例談初中數(shù)學(xué)陰影面積的求法

摘 要：幾何知識是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，同時也是學(xué)生進(jìn)行深入學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，求陰影部分的面積是初中幾何常見的題型，也是幾何知識應(yīng)用的難點。初中平面陰影部分面積一般是由幾個圖形互相疊加而產(chǎn)生的不規(guī)則圖形，這就要求學(xué)生要對所求陰影部分的面積進(jìn)行思考，并分解或組合成新的規(guī)則圖形，從而求出陰影部分面積。本文將初中求陰影部分面積的幾種方法與大家進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何試題；陰影部分面積；解題策略

求不規(guī)則幾何圖形陰影面積是初中幾何的難點，同時也是高中幾何概型知識的基礎(chǔ)，幫助學(xué)生掌握幾何體陰影部分面積的解題方法，不僅能讓學(xué)生對平面幾何有深入的了解，同時也能提升學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的提升，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。下面就結(jié)合具體試題對幾種求陰影部分面積的試題方法進(jìn)行論述：

一、 和差法

和差法是求平面圖形陰影面積的有效方法，通過幾個規(guī)則的圖形的相加、相減得出所求陰影部分的面積。和差法又可以分為直接和差法和構(gòu)造和差法，對于一些比較簡單的圖形組合，學(xué)生可以用和差法進(jìn)行直接分析和解決，而對于一些復(fù)雜的圖形組合，需要學(xué)生做輔助線構(gòu)造和差法，從而有效地解決問題。

（一） 直接和差法

直接和差法的問題一般比較簡單，學(xué)生直接就可以看出其中的圖形組合，從而通過幾個規(guī)則圖形的加減就可以達(dá)到解題的目的。

【例題】 如圖所示，以五邊形 ABCDE 的頂點為圓心，分別做半徑為1的五個圓，已知這五個圓互相不重合，那么，圖中陰影部分的面積是多少？

分析：由于陰影部分的面積由5個不規(guī)則扇形組成，不能直接計算。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，5個扇形對應(yīng)的圓心角為五邊形的內(nèi)角，則可以直接將這5個不規(guī)則扇形進(jìn)行相加，從而求出陰影部分的面積：S=540°360°πr2=3π2。

（二） 構(gòu)造和差法

對于比較復(fù)雜的陰影部分面積的求法，不能直接進(jìn)行圖形的加減，這就對學(xué)生的思維提出了新的要求，要求學(xué)生能夠通過做輔助線來構(gòu)造和差法，將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，有效的解出陰影部分面積。

【例題】 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，若BC=42，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A. π+1B. π+2

C. 2π+2D. 4π+1

分析：本題所求的陰影部分面積不能直接通過和差法算出，需要學(xué)生做輔助線，連接OD，將所求的陰影部分轉(zhuǎn)化為三角形和扇形的面積之和，從而根據(jù)已知條件可以得出S=12×2×2+14π×22=2+π，正確答案為B。

二、 割補(bǔ)法

所謂割補(bǔ)法，就是將陰影部分的面積分成幾個部分，要求學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)思想，能夠?qū)栴}進(jìn)行綜合分析，將復(fù)雜的未知圖形通過“割”“補(bǔ)”轉(zhuǎn)化為簡單的已知圖形，從而再運(yùn)用公式或和差進(jìn)行問題的解答。初中常用的割補(bǔ)法有轉(zhuǎn)化、全等、旋轉(zhuǎn)、移動等，主要是將未知的圖形或面積與已知的圖形面積之間建立起關(guān)系，從而有效地解決問題。

（一） 轉(zhuǎn)化法

在對一些求不規(guī)則陰影部分面積的試題的時候，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何知識，將未知的陰影部分轉(zhuǎn)化為已知的非陰影部分，從而構(gòu)造出規(guī)則的圖形，運(yùn)用公式進(jìn)行計算即可。這就要求學(xué)生對幾何面積的轉(zhuǎn)化要有靈活的運(yùn)用，能夠從具體的問題中進(jìn)行分析和解答，從而有效的提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

【例題】 在圓O上有A、B、C、D四個點，已知AC、BD是圓O的直徑，在ABCD所圍成的四邊形中，假如∠BAC=36°，AC=10cm，求圖中的陰影部分面積。

分析，根據(jù)題意可知ABCD所圍成的四邊形為矩形，并且AO=BO=CO=DO，所以對角線將矩形分成的四個三角形面積相等，這樣所求陰影部分△AOB和△COD面積就可以轉(zhuǎn)化為△AOD和△BOC，這樣根據(jù)∠BAC=36°，可以得出∠AOD=72°，則根據(jù)公式可以順利地求出陰影部分面積為10π。

（二） 平移法

有些陰影部分面積不能直接求出，這就要求教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題進(jìn)行分析，將其中的某一部分進(jìn)行平移，構(gòu)造出直觀的量，與已知的條件建立起聯(lián)系，這樣就更容易將其中的陰影部分面積求出，拓展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想方法。

【例題】 如圖所示的兩個半圓中，其圓心分別為M、O，已知在大半圓O中有一條直線AB，與圓O的直徑CD平行，并且與半圓M相切于E點，AB=8cm，那么圖中陰影部分的面積是多少？

分析：本題只有一個有數(shù)據(jù)的已知條件，在圖中并不能直接的算出陰影部分的面積，因此可以將小圓M平移，讓M點和O點重合，這樣連接OE和OB，就構(gòu)造出一個直角三角形，根據(jù)勾股定理可得：OB2-OM2=12AB2，而圖中陰影部分面積是大半圓面積減小半圓的面積之差，因此可以得出S=12π（R2-r2），代入得8π。

割補(bǔ)法是求陰影部分面積的常用方法，其中還有全等、變形、旋轉(zhuǎn)等方法，其主旨就是通過對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為已知圖形的面積，這樣通過公式就可以順利地求出了。

總之，求平面圖形陰影部分面積是初中知識的重點，同時也是教學(xué)的難點，教師要引導(dǎo)學(xué)生由淺入深的逐步掌握各種幾何圖形組合的本質(zhì)，讓學(xué)生能夠通過旋轉(zhuǎn)、變形、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想來對所求的陰影部分進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，并和已知條件通過幾何或是代數(shù)的關(guān)系建立起聯(lián)系，這樣不僅能提升學(xué)生的思維能力，同時也能提高學(xué)生的問題分析和解決能力。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

武云輝，甘肅省白銀市，甘肅省會寧縣老君坡鎮(zhèn)初級中學(xué)。