一階微分方程的初等解法及應(yīng)用

周靈睿

摘 要： 隨著常微分方程在實(shí)際生活中變得越來越重要，因此研究常微分方程的解題方法變得十分必要.本文主要介紹一階微分方程的初等解法及其某些實(shí)際應(yīng)用，初等積分法是一階常微分方程最基本的解法，它主要在于把求解問題向積分問題轉(zhuǎn)化，求解的表達(dá)式由初等函數(shù)或者超越函數(shù)表示，而能用這種方法求解的微分方程稱為可積方程.本文就一般的可積方程進(jìn)行歸納，由抽象到一般，總結(jié)出具體規(guī)律.

關(guān)鍵詞： 一階常微分方程 初等解法 教學(xué)應(yīng)用

一階常微分方程是數(shù)學(xué)中常見而基礎(chǔ)的一類微分方程，通常寫成如下的形式：dy/dx+P（x）y=Q（x）（因?yàn)樗鼘?duì)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)均為一次的）.

如果Q（x）恒等于零，則方程稱為齊次的；

如果Q（x）不恒等于零，則方程稱為非齊次的.

一階微分方程的解法技巧性很強(qiáng)，下面我將介紹一些簡(jiǎn)單的方法和其應(yīng)用，如變量變換法，常數(shù)變易法，恰當(dāng)微分方程的求法及一階隱式微分方程的參數(shù)表示法.

一、分離變量法

如果一個(gè)一階常微分方程能寫成如下形式：

五、伯努利方程

像+P（x）y=Q（x）y這樣的方程我們稱之為伯努利微分方程，令u=y，有du=（1-n）ydy，代入得到+（1-n）P（x）u=（1-n）Q（x），下面的解法就與齊次微分方程一樣了.

六、結(jié)語

一階常微分方程的解法就是把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化成為積分問題.然而對(duì)于給定的常微分方程，未必都恰好是本文所介紹過的幾種類型，因此，在解一階常微分方程時(shí)，不僅要準(zhǔn)確判斷它屬于哪種類型，還需要注意解題技巧，再根據(jù)方程本身的特點(diǎn)，引出變換，將方程轉(zhuǎn)化為我們所能求的類型.

參考文獻(xiàn)：

[1]伍卓群，李勇編.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]周義倉.常微分方程及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[3]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社出版，2008.

[4]石瑞青，閆曉紅，郭紅建.常微分方程全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解[M].北京：中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社，2009.

[5]陳文燈，黃先開.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社，2011.