數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

李志云

摘? 要：數(shù)形結(jié)合是新課程標(biāo)準(zhǔn)體現(xiàn)的一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)思想，是復(fù)雜數(shù)學(xué)問題化繁為簡(jiǎn)的重要手段。從轉(zhuǎn)化論和映射論的角度出發(fā)，對(duì)數(shù)、形進(jìn)行基本解構(gòu)與重構(gòu)，進(jìn)一步解讀“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的應(yīng)用，探索“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想在課堂中的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：以形助數(shù);以數(shù)解形;形數(shù)互變;數(shù)形結(jié)合

數(shù)量關(guān)系與幾何關(guān)系覆蓋了基礎(chǔ)教育階段大部分的研究對(duì)象，數(shù)形結(jié)合是基于對(duì)幾何圖形和數(shù)量的關(guān)系的理解和感悟，進(jìn)一步探究量與量、量與形之間的內(nèi)部聯(lián)系。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合是新課程標(biāo)準(zhǔn)體現(xiàn)的一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)思想，它實(shí)現(xiàn)了數(shù)的可視化和幾何圖形的數(shù)量化，這是復(fù)雜數(shù)學(xué)問題化繁為簡(jiǎn)的重要手段。我們從轉(zhuǎn)化論和映射論的角度出發(fā)，對(duì)數(shù)、形進(jìn)行基本解構(gòu)與重構(gòu)，進(jìn)一步解讀“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的應(yīng)用，探索數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想在課堂中的教學(xué)策略。

一、以形助數(shù)，直觀表達(dá)

由于小學(xué)生年齡較小，他們的邏輯思維能力往往有限，主要是利用多看知識(shí)來(lái)領(lǐng)悟，然后進(jìn)行對(duì)照比較、分析討論圖形來(lái)進(jìn)行的。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，它的本質(zhì)就是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活。數(shù)學(xué)究其本質(zhì)，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說，是十分抽象的一門學(xué)科。小學(xué)生的基本認(rèn)識(shí)中，感知通常是從視覺圖形開始到體貌，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)自己形成的概念，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)的記憶的次數(shù)，也更容易理解數(shù)學(xué)公式。

以形助數(shù)，形為數(shù)而生。從思維層面看，映射反映論提出了數(shù)形結(jié)合在映射反演中使得其含義在形式上抽象化的觀點(diǎn)，因此我們可以利用數(shù)形結(jié)合理解為原象系統(tǒng)與反映系統(tǒng)中的一對(duì)基本結(jié)構(gòu)幫助基礎(chǔ)教育階段小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)生建構(gòu)自我的原象與映象系統(tǒng)。數(shù)字只是一種代碼或符號(hào)，教師應(yīng)以形助教，化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)。對(duì)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的意義認(rèn)識(shí)的教學(xué)，我們都需要引導(dǎo)學(xué)生從具體實(shí)物中抽象出來(lái)。其次，對(duì)于培養(yǎng)數(shù)量關(guān)系的感悟而言，伴隨著數(shù)與數(shù)量關(guān)系擴(kuò)張而展開的過程同樣需要引導(dǎo)學(xué)生基于直觀的過程去感知和領(lǐng)悟數(shù)量之間的關(guān)系。

例如，二年級(jí)《生活中的大數(shù)》課中探究新知環(huán)節(jié)就可以通過數(shù)一數(shù)的方式感悟生活中的大數(shù)，學(xué)生在數(shù)大正方體中有多少個(gè)小正方體的過程中，可以借助“個(gè)、十、百、千、萬(wàn)”而建立計(jì)數(shù)單位，并在大腦中抽象出計(jì)數(shù)單位的實(shí)際意義，探究出計(jì)數(shù)單位中的相互關(guān)系。不僅需要看圖讀數(shù)，還要將具體形象轉(zhuǎn)化為數(shù)字，解構(gòu)原有認(rèn)知并建立新的知識(shí)聯(lián)系。在鞏固計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)大數(shù)產(chǎn)生了認(rèn)識(shí)。對(duì)于角度問題的教學(xué)，教師同樣可以利用數(shù)形結(jié)合思想。任課教師可以使用量角器三角板等工具幫助學(xué)生更好地建構(gòu)圖形表象。例如，已知等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為120度，求另外兩個(gè)角的度數(shù)。教師可以將這個(gè)三角形用圖形化來(lái)實(shí)現(xiàn)抽象數(shù)字問題的具體形化，緩解學(xué)生對(duì)數(shù)的表征抽象枯燥的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生解決角度問題中已知一角求其余兩個(gè)角的度數(shù)的問題 [1]。

二、以數(shù)解形，精準(zhǔn)量化

以數(shù)解形，圖形的量化。數(shù)形結(jié)合思想包含著兩方面的轉(zhuǎn)化過程：一是從圖形的解讀過渡到數(shù)量的解讀，二是從圖形解讀到數(shù)量解讀的過程。但大部分師生更偏愛以形助數(shù)，即利用圖形直觀輔助解題，但少有幾何問題算法化的應(yīng)用。在教學(xué)中我們做這樣的一個(gè)嘗試：（1）引導(dǎo)學(xué)生描述圖形特征及相互關(guān)系，對(duì)圖形理解由模糊逐步清晰。（2）對(duì)數(shù)與數(shù)量關(guān)系進(jìn)行觀察，比較數(shù)與圖形之間的關(guān)系。（3）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)與代數(shù)問題幾何化處理的能力，借助數(shù)量關(guān)系理解圖形，這是調(diào)動(dòng)已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。具體應(yīng)用于教學(xué)中平行四邊形、三角形、梯形的面積的計(jì)算，長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算等。

在教學(xué)中的應(yīng)用的一個(gè)案例，即列方程表示圖形的結(jié)構(gòu)關(guān)系和特征的問題。例如，一個(gè)長(zhǎng)方形被平行于邊的兩直線分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，其中的三個(gè)小長(zhǎng)方形的面積分別是15cm2，10cm2，20cm2，求第四塊陰影部分的面積。面對(duì)這樣的問題，學(xué)生通常會(huì)利用大長(zhǎng)方形的面積減去三個(gè)已知長(zhǎng)方形的面積，但是大長(zhǎng)方形的面積未知，故此方案不可行，此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生作如下思考：兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬若是相等，那么它們的面積比與長(zhǎng)的比有關(guān)系以及討論長(zhǎng)相等的情況，最后利用比例解決問題。這是圖形問題數(shù)量化的一種思路，實(shí)現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合的一種研究路徑。再例如，在《真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)》的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)通過引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所提示的分?jǐn)?shù)對(duì)圓進(jìn)行涂色練習(xí)并表達(dá)其所表示的意義，學(xué)生經(jīng)歷和自主探究分子與分母的關(guān)系，并與圓和單位“1”進(jìn)行比較，學(xué)生通過圓的涂色練習(xí)，在滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想下獲得真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的意義。

三、形數(shù)互變，建構(gòu)模型

形數(shù)互變，實(shí)質(zhì)就是對(duì)以形助數(shù)、以數(shù)解形的融合。這要求教學(xué)中不僅需要引導(dǎo)學(xué)生由形的直觀聯(lián)想數(shù)的抽象，還有由數(shù)的抽象轉(zhuǎn)化形的直觀。通常教學(xué)過程中采用見數(shù)思形、見形思數(shù)的策略。教師需要將數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)一步融入教學(xué)過程中，幫助學(xué)生掌握算法的同時(shí)，更需要理解算理。學(xué)生在探究過程中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，理解數(shù)學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合思想視角下的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是教師依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)素材的再創(chuàng)造的過程，小學(xué)階段對(duì)于此類數(shù)學(xué)思想，新課標(biāo)的要求是“滲透”，教師在呈現(xiàn)圖形更多考慮師生交互感，避免圖形過于簡(jiǎn)化，需要充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的效果的同時(shí)，還應(yīng)考慮數(shù)形結(jié)合中“數(shù)”與“形”的等價(jià)轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生理解在不同數(shù)學(xué)條件下，數(shù)學(xué)條件不同形態(tài)的轉(zhuǎn)化，對(duì)此建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型就特別重要 [2]。

以《近似數(shù)》的教學(xué)為例，為了讓學(xué)生理解“四舍五入”的原理，我們將形象直觀的數(shù)軸引入教學(xué)，將“四舍五入”放置在數(shù)軸的學(xué)習(xí)中，以此建立最直觀的數(shù)學(xué)模型。《雞兔同籠》的問題同樣可以使用數(shù)形互換的策略，利用畫圖法將數(shù)量關(guān)系直觀化理解，這是學(xué)生具體形象思維和抽象思維相互轉(zhuǎn)化、相互促進(jìn)發(fā)展的過程。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在自主探索過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解，嘗試改變講授探究的模式，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷中獲得數(shù)學(xué)思想，激勵(lì)學(xué)習(xí)者主動(dòng)參與的熱情。學(xué)習(xí)者從“提出問題——搜集分析——解讀數(shù)據(jù)——進(jìn)行猜想——自我表達(dá)——合作交流過程”中建構(gòu)數(shù)學(xué)思想，這才是我們課堂需要帶給學(xué)習(xí)者的必要技能。

四、數(shù)形結(jié)合，協(xié)調(diào)思維

思維原本是人類大腦通過語(yǔ)言對(duì)客觀事物進(jìn)行總結(jié)和間接反應(yīng)的過程。思維是以知覺為基礎(chǔ)，超越知覺的極限。通常意義上的思考涉及所有的認(rèn)知或智力活動(dòng)。探索和發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在本質(zhì)關(guān)系和規(guī)律，是認(rèn)識(shí)過程的高級(jí)階段。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想是十分必要的。利用學(xué)生的觀察、對(duì)比、分析、實(shí)踐等形式，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的概念、公式，了解其重要意義，在心里有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而對(duì)抽象的東西有一個(gè)具體的認(rèn)識(shí)，溝通現(xiàn)實(shí)與想象。在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，我們讓學(xué)生進(jìn)行觀察遷移、思考，再對(duì)數(shù)的概念進(jìn)行訓(xùn)練和鞏固經(jīng)驗(yàn)。在學(xué)生對(duì)數(shù)形式的形成與理解和理解的思維方式的結(jié)合中，學(xué)生的數(shù)字形式與意識(shí)思維的應(yīng)用相結(jié)合，那么學(xué)生的能力也將進(jìn)一步提高。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了一定分析、領(lǐng)悟能力，我們作為教師在教學(xué)中不可以用滿堂灌的形式將知識(shí)傳遞給學(xué)生，而是要學(xué)會(huì)讓學(xué)生參與到問題的解決中去，讓學(xué)生參與到知識(shí)的形成中去。讓每個(gè)學(xué)生當(dāng)一回“知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者”，用自己的知識(shí)背景去認(rèn)識(shí)、去分析，從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想。古話說，授人以魚不如授人以漁。我們教給學(xué)生分析問題的能力，其實(shí)就是傳授“漁”的過程，擁有“漁”的能力，學(xué)生才能擁有更多的“魚” [3]。

教學(xué)不僅需要傳遞知識(shí)，更應(yīng)在課堂中鍛煉學(xué)生的思維。小學(xué)階段的學(xué)生思維是從具體形象思維向抽象思維過渡的，且具體形象思維發(fā)展迅速，而小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問題以數(shù)的認(rèn)識(shí)或數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系為主導(dǎo)，這意味著抽象的數(shù)學(xué)問題與學(xué)生既有的具象思維產(chǎn)生矛盾，使得解決問題變得尤為困難。教學(xué)過程中我們應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，提供數(shù)的問題與形的問題引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探究題目中如何運(yùn)用各類符號(hào)，這種方法即能厘清數(shù)形之關(guān)系，又能促進(jìn)學(xué)生具體形象與抽象思維的同步協(xié)調(diào)發(fā)展 [4]。

以體積的教學(xué)為例，學(xué)生對(duì)于體積的概念與單位在識(shí)記上沒有什么問題，但是對(duì)具體實(shí)物判斷并不是十分確定，這歸因于具體形象思維與抽象思維發(fā)展的不協(xié)調(diào)，教師需要將“體積單位”與實(shí)物發(fā)生聯(lián)系。首先，建立生活中實(shí)際物象，特別是有關(guān)于體積的，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比獲得體積的特質(zhì)、內(nèi)涵、外延，掌握其概念，這即是抽象化的過程;其次，在學(xué)生建立體積表象和熟知體積概念以后引導(dǎo)學(xué)生建立兩者的聯(lián)系;最后，對(duì)原象系統(tǒng)與反映系統(tǒng)加以鞏固。

數(shù)形結(jié)合是直觀生動(dòng)與數(shù)量精確的有機(jī)結(jié)合，數(shù)量與圖形整體或局部的相互遷移與轉(zhuǎn)化，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)努力挖掘教材與現(xiàn)實(shí)性元素，深刻理解數(shù)學(xué)思想，樹立正確數(shù)學(xué)觀，從“情境——實(shí)物——數(shù)量的感知——尋找關(guān)系——數(shù)量運(yùn)算”出發(fā)在小學(xué)課堂中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。以形助數(shù)，實(shí)現(xiàn)圖像表象層次結(jié)構(gòu)化，發(fā)展空間表象與圖式表象;以數(shù)解形，促進(jìn)學(xué)生直觀問題抽象化，進(jìn)一步為學(xué)生學(xué)習(xí)提供更多的輔助性的學(xué)習(xí)策略，發(fā)展學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在對(duì)知識(shí)表象加工過程中學(xué)習(xí)者更容易獲得數(shù)學(xué)概念意象以及習(xí)得與轉(zhuǎn)化的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 張進(jìn)錄. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的滲透分析[J]. 西部素質(zhì)教育，2016，2（2）.

[2]? 畢娉婷. 數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用分析[J]. 教育現(xiàn)代化，2017（15）.

[3]? 林智. 數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 教學(xué)與管理，2017（29）.

[4]? 張曉明. 淺談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 學(xué)周刊，2014（33）.