類(lèi)比法證明“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”

張開(kāi)玲

摘 要：研究數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中用類(lèi)比法證明“等邊對(duì)等角”“等角對(duì)等邊”及“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，主要目的是在數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中通過(guò)類(lèi)比法得到“等邊對(duì)等角”的多種證明方法，再由這多種證明方法類(lèi)比出“等角對(duì)等邊”及“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”的多種證明方法，通過(guò)類(lèi)比法貫穿教科書(shū)整小節(jié)的基本內(nèi)容，充分展示類(lèi)比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中不可代替的重要地位及作用.

關(guān)鍵詞：類(lèi)比；數(shù)學(xué)教學(xué)；等邊對(duì)等角；等角對(duì)等邊

新的教學(xué)理念要以學(xué)生為本，采取自主討論、自主研究、合作學(xué)習(xí)等新的模式教學(xué).而類(lèi)比法就是數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中促成這一模式的一種有效的方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用這一方法可達(dá)到事半功倍的效果.

一、證明“等邊對(duì)等角”

實(shí)際教學(xué)中，在證明“等邊對(duì)等角”時(shí)，教科書(shū)給出的證明方法是通過(guò)作等腰三角形底邊上的中線，具體如下：

已知：如圖1，△ABC中，AB=AC.

求證：∠B=∠C.

證明：取BC的重點(diǎn)D，連接AD.

在△ABD和△ACD中，

∵AB=AC，（已知）AD=AD，（公共邊） ∴△ABD≌△ACD.（SSS）BD=CD，（已作）

∴∠B=∠C.（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

在得到“等邊對(duì)等角”之后，我并沒(méi)有急于得出進(jìn)一步的結(jié)論“三線合一”，而是直接提問(wèn)：你們還有別的證明方法嗎？并提示：三角形中有中線還有高、角平分線，引導(dǎo)學(xué)生作中線可以證明“等邊對(duì)等角”.那作其他輔助線是否也可以呢？要求學(xué)生2分鐘的獨(dú)立思考，然后2分鐘的交流時(shí)間，接著將每一種證明方法派一名代表進(jìn)行全班展示.

學(xué)生1分析：通過(guò)作底邊的高.

證明1：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，證明：略.

學(xué)生2分析：通過(guò)作頂角的平分線.

證明2：作AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.證明：略.

在得出這三種證明方法之后，再來(lái)探究“三線合一”，教師會(huì)順其自然的得出“三線合一”.當(dāng)然證明“等邊對(duì)等角”的方法還有很多，這里不再詳細(xì)介紹，只作簡(jiǎn)單說(shuō)明.

通過(guò)對(duì)這3種證明方法的展示、討論，學(xué)生對(duì)這三種證明方法，印象還是很深刻的，也充分展示了類(lèi)比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用.

二、證明“等角對(duì)等邊”

一天之后，在證明“等角對(duì)等邊”時(shí)，在講解完教科書(shū)上給出的證明方法（如圖2，通過(guò)作底邊上的高）之后，我依然直接提問(wèn)：你們還有別的證明方法嗎？依然要求他們2分鐘的獨(dú)立思考時(shí)間，2分鐘的交流時(shí)間，并將其他證明方法派代表進(jìn)行全班展示.在這一過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)起初認(rèn)為還有兩種證明方法的學(xué)生還是有很多的，不過(guò)在仔細(xì)深入思考之后，部分學(xué)生有了不同的見(jiàn)解.通過(guò)討論，一致認(rèn)為其中有一種方法是失敗的.到這里，我發(fā)現(xiàn)證明“等邊對(duì)等角”的方法、思路被學(xué)生運(yùn)用到了證明“等角對(duì)等邊”，進(jìn)一步展示了類(lèi)比法的不可替代的作用.

學(xué)生1分析：通過(guò)作∠BAC的平分線.證明：略.

之所以起初學(xué)生認(rèn)為還有兩種證明方法是因?yàn)轭?lèi)比“等邊對(duì)等角”的證明方法得出的，這種類(lèi)比的方法是一種非常重要的思考問(wèn)題的思維習(xí)慣，應(yīng)給予肯定.這里不妨讓學(xué)生分析另一方法失敗的原因.

學(xué)生2分析：取BC的中點(diǎn)D.

則△ABD和△ACD滿足條件：AD=AD，BD=CD，∠B=∠C，滿足的條件是SSA，是不能作為三角形全等的判定依據(jù)的，所以這種方法是失敗的.

三、這3種證明方法的延伸應(yīng)用

在得到“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”之后，緊接著會(huì)學(xué)習(xí)定理“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”.

講解完教科書(shū)給出的具體證明方法之后，師進(jìn)一步提問(wèn)：“那通過(guò)我們之前剛剛學(xué)過(guò)的“等邊對(duì)等角”及“等角對(duì)等邊”的證明方法，你還能想出其他證明方法嗎？”依然要求他們2分鐘的獨(dú)立思考時(shí)間，2分鐘的交流時(shí)間，并將其他證明方法派代表進(jìn)行全班展示.

學(xué)生1分析：通過(guò)做輔助線使AC成為三角形的角平分線.

學(xué)生2分析：用折疊的方法.將△ABC沿AC折疊即可證明.

這里學(xué)生通過(guò)類(lèi)比“等邊對(duì)等角”及“等角對(duì)等邊”的證明方法，添加不同的輔助線使得AC的角色不斷變換（中線、角平分線、對(duì)稱(chēng)軸等），從而類(lèi)比出多種證明方法.

參考文獻(xiàn)：

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