾合