立足“基本知識(shí)點(diǎn)、基本數(shù)學(xué)思想方法”減少“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象

摘 要：本文從一個(gè)常見例題展開，探索分析學(xué)生“懂而不會(huì)”現(xiàn)象背后深層原因。

關(guān)鍵詞：提出問題；分析問題；解決問題能力的落腳點(diǎn)

一、 一個(gè)常見的解題案例

在含參數(shù)的不等式中，經(jīng)常會(huì)碰到下列一類“求參數(shù)范圍”的問題：若不等式x2+2x+m>0對(duì)0≤x≤1的所有實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍。絕大部分教師（包括筆者）都會(huì)采用下列頗為“得意”的教學(xué)對(duì)策：先讓學(xué)生自己獨(dú)立思考求解，學(xué)生通常會(huì)利用判別式△<0，求出m>1這樣的結(jié)果。這樣的結(jié)果讓教師正中下懷，教師問：“這樣的結(jié)果正確嗎？學(xué)生聽老師這樣講，習(xí)慣地認(rèn)為自己的解法有誤，然后再回頭審題，發(fā)現(xiàn)條件中x的范圍不是R而是0≤x≤1。程度較好的學(xué)生結(jié)合二次函數(shù)的圖像轉(zhuǎn)化為根的分布問題求解，解法如下：設(shè)f（x）=x2+2x+m，0≤x≤1，利用二次函數(shù)圖像得出如下等價(jià)信息：f（0）>0，解得m>0。教師及時(shí)提出問題：“f（0）是函數(shù)的什么值？”學(xué)生思考后答：“f（0）是函數(shù)的最小值”。面對(duì)這個(gè)結(jié)果，教師及時(shí)出手了，向?qū)W生介紹處理不等式恒成立問題時(shí)要轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，如果參數(shù)容易分離時(shí)，可以先分離參數(shù)再求函數(shù)的最值，這樣操作可以使問題更加快速、簡(jiǎn)潔地得到解決。在學(xué)生興趣盎然的時(shí)候，教師會(huì)進(jìn)一步跟進(jìn)一組變式題，例如：設(shè)a>0，若對(duì)于任意的x>0，都有1a-1x≤2x，求a的取值范圍。這時(shí)，學(xué)生會(huì)模仿著上一道問題，先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x+1x在x>0的最小值，從而使問題得到順利解決。在學(xué)生嘗到甜頭后，教師會(huì)進(jìn)一步把問題引申：設(shè)a>0，若存在x∈[1，2]，使不等式1a-1x≤2x成立，求a的取值范圍。學(xué)生順著教師提供的解題方法思考，把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=2x+1x在x∈[1，2]的最大值。教師由此歸納出不等式恒成立問題及存在性問題的基本解法：

k≥f（x）恒成立k≥f（x）maxk≤f（x）恒成立k≤f（x）max，存在x使k≥f（x）成立k≥f（x）max存在x使k≤f（x）成立k≤f（x）max，許多復(fù)雜的恒成立、存在性問題最終都可歸結(jié)到這一類型。教師怕學(xué)生對(duì)此方法掌握不牢靠，通過一系列的練習(xí)加深鞏固。那么，如此教學(xué)，學(xué)生真的懂了嗎？

二、 遭遇“慘敗”

在筆者所在學(xué)校高三第一輪復(fù)習(xí)的期末統(tǒng)考中，有這樣一道填空題：若關(guān)于x的不等式|2x-m|-12x<0在區(qū)間[0，1]內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的范圍 。從閱卷反饋看，學(xué)生對(duì)此題的解答可以說是“慘不忍睹”。筆者任教的兩個(gè)班級(jí)（共有100人），只有15名學(xué)生得到了正確答案。筆者實(shí)在想不明白，在評(píng)價(jià)試卷時(shí)，針對(duì)此題了解了大部分學(xué)生的想法，發(fā)現(xiàn)有一部分學(xué)生根本沒有解題思路，一部分學(xué)生有思路，但在不等式等價(jià)變形和求函數(shù)最值時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤。面對(duì)如此糟糕的結(jié)果，筆者覺得上述自以為很滿意的教學(xué)方法，肯定出現(xiàn)了問題，就捫心自問：“我在講解此類問題的時(shí)候有沒有落腳于基本知識(shí)點(diǎn)”“在問題解決后有沒有升華到基本的數(shù)學(xué)思想方法”，或許，只有解決了這些問題，學(xué)生對(duì)”不等式恒成立問題和存在性問題“才能有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，并實(shí)現(xiàn)”假懂“到”真懂“的質(zhì)變。

三、 剖析與反思

雖然在上述案例的教學(xué)中，較之將基本方法強(qiáng)行灌輸給學(xué)生已經(jīng)有所改進(jìn)，至少讓學(xué)生暴露自己的思路，然后再展開教學(xué)，但為什么學(xué)生初始階段能較順暢地運(yùn)用方法，而時(shí)間一長(zhǎng)，就又想不起來，不會(huì)應(yīng)用了呢？原因很簡(jiǎn)單：“方法和技巧掩蓋了問題的本質(zhì)，忽視了基本知識(shí)點(diǎn)，掩蓋了函數(shù)與方程的基本思想方法，渾然不知深層次的”是什么“與”為什么“。事實(shí)上，這類問題要引導(dǎo)學(xué)生回歸到函數(shù)的基本性質(zhì)上，很多學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、最值、周期性對(duì)稱性這些性質(zhì)不知道用來干什么，也不知道怎么用，導(dǎo)致了教學(xué)中套路和方法一遍一遍講，但是學(xué)生在關(guān)鍵時(shí)候總是想不起來。通過上述失敗的案例，分析其背后的原因主要以下三個(gè)方面：

原因一：函數(shù)思想的應(yīng)用意識(shí)不夠。

函數(shù)思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合與對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)問題，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的。

例題：已知f（x）=1-x1+x，數(shù)列{an}滿足a1=12，對(duì)于任意n∈N*都滿足an+2=f（an）且an>0，若a20=a18，則a2016+a2017的值為 。

解：an+2=1-an1+an（1） 可得：an+1=1+an+21+an+2（2）

（1）式代入（2）式得：an+4=an，所以數(shù)列的周期T=4

所以a2016=a20，a2017=a1，

因?yàn)閍20=a18=1-a181+a18，且an>0，所以a20=a18=2-1

所以a2016+a2017=2-12

分析：教師在高三復(fù)習(xí)課中，應(yīng)把數(shù)列納入函數(shù)的知識(shí)體系中，它應(yīng)該和一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)這些基本初等函數(shù)一樣具備基本性質(zhì)，會(huì)利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決問題，譬如：等差數(shù)列、等比數(shù)列以及一些常用遞推式的函數(shù)背景。同時(shí)還要分析數(shù)列的特殊性，在處理問題時(shí)要考慮其定義域的特殊性。

無論是在新授課中，還是高三復(fù)習(xí)課中，教學(xué)中教師應(yīng)循循善誘，滲透函數(shù)思想，這才是解決問題的基本思路，才能減少學(xué)生“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象。

原因二：函數(shù)概念及其基本性質(zhì)的定義理解不到位。

函數(shù)的基本性質(zhì)在教材中都是以抽象定義的形式出現(xiàn)的，學(xué)生更多的是以直觀形象的方式來理解這些概念，學(xué)生必須要經(jīng)歷具體到抽象、特殊到一般等思維方法的訓(xùn)練，才形成一個(gè)更加理性的認(rèn)識(shí)。概念的學(xué)習(xí)不可能是一蹴而就的，需要一個(gè)循環(huán)反復(fù)的過程，需要教師從多角度，多場(chǎng)合進(jìn)行再思考和再創(chuàng)造。

本案例中的恒成立問題落腳點(diǎn)在函數(shù)最值的定義，很多學(xué)生對(duì)于恒成立問題的常用方法應(yīng)用不到位，關(guān)鍵是沒有理解最值的定義。函數(shù)最大（?。┲刀x：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x0∈I，使f（x0）=M。那么，稱M是函數(shù)y=f（x）的最大值。類比：將上述條件f（x）≤M改為f（x）≥M，其它不變，M就是函數(shù)y=f（x）的最小值。函數(shù)最值定義中“對(duì)于定義域中的任意x，不等式f（x）≤M或f（x）≥M恒成立”這不正是不等式恒成立問題的數(shù)學(xué)符號(hào)條件嗎？如果教師在分析恒成立問題時(shí)，能夠稍作停留，引導(dǎo)學(xué)生回憶復(fù)習(xí)一下函數(shù)最值的定義，學(xué)生自然會(huì)想到處理此類問題應(yīng)該求函數(shù)最值，就不會(huì)出現(xiàn)遇到此類問題無從下手的局面。在教學(xué)中，教師除了引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的概念，還應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生挖掘概念的內(nèi)涵和外延，以及概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。高中數(shù)學(xué)中真正掌握各章節(jié)中的概念及其定義才是解決問題的基本思路，讓學(xué)生充分建構(gòu)自己的概念體系，才能減少“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象。

原因三：各類基本初等函數(shù)求最值的主要方法掌握不到位。

遭遇“慘敗”的統(tǒng)考題中，一部分學(xué)生就是因?yàn)楹瘮?shù)最值求錯(cuò)導(dǎo)致失分的。基本的解題思路如下：|2x-m|-12x<02x-12x

總而言之，立足“基本知識(shí)點(diǎn)、基本數(shù)學(xué)思想方法”才是最好的方法。在教學(xué)中，教師應(yīng)善于挖掘和剖析教材，仔細(xì)揣摩，窮根究底，深及精髓，力求獲得對(duì)教材的透徹理解，形成對(duì)所教內(nèi)容的深刻感悟，切實(shí)把握教材基本知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵和外延，深入挖掘教材蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)成為每位教師的當(dāng)務(wù)之急。只有這樣，才能讓學(xué)生在知識(shí)接受的各階段“真懂”而不是“假懂”。

參考文獻(xiàn)：

[1]王光明.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“懂而不會(huì)”現(xiàn)象[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.

[2]章建躍.我講了n遍你怎么還不會(huì)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué).

作者簡(jiǎn)介：

王旭利，江蘇省南京市，江蘇省南京市雨花臺(tái)區(qū)梅山高級(jí)中學(xué)。