解后反思 提高數(shù)學(xué)解題能力

摘 要：解題是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的最常用最有效的方法，解題后進行有效反思，會較大程度提高數(shù)學(xué)解題能力。促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：反思；提高；解題能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，學(xué)數(shù)學(xué)的主要目的就是為了解題。解題是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的最常用最有效的方法，解題后進行反思，能有效提高解題能力。在教學(xué)過程現(xiàn)，學(xué)生解題注重求速度，不注重效益，無法做到“做一題、知一類、會一片”，往往事倍功半，成績不理想，那么，怎樣解題能提高解題能力呢？筆者認為要特別注重解題后的反思。

一、 反思解題過程，提高數(shù)學(xué)邏輯思維準(zhǔn)確性

我們在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生可能會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，所以在解完一道題后就很有必要反復(fù)檢查自己的解題過程中知識點是否錯誤、解題方法是否得當(dāng)、書寫過程是否規(guī)范、推理是否出現(xiàn)錯誤，這樣可以保證解題無誤。讓學(xué)生進行解題后反思，使學(xué)生真正認識到解題后反思的重要性，有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維準(zhǔn)確性。

二、 反思解題方法，提高數(shù)學(xué)思維發(fā)散性

同樣的一道題，我們從不同的角度去研究，會得不同的解法。教學(xué)過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對不同解法進行反思，讓學(xué)生根據(jù)問題的實際，從解題思路、解題途徑進行多角度的觀察、思考，其中哪一種方法最基本？哪一種方法最簡便？哪一種方法最巧妙？各有什么優(yōu)點？通過反思，拓寬解題思路，選擇最優(yōu)解法，訓(xùn)練發(fā)散性思維，提高解題能力。

例如，求一個三角函數(shù)y=sinx2-cosx的最大值和最小值。求解時可用以下幾種思路：

（1）利用三角函數(shù)最常用的有界性來解；

（2）利用轉(zhuǎn)化為已知的有理分式函數(shù)求解；

（3）利用解析幾何中的斜率相關(guān)公式，轉(zhuǎn)化為圖形的幾何意義來解；

（4）利用的復(fù)數(shù)工具轉(zhuǎn)化為求輻角正切值來解等。通過這一問題，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)不同的思維方法，不同的角度尋求問題的解法，這樣使得學(xué)生溝通了知識間的聯(lián)系，克服了思維定式，拓寬了研究的途徑，從而提高了學(xué)生的發(fā)散思維能力。

三、 反思解題規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的深刻性

同一類型的問題，解題方法往往有其規(guī)律性，因此當(dāng)一個問題解決后，要及時地引導(dǎo)學(xué)生反思解題方法，總結(jié)一般性解題規(guī)律，從解決問題中找出新的可以普遍適用的規(guī)律。這樣會使學(xué)生養(yǎng)成深入鉆研的良好習(xí)慣，使學(xué)生思維的深刻性在學(xué)生的鉆研中得到提高。

例如，“若x+y+1=0，求（x-1）2+（y-1）2的最小值”，如果把x=y-1代入根式，轉(zhuǎn)化為來求也可以，但碰到求y=x2+1+x2-4x+8這樣的題就不好做了，所以引導(dǎo)學(xué)生將這類問題用數(shù)行結(jié)合的方法來解決比較好，轉(zhuǎn)化為求（x，0）到兩定點（2，2）與（0，1）的距離之和最小，或求（x，1）到（0，0）與（2，-1）的距離之和最小。通過這樣的訓(xùn)練，可以拓展學(xué)生的思路，活躍學(xué)生的頭腦，有利于學(xué)生思維深刻性的培養(yǎng)。

四、 反思問題的變式，提高數(shù)學(xué)思維的靈活性

在學(xué)習(xí)中解完一道題并不等于完全完成解題任務(wù)，有時讓學(xué)生對題目的條件進行不同的變換，對數(shù)據(jù)進行改變，對知識內(nèi)容進行發(fā)散，對設(shè)問內(nèi)容進行不同的轉(zhuǎn)化，對考察方向進行多方位改變等變式訓(xùn)練。這樣不僅能讓學(xué)生加強了對基礎(chǔ)知識的理解與運用，而且能讓學(xué)生拓寬深化解題思路，掌握解題規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，提高學(xué)生思維的靈活性，增強學(xué)生應(yīng)變能力，使得讓學(xué)生實現(xiàn)舉一反三，觸類旁通的效果，取得解題的最大效益。

例如，“y=kx+1，3x2-y2=1有一個公共點，求直線方程”

這個問題中直線和雙曲線只有一個公共點，這為這道題進行很好的變式訓(xùn)練打下了基礎(chǔ)。

變式1：在上面的題目中，若直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1相交于不同兩點A、B，且A、B在異支，則應(yīng)該如何判斷k的取值范圍。

接著的問題是越來越開放，對許多學(xué)生越來越有挑戰(zhàn)的味道，但是由于前面問題的已成功解決，更激發(fā)學(xué)生解決新問題的勇氣。

變式2：如果條件改為直線y=kx+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點，且A、B同在左支，則判斷k的取值范圍。

問題越來越有難度，這里需要數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生的思維形成了新的挑戰(zhàn)，更激起了學(xué)生應(yīng)戰(zhàn)的熱情，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性。

在這個案例中，我們發(fā)現(xiàn)通過題與題的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念和靈活根據(jù)不同條件來辨別數(shù)學(xué)概念，形成良好的思維品質(zhì)。教師在課堂上應(yīng)該常常有意識地對部分題目進行一題多變，讓學(xué)生在思維過程中不受定勢限制，充分發(fā)揮想象力，突破已有的知識范圍，由已知探索未知，這樣有利于學(xué)生對該部分知識最大限度地掌握。

五、 反思解題錯誤，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性表現(xiàn)為讓學(xué)生善于獨立思考，勇于提出問題。在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生質(zhì)疑、爭論和大膽發(fā)表自己的見解；教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生解題中出現(xiàn)的錯誤設(shè)計教學(xué)情景，幫助學(xué)生從基本概念、基本知識的角度來反思解題出錯的原因，給學(xué)生提供對基本概念、基本知識重新理解認識的機會，這樣有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性。

總之，學(xué)生解完題目后，教師應(yīng)讓學(xué)生從解題過程，解題方法，解題錯誤，解題規(guī)律以及問題的變式等多方面進行反思。這樣有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識識，真正掌握數(shù)學(xué)的思想，促進學(xué)生思維能力的發(fā)展。如果學(xué)生一旦養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣，那么他的思維就會不斷提高，從而提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

參考文獻：

[1]吳俊芬.在反思中提高數(shù)學(xué)解題能力[J].科學(xué)大眾，2011（12）.

作者簡介：沈海山，甘肅省武威市，武威第十一中學(xué)。